论数学，在哥廷根克莱因的讲课被人们奉为典范。他备课充分，板书清晰，他还尤其擅长于纵观全局：能在不同的问题中洞察到统一的思想，并有一种集中必要的材料来阐明其统一见解的艺术。他的观点是：学生应该自己来完成数学定理的证明，他只讲解证明方法的轮廓。学生们在课外至少得花费四倍的时间来掌握听课的内容。
相反，希尔伯特的讲课与之迥然不同。他也不能容忍数学课只是填鸭式地给学生灌输各种事实，而不去教会他们怎样提出问题和解决问题，他时常告诉学生：“问题的完善提法意味着问题已经解决了一半。”他常常以极其充分的时间来透彻解释一个问题，使得接下去的证明就显得那么自然，以致常使别人惊异地抱怨自己为什么没想到它。
他在备课时，只注重那些准备在课上提出的基本原理，而不详细准备细目。他认为：学生们能很容易地填补上这些内容，写出一份很好的笔记。
可是由于他的某些讲演的思路太新颖，学生们有时很难跟得上，即使是他的助手阿尔伯特·安德雷的讲义笔记也帮不了学生们多少忙。因为他备课方式的简略，虽然有时在课上由于细节的推错或推不出而下不了台，然而人们认为，哥廷根的数学课没人赶得上他。
他在课上时常会顺着自己的思路讲下去，也会从其他领域引出概念并指出非常好的结果和最新的工作。学生们都被他深深地吸引着：一般来说，在几年中也不可能见到这么多的数学概念和领域的。听他的课，学生们会觉得数学是“活”的。希尔伯特的讲课简练、自然、逻辑严紧、思路清晰、观点鲜明，与克莱因的那种精心准备，百科全书式的“尽善尽美”讲演相比，多数学生更喜欢希尔伯特的课。
希尔伯特还很讲究教育学。他并不怎么看重学生的天资，而相信绝大多数的事情经过几次才能被接受。当年轻的赫尔曼·魏依尔开始教书生涯时，希尔伯特给他的难忘的忠告是：“五次，赫尔曼，要五次！”“要保持做乘法表那种最低水平的计算。”“要从简单的例子开始。”这又是希尔伯特的一些最得意的准则。他自己在提出重要概念时，就总是以生动的方式寻找对照物，使学生加深理解，而又不易忘却。
哥廷根就是因为有了希尔伯特，而成了“德国数学的麦加”。
魏依尔是一个除了数学还对语言有爱好的青年人，他在阅读希尔伯特的《报告》时发现希尔伯特清澈明晰的行文风格，反映着他那特有的希尔伯特式的思维方式。他后来总是把研读《报告》的那几个月说成是他一生中最幸福的日子。
1902年秋，闵可夫斯基来到哥廷根之后，希尔伯特不再感到孤单了。希尔伯特除了自己的课，还和闵可夫斯基一起主持着一个讨论班。由于闵可夫斯基已经具有了相当可观的物理学专门知识，所以这个讨论班学习了一年物理。1905年，他们决定在讨论班上研究运动物体的电动力学。闵可夫斯基是开展这项研究计划的倡导者，希尔伯特是积极的参加和真正的合作者，希尔伯特时常在把一些问题搞得更清晰，而且他永远在追求着清晰性。
讨论班的学生们都觉得这个讨论班的活动扣人心弦而且富于刺激力。他们在那里听到了有关电动力学的种种古怪有趣的论述，就在这一年，希尔伯特他们无独有偶地获得了跟爱因斯坦的狭义相对论类似的结果。但是，当时的哥廷根事先并不知道爱因斯坦的工作。
1905年，匈牙利科学院突然宣布要颁发一种奖金，使整个数学界大为震惊。有一笔一万克朗的奖金将授予这样一位数学家，他在过去25年中所取得成就为数学的进步作出了巨大的贡献。为了纪念匈牙利人约翰·鲍耶，非欧几何的创始人之一，以及他的父亲沃尔夫冈·鲍耶——高斯的同学和终身密友，奖金被命名为鲍耶奖。
那时，数学界里没有人不清楚，这将在希尔伯特和亨利·庞加莱之中选一个。结果，评定委员会一致决定把鲍耶奖授予庞加莱，因为庞加莱自1879年起就开始从事数学研究了，而希尔伯特当时还只是一个预科学校的学生。
但是评委会还是表示了对大卫·希尔伯特的最崇高的敬意。委员们一致决议，在那份提交给科学院的、说明他们所作选择的报告中，用和评述庞加莱工作一样的分量充分阐明了希尔伯特的贡献。
所以，身为评委会成员之一的克莱因从布达佩斯给希尔伯特写的信中说：“没有黄金，但有荣誉。”当克莱因返回哥廷根之后，他向布鲁门萨尔解释说：“这次奖金之所以落入庞加莱之手，起决定作用的因素是这个法国人已经走遍了数学科学的整个活动范围。”同时，他预言：“希尔伯特也一定会像庞加莱那样，遍历数学科学的广阔的领域的！”
克莱因的这个预言说的恰是时候，眼下，希尔伯特正在创造那项即将成为他在分析研究方面的登峰造极的成果——无穷多个变量的理论，即后来人们一般所称的“希尔伯特空间”理论。
时隔五个春秋，1910年秋，匈牙利科学院宣布了第二届鲍耶奖的得主——希尔伯特，作为评奖委会员的秘书，庞加莱准备了一份概要介绍希尔伯特工作的报告，这个报告将向匈牙利科学院提出，然后公开发表。
庞加莱在报告中强调了希尔伯特工作的几个特点：探索范围之广阔，研究问题之重要，方法之简洁、优美，叙述之清晰明了，以及对于绝对的严格性的追求。庞加莱称赞了希尔伯特的著作明快易读，同时还指出：“希尔伯特对数学科学进展的影响，不只是在于他个人的研究成就，而且还在于他所忠诚地从事的教学活动。他给予学生的帮助，使他们能够运用他所创造的方法对数学科学作出自己的贡献。”庞加莱详细介绍了希尔伯特的成就，并且试图阐明这些成就与其他数学家的成就的关系。
希尔伯特与物理学
1908年，希尔伯特已经跟闵可夫斯基交了四分之一世纪的朋友。希尔伯特现年46岁；闵可夫斯基也44岁了。这时，闵可夫斯基正处在富有创造力的顶峰。可是到了1909年1月12日，闵可夫斯基突然患了急性阑尾炎，撇下妻子和年幼的女儿离开了人世，终年45岁。
好友闵可夫斯基的去世，给希尔伯特在人事和科学两方面造成了难以弥补的空缺。往常非常豪爽乐观的希尔伯特消失了，他变成了一个神经过敏的、精神消沉的人。“亡故者那万无一失的目光已不会在校样上停留。”希尔伯特在精神上极度的重负下工作，但他能以哲学家的冷静来忍受情感上的痛苦。
在柏林的教育部里进行再多的明智协商，也不可能找到一位替代者，替代希尔伯特从闵可夫斯基那里获得的友谊和科学上的激励。生活虽然继续下去了，但向来“高产”的希尔伯特没能在这年春天给哥廷根科学会寄有关积分方程的文章。
他和喀娣花了许多时间来陪伴闵可夫斯基夫人及其幼女，同时，他还担任起了编纂闵可夫斯基著作的总编辑，并且着手准备一篇纪念讲话，为了这篇讲话，他把一直保存着的闵可夫斯基给他的90封信全部重读了一遍，5月1日，希尔伯特在哥廷根科学会举办的专门会议上发表了这篇纪念闵可夫斯基的演说。
随后，希尔伯特试图从哥廷根大学的高年级学生和讲师中寻找闵可夫斯基的继任人。因为他非常清楚：为了自己的科学创造，必须同年轻人密切联系，并说：“我与年轻人坐在一起总能从他们身上获益。”而对那些经常与他一起散步的青年人来说，由于希尔伯特富有创造力，又能摆脱任何偏见和框框，他们称他“保持了青春的朝气”，“我们每次与他相聚，总能取得真正的收益。”
闵可夫斯基去世后，希尔伯特又重新恢复了老习惯：在数学俱乐部每周一次的聚会之后，带领一群年轻人去作长时间的散步。在与他交往的青年朋友中，有一位名叫伦纳德·纳尔逊的哲学讲师，他比希尔伯特小20岁。他们一起散步，讨论哲学、数学和逻辑学相交界处的边缘知识。另一位也不是数学家，而是普朗特尔应用力学研究所的助理，名叫西奥多·冯·卡曼。也是在这段时期，希尔伯特开始了同理查德·库朗的情谊。
1912年春，希尔伯特的老朋友、物理学家阿诺德·索米菲尔德应希尔伯特的请求，让他的学生保尔·爱瓦尔德到哥廷根作他的新助手时，人们把爱瓦尔德当作了“希尔伯特的物理教师”来欢迎。这看来也正是希尔伯特添设这个新的助手职位的本意。他立刻给爱瓦尔德指定了许多物理学课题，这些题目都是希尔伯特本人想要了解的。
