问题：如图4-2所示，△ABC的∠B和∠C的角平分线相交于O点，过O点作平行于底边BC的直线，直线交AB边于D点，交AC边于E点，求证：DE=DB+EC。
在解题中，需要证明△BDO和△CEO是两个等腰三角形，这样DB和EC才能分别等于DO和OE，从而DB+EC才能等于DE。
这样，就要求解答者既看到BO，OC是△ABC中∠B，∠C的角平分线，又要能看到它们是平行线DE和BC的截线(使客体参加到新的联系中)。最后，又要把BO，OC分别看作等腰△DBO和△CEO的底边(又是参加到新的联系中)。可见，同一条直线包括在不同的联系中加以分析，每一次都能发现它的新的特征。这些特征又彼此相互联系着，并且只有把它们相互联系起来(综合)进行分析，才能使问题得到解决。
其次，分析可以被看成从结果追溯到产生这一结果的原因(执果索因)的一种思维方法，而综合则可被看成是一种从原因推导到由原因产生的结果(由因导果)的思维方法。
笛卡儿(1596—1650年)在他的《逻辑学》一书中详细地研究了分析和综合的这种意义。在叙述这两种方法的本质时，他用下面的例子极其直观地说明了这两种方法。
笛卡儿写道，“我是不是查理大帝的亲属？回答这个问题可以有两种方法。可以在‘系谱表’里往前查，即从我查到查理大帝，也可在‘系谱表’里往后查，即从查理大帝查到我。”笛卡儿说：“如果我们两个的名字在同一的系谱表上，那么我们就是亲属关系。”
解这个问题的前一种方法是分析，而后一种方法就是综合。
如果按照这种意义来理解分析和综合，那么解答应用题时，算术方法体现的是综合，而代数方法体现的是分析。
例如，张红和小铭共12岁，小铭5岁，张红几岁？
对这个简单的问题：
算术方法：12—5=7——解法属于综合
代数方法：设张红x岁，则x+5=12，所以x=7——解法属于分析
用这种意义下的分析和综合来解题，我们在今后将经常碰到。
最后，分析还可被看成是以借助数和度量的概念从数量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法。而综合是以从质量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法。
像解析几何和综合几何这样一些学科，在一定程度上是按分析和综合的这种意义而解决问题的。
四、概括与抽象
一般地说，概括就是把对象或关系的某些共同的(或本质的)属性在头脑里区分出来，固定下来。抽象就是把由概括区分出来的共同的(或本质的)属性，从其他非本质属性(对我们的研究来说的)中抽出来并舍弃这些非本质属性(在我们研究的范围内)。
由此可见，如果没有概括，也就是说如果没有区分出某些共同的属性，那么也就不能抽出本质属性，排除非本质属性，就实现不了抽象。反之，如果不能从所概括的东西的差异中进行抽象(即舍弃非本质特征)，那就不能概括。与此同时，被抽象的特性本身，是以概括的形式被思考着的。例如，如果不从形形色色的平行四边形之间进行抽象，那就不能在思想上把一切平行四边形用本质特征联合起来，即不能概括。从一定意义上讲，概括和抽象是数学的本质特征，学会概括和抽象，对学好数学有着重要的意义。
（一）概括
概括是一种思维过程，它包括两种意义：
一是指思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来。例如，从落体运动规律s=12gt2，动能公式E=12mv2，热能公式Q=12RI2。的相似情境中，仅从数量关系角度，把上述属性联合起来，而舍去上述各公式中量的具体内容，便会导致一种概括，即上述各式都可以表示成一种共同的形式：y=12ax2。
二是把被研究的对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物上。例如，当我们由讨论自然数集过渡到讨论正分数集合时，就在进行概括。
在这个意义下的概括，可以有两种方法来获得：一是将一固定的对象换成可变的对象(如由三角形一多边形)；二是取消对被研究的对象所加的限制，如由O<a<π2a∈R(R是实数集)。
概括和分析一样，也有两种不同的形式，即初级的、经验的概括(或者叫做感性的概括)和高级形式的科学的概括(或者叫做理性的概括)。
感性的概括是一种低级的概括形式。这种概括往往是在直观的基础上自发进行的。它是根据事物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃它们互不相同的特征，对它们的共同特征加以概括，这是知觉表象阶段的概括。例如有的学生经常看到锐角、直角与钝角，却认为角是由两条线交叉所组成的平面，类似这样的一种认识，从形式上看，虽然也是抽象的，而且从外延上看涉及到一类事物，但是从内容上看，并没有反映出该类事物的本质特征，因为“角”的本质特征不在于两条线的交叉，而在于“由一个端点引出的两条射线所组成的平面”。
感性的概括通常是在直观的基础上进行的。由于事物的某些要素或是由于重复，或是由于在学生生活活动中具有特殊意义等，使它同对象的其他要素相比，处于优势地位。因此这些要素的刺激作用在大脑皮层上引起的兴奋，根据负诱导的神经活动规律，可以抑制其他要素的刺激作用。这样，它们就能与其他要素分离，而被认为是对象的本质特征。实际上这种概括不是通过感觉的分析和抽象，而是依靠对象各要素之间的强弱对比，强要素的泛化掩蔽了弱要素而实现的。这类概括是自发完成的。因此，也可以把它叫做直觉的概括。
在科学概念的领域中，如果对于这种概念的概括不充分，则往往发生以日常概念代替科学概念的现象。尤其是当一些日常概念同科学概念相近时，一些学生往往自以为明白了、懂了，不去作认真的分析、概括，常常以日常概念代替科学概念。例如，在日常的“垂直”概念中，通常是以地平线为标准的。这种日常的“垂直”概念同几何学中的“互相垂直”这个概念是有区别的。如果在学习“互相垂直”这个概念时，不同日常的“垂直”概念作比较分析，则常常会以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”的概念。这种现象，在国内外的教学研究中均有发现．有时还表现得比较严重。例如，国内外的教学研究中发现，在让某初二(1)班的学生作钝角三角形的三条高时，该班有50％的学生不知怎样画。他们发生困难的原因，主要是受以地平线为准的日常的垂直概念的影响。
在科学概念的领会方面，为了既防止感性概括的消极影响，又利用感性概括来促进对科学概念的领会，教学时要把科学概念与日常概念作充分的比较，使学生认识两者的异同，不仅了解日常概念的表面性和局限性，而且了解科学概念的深刻性和全面性。
理性的概括是高级形式的科学的概括，它是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。所以这不是直观的概括，而是思维水平的概括。
理性概括是一个相当复杂的过程，有许多研究思维问题的心理学家研究过有关这一过程的特点，并提出了许多不同的意见，其中，对于教学来说，有三点是必须注意的。
第一，它不是自发进行的，一般是在意识到感性知识经验的不足或矛盾时，在对感性知识经验自觉进行一系列的分析基础上完成的。所谓意识到感性知识经验的不足或矛盾，在教学中通常是在下列情况下发生的：
(1)对把一些外表很不相同的事物归入同一类别，并以同一名称来命名感到困难时。如果学生原先认为“角”是由两条线交叉形成的，那么当他把平角或圆周角也列入“角”这一类，都以“角”来命名时，就会对原先认识发生疑问，感到不足，这时就会要求他重新认识角的本质特征，自觉地去分析思考现有的谈识，发现不足，使原有的认识提高一步。
(2)在以已有的知识经验去解释、说明新的事物现象而遇到障碍时，也会促使他自觉地去思考。
因此，要使学生进行理性概括，必须在教学中善于创设问题情境，引导学生去进一步思考。这是进行启发式教学的一个关键。
第二，理性概括的结果是以揭示事物的一般因素(特征与联系)及本质因素(特征与联系)为特点的。所谓一般因素指的是一类事物所共有的，不是个别或某些事物所特有的；所谓本质因素，即内在的决定事物性质与联系的那些因素，也就是通常的概念与法则的逻辑定义所揭示的那些因素。
第三，在教学条件下，理性的概括通常是在前人认识的指导下，对一类事物的特征与联系进行一系列的分析和比较，从而区分一般(共有)与特殊(非共有)因素而实现的。例如，学生在领会圆这一概念时，必须围绕圆的定义，对各种圆形的特征进行分析，分出圆心、圆心到圆周的距离、圆面积的大小等等特征，并在这个基础上把这些特征进行比较，区分出哪些是所有圆形都其有的(圆周上各点到中心点的距离都相等)，哪些不是所有圆形都共有的(如圆面积的大小，有没有标出中心点等)，然后才能在这个基础上进行概括(圆是由圆周各点到中心点的距离都相等的点的集合)。这里特别要注意的是前人的认识指引(如概念的定义)与比较。这是学生对教材概括所不可缺少的两个前提，因为没有前人认识的指引，就难以确定比较的方向，没有比较，就难以区分出一类事物所共有的一般因素，从而也就难以确定事物的本质因素。
以上是关于理性概括及其进行的基本特点。此外，就这种概括的进行方式来说，一般有两种不同的形式。一种是先有结论，然后进行分析、检验以及修正这一结论；另一种是先进行分析，然后才得出结论。美国著名的心理学家布鲁纳认为这是两种不同的思维形式。他把前者称为“直觉型思维”，后者称为“分析型思维”。布鲁纳认为在教学中应提倡直觉思维。
（二）抽象
从字面上作解释，“抽象”一词，来自拉丁文abstrictio，它的原意是排除、抽出。在中文里，“抽”作“引”讲；“象”作“对象”解，指思维或思考的客体。“抽”与“象”连用，表示在思维过程中，通过“抽”的活动反映对象。
在自然语言中，不少人把所有不能为人们的感觉器官直接把握的东西，也就是通常所说的“看不见、摸不着”的东西，叫做“抽象”；也有人把晦涩难懂、贫乏空洞的思想内容，说成是抽象的；还有人把“抽象”作为孤立、片面的同义词。这些都不是抽象的本意，而只是它的引申或转义。
