中学数学以初等数学为主，而初等数学知识是由概念、命题通过推理组成的逻辑体系。逻辑是研究思维形式和思维规律的科学，在理解数学概念、数学命题，进行推理证明时，都要遵循逻辑规律。因此，必须掌握数学中有关的逻辑知识，才能深刻领会数学教学内容，搞好教学，提高学生的逻辑思维能力，达到教学目的的要求。
（第一节 ）数学概念
一、数学概念的意义和结构
（一）数学概念及其形成
客观世界中，存在着各种各样的个别事物，这些事物各有许多性质，如形状、颜色、气味、大小等，事物相互之间又存在着许多关系，如相等、不等、大于、小于、在……之间等，事物的性质和事物间的关系统称为事物的属性。属性可分为本质属性和非本质属性两种。所谓事物的本质属性，是指一个或一类事物内部所固有的，具有规律性的性质，根据该性质可以将此事物和其他事物区分开。可见，事物固有的规定性和它与其他事物的区别性是本质属性的两个特点，缺一便不为本质属性。
人们在实践中认识周围的事物(对象)，通过感知，运用比较、分析、综合、抽象、概括等一系列逻辑方法，抓住客观对象最主要的本质属性而产生概念。例如，人们对“圆”的概念的认识，从对太阳、满月等物体形状的感觉、知觉而形成了圆的观念、印象。在这个基础上，通过制造圆形工具或器皿需要画图．进而逐步认识圆的本质属性，即图形上的点都在同一个平面上．这些点到某个定点(中心)的距离都是相等的，这个特性是别的图形所不具备的。当人们对具有“圆形”的这类对象，有了如上认识的飞跃后，便形成了“圆”的概念。至于半径的大小、圆心的位置、画图笔的颜色、构成图形线条的粗细等特征，从几何学的观点来看是非本质的。
所以，概念是反映事物本质属性的思维形式。数学是研究空同形式和数量关系的科学。数学概念是空间形式和数量关系及其本质属性在人们头脑中的反映。
概念和语词是密切联系着的。语词是概念的语言形式，概念是语词的思想内容，两者紧密联系，不可分割。但是，概念和语词之间并不是一一对应的。同一个概念可以用不同的语词来表达，如“等边三角形”、“等角三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念；一个语词在不同的情况下，可以用来表达几个不同的概念，如“整数”在小学表示自然数；在中学表示的是零、正整数和负整数。
一个数学概念通常用一个词(名称)或符号来表示。例如用“__”表示垂直，用Q，N，Z，R分别表示有理数集、自然数集、整数集和实数集。
数学概念的产生与发展有各种不同的途径。有些是直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来，如自然数概念是从事物排列的次序抽象概括得来的，几何中的点、线、面、体、平行、垂直、圆、柱、锥、台、球等概念是从形状、大小及位置关系中抽象出来的；有些概念是在抽象的数学概念的基础上经过多次复杂的抽象概括过程才产生和发展而成，如“复数”的概念是在实数的概念的基础上产生出来，而实数的概念又是在有理数概念的基础上产生的。近代或现代数学中的许多概念，如群、环、域、关系、映射、向量空间等的产生和发展过程就更复杂了。有些概念是根据理论上的需要而提出的，如无穷远点、无穷大等；有些概念是经过思维加工把客观事物的属性理想化、纯粹化得来的，还有些概念是从数学内部需要产生出来的。数学概念的形成不论如何复杂、抽象，它们总是在一定的感性认识的基础上或在一定理性认识的基础上产生并逐步发展的。
（二）概念的外延和内涵
为了正确地进行思维、判断和推理，概念必须明确。要做到概念明确，就必须弄清概念的内涵和外延。
概念的内涵是指概念所反映的一切事物的本质属性。它说明概念所反映的事物是什么样的，即反映了概念的质的方面。如“平行四边形”的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边分别平行，对角线互相平分等。
概念的外延是指概念所反映的事物的范围。它说明概念所反映的对象是哪些，即反映了概念的量的方面。如“平行四边形”的外延是指邻边不等的斜平行四边形、矩形、菱形、正方形的集合。“三角形”的外延指锐角三角形、直角三角形和钝角三角形所组成的集合。
任何一个概念都具有确定的内涵和外延这两个方面，它们是概念最基本的逻辑特性。学习一个概念就是要明确概念所指的对象是什么，其所反映的对象具有哪些本质属性，只有对概念的内涵和外延两方面都有了准确的了解，才能说明概念是明确的。
（三）概念间的关系
概念间的关系是指概念外延间的关系。根据两个概念的外延有无共同之处，概念问的关系分为相容关系和不相容关系两类。
1．概念间的相容关系
所谓概念问的相容关系是指外延至少有一部分重合的两个概念之间的关系，这两个概念称为相容概念。它可分为完全重合和部分重合，故相容关系又分同一关系、属种关系和交叉关系三种。
(1)同一关系(又称全同关系)
如果两个概念的外延完全重合，则这两个概念的关系是同一关系(全同关系)。如图5—1所示，A，B表示两个概念所反映对象的集合。(因为概念的外延是一类事物对象，它的整体是集合，所以探讨概念间的外延的关系就归之为讨论集合之间的关系，并可用图形直观表示出来。)
例如，“等边矩形”和“等角菱形”这两个概念的外延相等，是同一关系。了解更多的同一概念，可以对反映同一类事物的概念的内涵作多方面的揭示，有利于认识对象。在同一论证过程中，具有同一关系的两个概念可以相互代替，有利于论证。例如等腰三角形的顶角平分线和等腰三角形底边上的高是同一条线段，论证时可以相互代替。
(2)属种关系(从属关系)
如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系。外延小的叫做种概念(又称下位概念)，外延大的叫做属概念(又称上位概念)。如图5—2中，A与B之关系称为属种关系，其中A是属概念，B是种概念，AB。例如，“四边形”和“平行四边形”，“实数”和“有理数”，分别是具有属种关系的概念。
概念之间的属种关系是相对的。如“平行四边形”是“矩形”的属概念，但它又是“四边形”的种概念。作为一个概念的属概念并不是唯一的，它的种概念也不是唯一的。如“多边形”、“四边形”都是“平行四边形”的属概念，而“矩形”、“菱形”、“正方形”都是“平行四边形”的种概念。如果一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵的差为最小的，又叫做这个概念的最邻近的属概念。如“四边形”是“平行四边形”最邻近的属概念。
(3)交叉关系
如果两个概念的外延有且只有一部分相同(重合)，则这两个概念的关系是交叉关系。这就是说，有一部分对象是同属于这两个概念的外延，如图5—3所示。
例如，“等腰三角形”和“直角三角形”是交叉概念，交集是“等腰直角三角形”概念的外延。
2．概念间的不相容关系(又称全异关系)
所谓概念问的不相容关系是指属于同一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系。不相容关系又分为反对关系和矛盾关系。
(1)反对关系(对立关系)
如果两个概念的外延完全不同，而且它们外延之和小于其属概念的外延，则这两个概念的关系称之为反对关系。如图5—4，A和B相对于C来说具有反对关系，即：AC，BC，且A∪BC，A∩B=。
例如，“正有理数”和“负有理数”相对于“有理数”来说是反对关系；“大于”和“小于”相对于“实数的关系”来说是反对关系。
(2)矛盾关系
如果两个概念的外延完全不同，并且它们外延之和等于其属概念的外延，则这两个概念间的关系称之为矛盾关系。如图5—5，A和8相对于C来说具有矛盾关系，即：AC，BC，且A∪B=C，A∩B=。
例如，“同次根式”和“异次根式”相对于“根式”来说是矛盾关系。对于同一个属概念下的两个矛盾概念而言是“非此即彼”，没有第三种情况存在。如在“三角形”中“直角三角形”和“非直角三角形”二者必居其一，不可能有第三种情况存在。
分析各相关概念之间的关系，有助于弄清各概念的联系和区别，有助于深入理解概念的本质。概念间的关系列表如下：
概念问的关系同一关系相容关系属种关系交叉关系不相容关系对立关系矛盾关系。
四、内涵和外延的反变关系
具有属种关系的两个概念，它们的外延和内涵具有反变关系。即A，B是具有属种关系的两个概念，如果B的内涵比A的内涵多，则B的外延就比A的外延小；反之，如果B的内涵比A的内涵少，则B的外延比A的外延大。
例如，“平行四边形”这个概念的内涵是：有四条边和两组对边互相平行；“菱形”这个概念的内涵是：有四条边、两组对边互相平行且邻边相等。因此菱形的内涵要比平行四边形的内涵多，但其外延要比平行四边形的外延少。平行四边形除了包括菱形外，还包括其他一般的平行四边形。
应当注意的是，这种反变关系只能对一个概念可列入另一个概念的外延中的那些概念而言，即属种关系的那些概念。
二、概念的定义与划分
（一）概念的定义
1．定义及其组成
前面已经指出过，明确概念要明确概念的内涵和外延，那么怎样才能明确概念的内涵和外延呢？在逻辑学里，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。
作为定义的一般表达形式是：Ds就是Dp。例如：平行四边形就是两组对边平行的四边形，它就采用了这种形式。
任何定义都由被定义项(Ds)、定义联项(就是)和定义项(Dp)三部分组成。我们需要加以明确的概念称为被定义项，用来明确被定义项的概念称为定义项，联结被定义项和定义项的语词称为定义联项。平行四边形↑被定义项(Ds)就是两组对边平行的四边形。
↑↑定义联项定义项(Dp)
表达定义联项的语词较多，故定义的具体叙述方式较多，如“Ds是Dp”，“Ds也就是Dp”，“所谓Ds就是Dp”，“Ds当且仅当Dp”。
2．数学中常用的几种定义方式
(1)属加种差定义方式(或称内涵定义)
这种定义方式由如下公式表出：
被定义项=邻近的属+种差。
例如：正多边形是各内角相等且各边也相等的多边形。
↑↑↑
被定义项种差邻近的属
在这个定义中，“正多边形”是被定义项，“多边形”是“正多边形”最邻近的属概念，“正多边形”不仅具有“多边形”的本质属性，同时它具有“各角相等且各边也相等”这一属性。这是用以区别“正多边形”与“多边形”这个属概念下的其他种概念的属性，这样的属性称之为该概念的种差。又如：
矩形是有一个角是直角的平行四边形。
↑↑↑
被定义项种差邻近的属
用这种方法给概念下定义要解决两个问题：①要找出被定义项的概念的最邻近的属概念；②要指出它区别于这个属概念下其他种概念的属性，即种差。
对于同一个概念，选择同一个属的不同种差，可以作出不同的定义。例如：①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；②两组对边分别相等的四边形叫平行四边形；③两对角线互相平分的四边形叫平行四边形。选择的属都是“四边形”，但种差不同。
用属加种差的定义方式有助于建立对象之间的联系，使知识系统化，便于巩固已学知识。
(2)发生定义方式(又称构造定义方式)
它是属加种差定义方式派生出来的一种特殊形式，是用一类事物产生或形成情况作为种差所作出的定义。例如，圆的定义：一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线，它的种差是如何画出圆的情况。
发生定义在数学里很多，例如，数轴，直角坐标系，椭圆．双曲线，抛物线，二面角，二面角的平面角，异面直线所成的角，等等。
发生定义按概念产生的过程，给出了构造程序。故又称为构造定义。
(3)关系定义方式
关系定义是以事物间的关系作为种差的定义。它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的本质属性。例如：大于直角而小于平角的角叫做钝角；6(≠0)整除a，就是有一个数c，使a=bc成立。
(4)外延定义(又称概括定义)
是用并列的种概念给属概念下定义的方法。在外延定义中被定义项是属，定义项是几个种的并集，实质是直接指出被定义项所指对象的外延。例如，抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线；有理数和无理数统称为实数。
(5)语词定义方式
语词定义就是说明或规定语词或词组的意义的定义。例如：规定“∈”表示“属于关系”；“∑”表示“和”；“∽”表示“相似于”等等。这些定义可以理解为规定了新符号“∈”、“∑”、“∽”的意义，也可以理解为给出了“属于关系”、“和”、“相似于”的简称或略语。它犹如给事物或对象取名字，有相当的随意性，但必须合乎某些规律和日常习惯。
(6)公理定义方式
就是用一组公理来描述被定义项概念的本质属性的定义方式。例如，群的定义：在集合G上定义了一个运算，如果满足封闭性、结合性，有零元，对G内每个元有逆元，那么G对这个运算来说就是一个群。这个定义就可以看作公理定义。
(7)递归定义
当被定义项与自然数的性质直接有关时，在数学中常采用递归定义。例如，实数4(n≠0)的n次幂an=aan(n∈N)的递归定义为：
①a0=1，②ak+1=aka(k∈z+)。
3．定义的规则
形式逻辑的定义规则是在已有的具体知识的基础上，提供下定义所普遍需要遵循的规则，也是分析一个定义是否正确的方法。
规则1定义必须是相称的。即被定义项的外延和定义项的外延必须全同。
若定义项的外延少于被定义项的外延，则定义过窄；若定义项的外延多于被定义项的外延，则定义过宽。如把平行线定义为：“两条不相交的直线”，就犯了过宽的毛病；应定义为：“平面内的两条不相交直线”。
规则2定义不得循环。指定义项中不能直接或间接地包含被定义项。
如果在定义项中直接或间接地包含被定义项，这样的定义项是不明确的，也达不到明确被定义项的目的。犯这样的错误称之为循环定义。例如，“互为质数就是互为质数的数”。这个定义在定义项中直接包含了被定义项。又如，“e是自然对数的底”；“自然对数是以e为底的对数”。这是定义项间接地包含了被定义项。它们都是循环定义。
规则3定义一般不用否定形式。给概念下定义应表示被定义项具有某种属性，用否定的形式只能表示被定义项不具有某种属性。这样定义项就没有揭示事物的本质属性。
例如，“圆”是“不方的几何图形”，“加”就是“不减”，“正”就是“非负”等，都没有揭示出被定义概念的本质属性。
但这个要求不是绝对的，有些事物的本质属性就是揭示它缺乏某种特性，如斜棱柱的定义：侧棱不垂直于底面的棱柱。
规则4定义应当是确定的、简明的。即定义不能有含糊不清的语词。
