就认识论和方法论上来分析，任何事物都有它的现象和本质。现象是指事物的外部形态、外部联系；本质是指事物内部的矛盾运动、内部联系。本质常常隐于现象的背后，不易为人们直接感知。抽象就是透过事物的现象，深人事物的里层，把事物的本质抽取出来的过程和方法。通过抽象分析，人们才能就事物的内部联系，对现象作出统一的科学的说明。
数学抽象是把大量生动的空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。
抽象的基本过程，大体是从所考察的问题出发，通过对各种经验事实(或已有的基本概念、基础理论)的观察、分析、综合和比较，排除事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，揭示客观对象的本质和规律。
进行抽象，一般应注意以下几点：首先，要分辨事物的真相和假象，避免被假象所迷惑；其次，要撇开与所考察的问题无关的内容，排除那些模糊基本过程、掩盖普遍规律的干扰因素，在纯粹的状态下考察事物；第三，要区分基础的东西与派生的东西，深人事物内部，发掘决定事物性质的基础内容；第四，要从基础的东西出发，把事物的各种属性和关系综合起来，把事物的本质作为一个完整的体系抽象出来。
例如，哥尼斯堡七桥问题。18世纪，东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。河上有7座桥，如图4—3所示。问能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？
这个问题很长一段时间没有得到解决，后来在1738年瑞士数学家欧拉(Euler)利用数学抽象方法，成功地作出了解答。
具体地说，欧拉敏锐地看到，整个问题与所走路程的长度无关，而且，岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为4个点，把7座桥抽象为7条线，这样．七桥问题便等价于一笔画出图4-4的问题。
欧拉在此基础上考察了一笔画的结构特征，认识到一笔画有一个起点和一个终点(特别地，当起点与终点重合时，便为自封图形)。除起点与终点外，一笔画中出现的交点处曲线总是一进一出，即通过交点的曲线总是偶数条。换句话说，一笔画中至多只有两个点(起点与终点)有可能通过奇数条曲线。容易看出，图4-4中的A，B，C，D四点，都通过了奇数条曲线，所以不是一笔能够画出的图形。从而，问题的回答是否定的。
从上面的例子可以看出，数学抽象具有三个显著的特征。首先，数学抽象有着明确的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系。其次，数学抽象适用的范围广泛，既有以提炼数学概念为基本目的的表征性抽象，又有旨在探索数学理论的原理性抽象。第三，数学抽象有着丰富的层次，不仅表现为直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为在已有数学知识的基础上，抽象新概念，建立新理论。
数学抽象的常用法有：
1．视为同一的抽象
视为同一抽象方法的基本思想是：设给定某一集合A并且给定了某种等价关系～，这时集合A就分成了等价类，考察集合A／～，它的元素是这些等价类，于是我们便得到了新的数学对象：等价类本身和这些类的集合。当我们从各种各样的研究对象中筛选出它们的共同性质与关系时，便使用这个抽象方法。
例如，自然数，它是同各种各样的由各种物体组成的集合联系在一起的，比如5这个数，可以表示手指的个数，花瓣或五角星的顶点的个数，等等。因此，数“5”反映着这些由不同物体组成的集合的一定量的特性。这些集合虽然所含元素是不同本质的各种物体，但它们都以个数“5”为其共同的特征。那么人类是如何对数这个集合的一般性质进行抽象的呢？为了比较两个集合，必须采取一定的方法把这两个集合的元素对应起来。最简便的办法，就是让这两个集合的元素之间一一对应起来。例如，由5个手指组成的集合，把每个手指分别与另外一个集合不同元素对应起来。比方说，将由5条狗构成的集合与一只手的手指的集合对等，而由10条狗的集合就不能与它对等。这样一来，凡是集合元素个数相同的集合，用一一对应的办法都可以建立起对等关系，这样就可以把一切对等集合的共同性质从集合自身中抽象出来，以“纯粹的量”的形式作成自然数这一抽象概念，用其表现数量多寡这一共性，但是，这时数量的基准已经不是物，而是自然数了。
人们对于某个一般的性质，使得凡具有此性质的对象组成的集合相应对等，利用这种关系，便可以把自然数定义为：一切互相对等的集合的集合。
以数的概念构成为例，我们就能较好地理解在数学中起着重要作用的视为同一的抽象方法(又称等置抽象方法)。它是从假设所考虑的物体集合之间有等号型关系开始的。比如在定义自然数时，考察集合间的一一对应的关系，在定义几何学中的图形的概念时考虑相似关系，另外为了定义同余数的合同概念则必须考察同余这个关系等。一一对应，图形的相似，数的同余等关系具有以下三个重要的特性。
(1)对称性
如果集合A与集合B对等，则集合B同集合A也对等。例如，集合A1与A2一一对应，则反过来集合A2与A1也一一对应。对称性可用逻辑的符号表示为：
若xRy，则yRx。
此即若元素x与y存在关系R，则y对z也有关系R。
(2)传递性
如果集合A与B对等，B与C对等，那么A与C对等。例如，集合A1与A2一一对应，而A2与A3也一一对应，那么A1与A3一一对应。传递性可表示为：
若(xRy且yRz)，则xRz。
此即，元素x与y存在关系R，元素y与z也存在关系R，那么x与z存在关系R。
(3)反身性
任何集合都与自身对等。反身性可表示为：
xRx。
此即，元素x与z自身存在关系R。显然任何集合都与自身一一对应。
如果在一定的对象之间存在有对称性、传递性、反身性的关系，那么就能够抽象出这些对象之间的固有的共同性质。这就使得上述关系成为从各种各样的研究对象中筛选出它们的共同性质和关系的较为普遍使用的抽象方法。如由相似关系可以抽象出几何学的物体的形状这个性质；由模为5的同余关系能够抽象出可比较大小的以5为模的同余数这个性质；由一一对应关系便能抽象出集合基数的性质。
具有对称性、传递性、反身性的关系，由于它与典型的等号关系类似，往往称它为等号型关系或等价关系。存在着这种等价关系的对象就在一定意义下等置。因此，我们可以利用集合元素一一对应这种等价关系，按元素个数分成不同的等价类。每一个等价类用一个数的符号来代表。例如，所有元素个数为5的集合就是一个等价类。我们忽略构成这些集合元素之间物质的性质，仅仅考虑它们有数量5的共同特征。我们用符号“5”代表，这便是自然数5的抽象过程，其他自然数完全可以类似地抽象出来。
2．理想化抽象
所谓理想化抽象是指某种性质并非实际地存在于事物中．而是同实际明显分离，甚至是假想的性质，利用这种假想性质形成某种抽象化的方法。它是在纯粹的理想的形态下，对事物进行简单化、完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除事物的次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、本质的属性，抽象出相应的数学概念。几何学中点、线、面等基本概念的引进，就是理想化抽象的典型例子。
理想化抽象不仅对于数学概念的引进是十分重要的，而且对于由实际问题去构造数学模型，也是不可缺少的。欧拉正是利用理想化抽象方法，把哥尼斯堡七桥问题转化为一笔画问题，从而使问题得到顺利解决。
利用理想化抽象解答实际问题时，必须注意到，既不能把问题过于简单化，与实际情形有很大的出人；也不能使抽象后的数学问题过于复杂，以致失去典型性意义。为了提高这方面的能力，可以多考察一些应用问题。
(3)可行性抽象
在数学中，有些特殊的对象，比如无限概念必须运用特别的抽象化方法。数学中经常碰到各种抽象对象组成的无限集合，自然数列就是其中一例。自然数是有序无限序列，人们可以想出自然数列可以无限延续，但是谁也达不到无限延续了的自然数。于是人们便把能够实现的过程从不能实现的过程中区别出来，而把自然数列的无限延续性冠之为实现可能性抽象。这种抽象把无论多大的自然数都能写出或读出的这种实际上的可能性舍去，而只承认自然数n达到之后，总还能写出它后面的自然数n+1。我们把这种抽象方法称之为可行性抽象。
中学数学抽象有两种形式：
(1)直观现实化抽象。在感性认识中，抽去事物的一些性质，而把注意力放在对象的某些其他性质上面。当我们舍去一些性质，同时也就分离出对于我们认识具有重大意义的其他性质。例如，当我们将一个对象看作几何体时，舍去质量、颜色等物理、化学性质，而仅仅注意它的形状、大小，平面或空间的位置，这样我们便可抽象出多边形、圆、柱、锥、台、球等几何体，从而揭示长度、面积和体积等数量关系。
(2)概括形式化抽象。这种抽象不仅仅是将事物和现象的种种性质的一般的、本质属性抽取出来，而且对它们作了数学处理，例如，从“七桥问题”抽象为“一笔画”问题就是这种抽象。由实际问题抽象为数学模型也是这种抽象，这种抽象已经是超出了感性认识，而进入到理性认识的范畴之中。
应当指出，上述各种思维过程经常是结合着进行的，不同的思维任务要求思维过程的不同组合，不过，分析和综合是思维的基本过程，其他过程都是从分析和综合派生出来，或者说是通过分析、综合来实现的。因此，数学教学中，要想使学生合理地组织和运用各种思维过程，顺利地完成思维任务，就必须特别重视分析和综合能力的培养。同时，观察、实验、归纳、类比都可得出猜想，它们是获得直觉思维的有力工具，也是培养学生发现能力很好的方法。布鲁纳就说过：“机灵的预测，丰富的假设和大胆迅速地作出的试验性结论，这些是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富。”在教学中，经常注意培养学生这方面的能力．是有极其深远意义的。
