第109章 教学内容与课程体系改革（）(50)

“行列式及矩阵”两章是本课程的基础，采用以教师授课为主的方式教学。而对于“n维向量空间”，这一章承上启下，集中了本课程的重点及难点，知识纵横交错。可将“空间解析几何与向量代数”那一章多出的时间安排在此章，则教学模式采用3种方式。第一种方式是，教师先讲授该章基本知识框架、专业实际背景、基本内容之间的关系、重要定理、研究方法。由于学生的创新能力是不能只通过教师单纯的知识传授直接得来的，更多的是通过学生自己的体会、探索和实践。所以，第二种方式是，学生课后归纳、总结各知识点之间的关系及知识点在所学专业上的实际应用，并写出与本专业相联系的实际应用小论文。为了实现学生与教师的双向互动，让学生主动参与到教学环节中来。第三种方式是，教师提问、课堂讨论、学生主题发言。这样采用多种教学方式并用，打破传统的单一、“满堂灌”的陈旧教学模式，学生不仅学到了知识，而且也激发学生创新意识，训练创新思维，培养创新性格，锻炼创新能力。

参考文献

［1］论点卡片.中国高等教育，2007（2）．

［2］段勇，傅英定，黄廷祝.浅谈数学建模思想在大学数学教学中的应用.中国大学教学，2007（10）．

［3］钟波，刘琼荪，刘朝林，等.深化工科概率统计课程教学改革培养学生创新能力.中国大学教学，2007（3）．

［4］薛云峰.浅谈启发式教学在《高等数学》中的应用.山西广播电视大学学报，2001（1）．

浅谈大学数学之教与学

王晓霞

（北京交通大学理学院，100044）

摘要：本文从大学数学教育的作用入手，探讨了理工科大学数学教育的教学和学习方法，利用将数学建模思想融入大学数学的教学中，加强学生对数学概念的理解，并提高学生的创新精神和实践能力。

关键词：大学数学教育 数学建模 教学改革

一、引言

随着科学技术、经济的飞速发展和计算机的广泛应用，人类已经进入了信息时代，定量化、数字化的技术得到了空前的发展和应用，人们已认识到“数学已无处不在”，“数学科学的成就已成为当今高科技时代所赖以进一步发展的重要基础，而数学科学本身的发展是整个科技事业兴旺发达的强有力的支柱”，而且“数学已从幕后走向幕前，在很多地方直接为社会创造价值”。所有这些决定了数学在未来科学技术发展中的重要地位。

一方面，数学在社会生活中的应用越来越普遍，数学对各行各业的影响越来越大。另一方面，我国的大学数学教育却在以往几十年保持基本不变。传统的数学教育具有注重理论基础知识等优良传统，但没有在数学的应用上给以足够的重视；注重训练学生的逻辑推理能力，而缺少对学生创新精神和实践能力的培养。在国家大力提倡素质教育和创新精神的情况下，人们注意到数学建模对促进学生创新实践能力的培养发挥了非常积极的作用。在寻求改革之路的过程中，数学教育界许多专家、学者都不约而同地认为，将数学建模的思想融入高等数学的教学之中是克服传统数学教育弊端，推行素质教育的有效途径之一。

二、教学实践

数学原本是一门源自于实际的科学，但随着大学的学院化，数学家们沉浸在一片高度抽象的纯粹逻辑推理、符号演绎中，数学与现实的联系越来越被忽视。在大学教育中传统教学重视抽象定义、定理的讲解证明，而对于非数学专业的学生而言，数学教育的作用绝非只是学习一种数学知识，而是为专业服务，更重要的是通过这种学习开发和充实学生的内在素质。数学教育应起到两方面的作用：一方面是培养和训练学生的逻辑思维能力；另一方面是运用数学思维方式和方法解决实际问题的能力，也就是将实际问题提炼为数学问题，建立模型。进而利用数学推理计算等方法求得问题解的能力，即数学建模的思想方法与能力。将两方面有机结合可让学生熟悉数学的应用，激发他们学习的积极性。

数学概念和方法都是从实际原型演绎抽象出来的，将数学建模的思想融入高等数学的教学之中是理论与应用相结合的重要手段。

例如，微分方程是高等数学中的重要内容，而对实际问题建立微分方程模型是比较难的，为此教师可以引入应用实例——生态种群的模型。

例1单种群模型（种内竞争理论）。

在研究生态系统时，为了更好地掌握一般原理，我们从单种群模型开始，这种单种群模型在实验室里有逼真的模拟，例如，Crombic1945年作了人工饲养小谷虫的实验。我们视种群增长是一个连续变化的过程，这样就能够用简单的微分方程引出种群变化的模型。设P（t）表示时刻t 时种群的数量，r倡表示种群的内禀增长率，其值等于出生率减去死亡率。则在t 到t ＋Δt 时间内人口数的增长量为现在就可以向学生介绍形如式（1）的方程即称为微分方程，并推广讲解一般微分方程的概念。同时，对微分方程（1）可以进一步引入变量分离型的微分方程的概念，并讲解其可通过移项积分的方法求出它的解。注意为符合现实意义，此时引入微分方程初值问题并求解如下，如果设t＝t0时刻种群的数量为P0，则种群数量P（t）满足的变化规律为为了让学生体会该数量变化规律的现实意义，这里借助数学软件Mathematica，可以教学生画出函数图形。

1938年Verhulst-Pearl 认为实际增长率不是内禀增长率，而是在一定的环境中，种群的增长总存在一个上限P倡，当种群数量P（t）逐渐向着它的上限P倡上升时，实际增长率就要逐渐减少，因而提出Verhulst-Pearl 方程，这里向学生介绍如式（2）类型的方程是Bernoulli 方程的初值问题，并讨论其求解方法，其种群数量的变化规律最终趋向于极限人口，与实际相符，进而可应用其对种群数量变化情况做长期预测分析。

例2两种群模型。

在自然界中，多种群演化更为普遍。在单种群模型的基础上我们可以进一步研究多种群模型，以两种群相互作用为例有以下4种情况。

（1）两种群相互竞争，如生活在同一草原上的羚羊和老鼠。

（2）两种群相互依存，比方植物与昆虫。一方面植物为昆虫提供了食物资源；另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。

（3）捕食与被捕食的关系，像生活在草原上的狼和羊。

可以分别向学生介绍两种群模型在几种相互作用关系下数量变化规律，让学生进一步体会微积分微元变化的思想及应用。

由举例可知，在教学中尽量引用教材外的具有实际背景的应用实例，让学生感到数学的魅力，激发他们浓厚的学习兴趣。同时适当布置学生调查数据、查阅资料并在计算机上做实验，这样可以提高学生使用工具、自学、合作、社交、分析及解决问题等能力，养成严谨周密、持之以恒的科学态度，这些培养不应该仅着眼于在校期间，更重要的是离开学校后对学生的学习、工作的影响，应该使学生终生受益。

在常规数学课堂上，适时渗透建模思想，切入应用问题，使学生所学的数学知识更系统完整，使学生将数学知识的产生过程、内部理论和逻辑关系及如何用来解决实际问题作为一个整体来接受。

在教学中将教师讲授与学生主体性教育相结合。所谓主体性教育，是指以激发学生主体参与的意识为前提，使学生能积极主动学习的一种教育方式。为了激发学生的主动学习意识，教师所选案例应是易于理解、学生感兴趣的开放性问题。例如，线性代数课程的基本数据对象为向量和矩阵两种数据的概念和应用，为此在讲解向量这种数据形式时，可以引入“人、羊、狼、菜安全渡河”这样的案例说明这种数据形式的应用；而在讲解矩阵时，可以借助“足球比赛的排名问题”介绍其应用。通过这些案例激发学生学习的兴趣，使他们在学习过程中充分发挥自己的主体性和主动性。

作为数学教师，我们的观念必须更新，尽量避免总是通过教师讲解演示得到正确的结论，甚至有的问题教师不一定需要知道最终的结论，要充分发挥学生的主观能动性，强调学生的积极参与。教师所起的作用更多的是引导、启发、评价，充分展现学生的思维，发挥学生丰富的想像力，体现出教、学相长的教学理念。

三、小结

实践证明，在教学中体现数学建模的思想，注重培养学生解决实际问题的能力，是数学教育改革的发展方向。我们可以通过数学建模思想的引入培养学生既能用传统的方式审视问题，又会用创新意识思考问题，使学生的思维广阔，思维活跃，思维流畅。真正使数学课程既有扎实稳固的基础理论做后盾，又具备向上拓展应用口径的潜力。

参考文献

［1］徐利治.数学方法论教程.南京：江苏教育出版社，1992.

［2］卡尔·皮尔逊.科学的规范.李醒民，译.北京：华夏出版社，1998.

［3］胡作玄，邓明立.20世纪数学思想.济南：山东教育出版社，1999.

［4］陈兰荪，宋新宇，陆征一.数学生态学模型与研究方法.成都：四川科学技术出版社，2003.

［5］姜启源.数学模型.北京：高等教育出版社，1993.

［6］菲利普·弗兰克.科学的哲学（科学和哲学之间的纽带）．许良英，译.上海：上海人民出版社，1985.

［7］米奇欧·卡库.远景：21世纪的科技演变.徐建，译.海口：海南出版社，2000.

关于“运筹学”教学的一点体会和思考

王周宏，修乃华

（北京交通大学数学系，100044）

摘要：本文根据作者在教学中的体会，探讨了运筹学的本质特征和教学目标，强调了在运筹学教学中讲清数学原理、重视数学建模和计算机使用能力培养的重要性，研究了为完成教学目标可采取的教学手段。

关键词：运筹学 特征定位 教学目标 教学内容 教学方法

“运筹学”是数学系数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的必修课，也是工商管理学院、工学院和计算机学院等许多专业的必修课。本文根据作者在“运筹学基础”教学中的一些体会，对运筹学的教学内容和教学方法进行初步探讨。

一、运筹学的历史与基本特点

（一）运筹学的历史概况

朴素的运筹思想在中国古代历史中有许多记载，如“齐王赛马”、“丁渭修宫”等故事，但现代运筹学却是在20世纪50年代中期由钱学森、许国志等教授从西方引入的。在20世纪50年代中期至60年代中期，以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到了运筹学的研究队伍，使我国在运筹学的很多分支上很快跟上了当时的国际水平，如着名的“中国邮递员问题”就是在此期间由山东大学管梅谷教授提出的。“运筹学”作为专业课，是从1963年开始在我国大学里开设的，当时中国科学院数学研究所运筹学研究室为中国科技大学应用数学系的第一届毕业生开设了较为系统的“运筹学”课程。目前“运筹学”课程已成为国内几乎所有大学的理学和工学等多个专业的必修课和专业主干课。

现代运筹学的历史可追溯到20世纪初。1908-1917年期间丹麦工程师爱尔朗（Erlang）在哥本哈根电话公司研究电话通信系统时提出了排队论的基本公式，Lanchester 在1914年提出了关于战争兵力部署的Lanchester 战斗方程，F.W.Harris 在1915年针对简单存储模型提出了着名的EOQ 平方根公式，等等。但运筹学作为一个正式的学科术语（在欧洲和英国为“OPerational Research”，在美国为“OPerations Research”，常简写为“OR”）却是在1938年由英国波得塞雷达研究基地（Bawdsey Research Station）负责人罗伊（A.P.Rowe）提出的。

英国是从1936年开始研究雷达的——这在当时还属于秘密武器，并为此专门建立了波得塞雷达研究基地。作为防空系统的一部分，雷达从技术上是可行的，但实际运用时却并不好用，特别是当多个雷达同时操作时，获取的信息常常互相矛盾，因此必须加以协调和纠正。

因为它与研究技术问题不同，所以波得塞雷达研究基地负责人罗伊提出成立专门的“OPerational Research”研究小组来解决这一问题，这一事件标志着现代运筹学的诞生。