在这篇注记中，他完全出人意料地开辟出一条全新的路径，表明如何用统一的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。这个轰动世间的关于不变量系有限基存在性的证明，其基础是一条引理，即关于“模”的有限基的存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。
这条引理如此简单，看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子。
即使完成了1890年的那些工作，果尔丹问题仍萦绕在他的心中。作为一名数学家，比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。在其后的两年间，他的工作开始发生了变化。代数构成的思想浇灌了他的心田。突然，在1892年，希尔伯特用他的结果结束了一直被人们讨论不休的不变量理论，整个理论的呼吸随之停止了。
随着希尔伯特超凡脱俗地拨开了果尔丹问题的迷雾，他开始认识了自己，也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题，这个问题的解决，其意义将远远超出问题本身。可是，正当大家期望希尔伯特能来重整果尔丹这个学术领域，从而使它摆脱一筹莫展的局面时，却出现了人们无论如何意想不到的情况：希尔伯特不愿再为承担上述工作而花费时日了。最初引起他兴趣的问题被解决了，就意味着他自由了。他将坚决地离开它，迎着更深奥的课程前进。
不满现状
紧接着的三年间，希尔伯特在学术界的地位上升了，他做了大多数年轻人在这种年纪要做的一切事情：结婚、生孩子、接受重要的任命，他还做了一项决定，这项决定改变了他的生活进程。
在德国各大学中争夺学术职衔的竞争中，当了8年副教授的赫维茨接受了苏黎世瑞士联邦技术学院正教授提名。虽然这意味着那日复一日的数学散步即将结束，但赫维茨的位置却为希尔伯特打开了希望之门。
1892年8月，教授会一致决议：由希尔伯特接任赫维茨副教授的职位。
希尔伯特那经济拮据的讲师生活终于到了头。他欣喜地将此晋升的消息写信告知闵可夫斯基，同时宣布了他举行婚礼的日子。
10月12日，希尔伯特与比自己小两岁的喀娣·耶罗士举行婚礼。实际上希尔伯特和耶罗士家族有着亲戚关系。喀娣为人正直、坚强、贤惠，既体贴人又直率，还总有独创的见解，是希尔伯特理想的伴侣。
随着职务和生活中私事的变迁，希尔伯特开始表现出一种新的数学兴趣，“从现在起，我要献身于数论”，这是他在完成了最后一篇关于不变量的文章后曾经告诉过闵可夫斯基的。现在，他真的转向了这个新课题。
现在，他使用跟他打通攻克果尔丹问题之路差不多的办法，开始了在代数数域方面的工作，他返过头来思考基本概念，直到得出解决办法。他的第一篇关于新课题的论文，给出了域内整数分解成素理想数的唯一分解定理的另一个证明。
希尔伯特一直很难安心于他的新境遇：作一个有薪水、有妻子的副教授。
因为这里又有了让人欣喜的消息：林德曼已经接受了慕尼黑大学的邀请，将要离开哥尼斯堡。不久，年仅31岁的希尔伯特接任了林德曼的教授职衔，这也为闵可夫斯基由波恩返回哥尼斯堡接任希尔伯特的副教授之职带来了良机。但是直到1894年春天，闵可夫斯基才在希尔伯特的帮助下摆脱了波恩方面的阻挠，回到了哥尼斯堡。每天在苹果园中散步以及关于数论的讨论终于又重新愉快地开始了。
1893年，希尔伯特到慕尼黑参加了德国数学会年会。这个学会是最近才由包括希尔伯特在内的一群数学家筹建起来的，其目的是为了使不同的数学分支之间有更多的交流。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分解成素理想数的两个新证明。虽然他刚刚开始发展代数数论方面的工作，但他的能力显然深深打动了其他成员。学会有一项计划，要按年发表不同数学领域的综述性文章。现在，经大家公认请希尔伯特和闵可夫斯基在两年内准备一篇数论发展现状报告。这样紧急地指定这项任务，是因为库莫尔、克隆尼克和戴德金的革命性工作极其复杂，以至当时大多数数学家依旧无法理解它。现在人们期待希尔伯特和闵可夫斯基来改变这种状况，这种期待不仅是对他们的数学能力的称颂，也是对他们具有简明和清晰的数学表达力的赞赏。
随着闵可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希尔伯特感到心满意足，因为再不能有更好的合作者来一起写这份年度报告了。现在，年度报告在希尔伯特心中开始成形。对一个年轻数学家来讲，干数学会分派的任务，也许是一件不受欢迎的零活，但希尔伯特并不这样认为，他已经用自己的工作表明，他对把互反律推广到代数数域特别感兴趣。目前，他自愿把这些计划搁置一边，而要在写这份指定的报告时看准机会为更深入的研究打下必不可少的基础。虽然他俩不喜欢靠书本来做学问，但他却阅读了自高斯时代以来所有发表的有关数论的著作。对一切已知定理的证明，都要仔细地揣摩以估量优劣。
然后，他必须去判定哪些证明中的“原理能够加以推广，对进一步的研究最为有用”。可在能够作出选择之前，进一步的研究必须先开展起来。那些一直阻碍着人们去全面评价和领悟他的前辈工作的那些思想作风方面的困难，必须予以清除。决定已经做出，这份报告应该分成两个部分：闵可夫斯基讨论有理数论；希尔伯特讨论代数数论。在1894年期间，希尔伯特为他所承担的那部分报告奠定了基础。
哥廷根的教授
哥廷根，是座寂静秀丽的小城市，古老的城墙至今还围绕着哥廷根的内城。哥廷根大学的科学传统为卡尔·弗里德里希·高斯所首创。高斯于1795年进入哥廷根大学，在他21岁离开大学之前，就已经完成了那篇数论杰作《算术研究》。当他年事已高时，他在数学与应用数学方面赢得了与阿基米德和牛顿相当的荣誉。
希尔伯特1895年3月来到哥廷根时，差不多刚好是高斯到达这里之后的整整100年。当时，这里有两位著名的数学家克莱因和海因里奇·韦伯。
克莱因的声望吸引着世界各国的学生。他的讲演被奉为经典。因为他每次在开始讲课之前都已经为所有公式、图表和引文作好了周密的安排。讲演过程中写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含了对讲演的内容的一个绝妙概括，每一个小方块都写得恰到好处、井然有序。与之相比，希尔伯特的讲演就远不如其尽善尽美，而是不修边幅，难免错漏，有时还表现出那种忽然有所发现的不适当的冲动，但是希尔伯特惯于回顾他上一次课讲过的内容，这种类似于大学预科学校的讲课技巧是被当时其他教授瞧不起的，但是因为他的讲演充满了精彩的观点，不久似乎就给许多学生造成了更深刻的印象。
在希尔伯特讲授行列式和椭圆函数的时候，闵可夫斯基在哥尼斯堡接受了作为他朋友的继承人的职位，希尔伯特在哥廷根认真地准备着1893年德国数学会要求他和闵可夫斯基在两年内合作完成的年度报告，1896年初，希尔伯特的那部分报告接近完成，手稿全部由喀娣·希尔伯特用清楚圆润的笔迹誊好付印。校样一出来就被邮往哥尼斯堡请闵可夫斯基过目。闵可夫斯基和赫维茨将全部校样极为仔细地审读后，将校正和建议接连地寄往哥廷根，这使得希尔伯特有点不耐烦了。闵可夫斯基便写信安慰他：“细致有好处。”
“报告很快就完成，并将获得高度评价，请您想想这点，并以此告慰自己吧！”
报告定稿后，希尔伯特为《报告》写了引言，充分地表达了自己撰写这篇杰作的思想方法。他还在引言中强调了大数学家们对数论所表示的重视。
《报告》上署明的最后日期是：1897年4月10日。
《报告》出版后，闵可夫斯基又以最大的热忱写信祝贺：“我相信，在不久的将来，您将会列入数论领域中伟大的经典学者的行列。”“同时我还要向您的夫人祝贺，她为所有数学家的妻子作出良好的榜样，这将永远留在人们的记忆之中。”
这份代数数域方面的报告，无论在哪一方面都超过了数学会成员们的期望。他们本来只要求对这门理论当前的状况作一个概述，而收到的却是一篇杰作，它简单而明了地将最近以来全部困难的发展融成了一篇优美而完整的理论。一位同时代的评论家认为，《报告》是一篇令人振奋的艺术佳作，后来有一位作者则称它是数学文献宝库中一件真正的珍品。希尔伯特在这篇报告中所作出的创造性贡献，其重要意义可以举一条定理为例来说明，它今天仍然以简称“定理90”而闻名，这定理所包含的概念，导致了同调的发展，而同调代数在代数几何和拓扑学中都起着十分重要的作用。
次年，希尔伯特又发表了题为《相对阿贝尔域理论》的文章，建立了探讨“类域”论所必需的方法和概念。如果说希尔伯特关于不变量的工作，是一项发展性的成果，则这次在代数数域方面的工作是开创性的，然而对他而言，紧接在开创之后，又在“急转弯”了。
希尔伯特教授将于1898至1899年冬讲授几何基础的预告，使学生们都感到很惊异。自从3年前到哥廷根以来，他对这些学生一直是“只谈数域”
的，不过，这种新的兴趣也并不是完全没有先兆的。
还是在做讲师的时候，赫尔曼·维纳在一次讲座中对几何实质的抽象观点影响了希尔伯特。后来希尔伯特想：“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面。”这种朴素的说法，蕴含了他现在打算提出的讲演的实质。
为了理解希尔伯特对几何学所采取的研究途径，我们必须记住，数学起初是一堆并不无严格次序的命题，这些命题或者是自明的，或者是从其他看来是自明的命题通过清楚的逻辑的方式而获得的。这种明显的准则，无保留地被应用来扩展数学知识。
希尔伯特编写了《几何基础》的讲义，这份讲义一经出版，又产生了巨大的影响。在几个月内成了最畅销的数学书，被译成了英语、法语等多种语言。那些三年多来听他谈论代数数域的学生，无不惊异地称赞着这部著作的成功。但甚至就在他们惊讶的时候，希尔伯特又开始在另一个完全不同的数学领域里发展研究成果了。
1899年夏，他转向了一个著名的老问题——“狄里克莱原理”。这一作为几何函数论的基础的狄里克莱原理，已经提出近半个世纪了，但这时的数学家们却已把这个原理看作濒临绝境。希尔伯特遵循了导师克莱因“用新方法来解决老问题，自然就会引出新问题”的教导，坚信严格性有助于方法的简化。
没过多久，希尔伯特就向德国数学会提出了挽救狄里克莱原理的初步尝试，他把这个尝试叫做狄里克莱原理的“复活”。整个论文包括引言在内还不到六页，却被赞誉为“妙手回春”之作。（6年以后，在哥廷根科学协会成立150周年之际，希尔伯特又回到了这个问题上，并给出了狄里克莱原理的第二个证明）。
挽救狄里克莱原理获得成功以后，希尔伯特决定于1899年至1900年的冬季学期讲授变分法，在他的教授生涯中，他还是第一次开这门课。
希尔伯特在这一时期的数学兴趣，比他在哥尼斯堡当讲师以来的任何时候都要广泛。他继续研究几何学，并发表了几篇有关的论文。他还发表了一篇题为《数的概念》的文章，正是在如此丰富多彩的研究活动中，希尔伯特收到了要他在1900年夏天于巴黎举行的第二次国际数学家代表大会上作主要发言的邀请。
数学成果
1900年，新世纪诱人地展现在他的面前，犹如一张白纸，一支新笔，等待他去写最精彩的文章，画最美的图画。希尔伯特此时站在数学发展的最前沿，他在准备发表一篇能与这个重要时机相宜的、替纯粹数学辩护且预计新世纪数学发展方向的演说，他犹豫着该选怎样的题材。闵可夫斯基认为：“最有意义的题材，莫过于展望数学的未来，提出数学家们应当在新世纪里努力解决的问题。这样，你的讲演在往后的数十年中将成为人们议论的中心话题。”
希尔伯特一直在冥思苦想，可是直到6月份还未写出讲稿。已经发出的会议日程表中就没有了他的讲演。到了7月中旬，他才将以《数学问题》为题的讲稿清样寄给了闵可夫斯基。闵可夫斯基和赫维茨花了整整几个星期的时间，极其审慎地研究了希尔伯特的讲稿，他们在讲稿的内容以及讲演的方式上都提出了建议，认为讲稿太长了，并且要他把“每个确定的数学问题都应该能得到明确的答案，或者是肯定的回答，或者是证明该问题的不可能性”
的这段话，作为整个讲演稿的有力结尾。
8月8日，星期三，上午，一位38岁的数学家登上了讲坛。
他准备了一个法文的讲稿摘要，将它分发给听众。在当时，会议并没有规定要这样做。大家以感谢的心情等待着讲演的开始。为了照顾不很懂德语的听众，希尔伯特缓慢地、谨慎地开始了他的讲演。
在讲演中，希尔伯特强调了决定着一门科学发展方向的问题的重要性，考察了重大而富有成果的问题的特点，阐述了对于问题的“解答”的要求。
然后他就提出讨论了23个个别的问题。他相信，这些问题的解决，必将大大推动20世纪数学的发展。
在巴黎国际数学家代表大会的其余日子里，大卫·希尔伯特关于20世纪的数学问题吸引了整个数学界的想象力。希尔伯特的实际经验看来保证了这些问题都符合于他在讲演中所提出的标准；他的判断力则使人相信这些问题在今后的年月里一定能得到解决。由于希尔伯特的迅速提高的声望，一个数学工作者只要解决了巴黎问题中的任何一个，就可以使自己一举成名。后来，那些对于解决希尔伯特为23个问题作出贡献的数学家们就被称作“荣誉等级”数学家。
这时，希尔伯特已开始享有一个数学家所能享有的最高声誉。从关于不变量理论登峰造极的研究到《数论报告》和深刻、丰富的类域论计划，到广泛传播影响深远的几何基础小册子，到狄里克莱原理的起死回生，到变分学的重要定理，再到巴黎问题的丰硕成果。希尔伯特取得了令人瞩目的成就，因此，外国科学院纷纷选他为院士。德国政府授予他“枢密顾问”的头衔。但是希尔伯特并没有用虚伪的谦虚来自扰，而是以朴素稳重的喜悦接受了这种成功。
没有黄金，但有荣誉
20世纪初，全世界数学专业的学生都受到同样的忠告：“打起背包，到哥廷根去！”
