如“一个多边形的顶点在圆周上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形”，这个定义就含糊不清，因为它既没有指明是多边形的各个顶点在圆周上，又没有指明是在同一个圆周上。定义要简明，即不能包含互相推出的本质属性，而且不要超越选项。
(二）原始概念(原名)
数学里的概念要有明确性，不能混淆不清，而且定义不得循环。下定义是以一些已定义了的概念来定义新概念，这样顺次上溯最终必然出现不能用已定义过的概念来定义的概念。我们知道，定义“垂直”用到“直角”的概念，定义“直角”用到“平角”的概念，定义“平角”用到“始边”、“终边”和“射线”的概念，……追本穷源，必有不能用别的概念来定义的概念：“点”和“直线”。像这样，不能用别的概念来定义，且又用来定义其他概念的概念，就叫做原始概念(简称为元名)。
在数学中原始概念应越少越好，但在中学教学里，却不能苛求。在中学课本中，一般用描述法解释原始概念，如用“磨光了的镜子”、“平静的湖面”描述“平面”。用描述法来叙述原始概念，不能作为推理、论证的根据。人们总结出关于“平面”的三个基本性质，即：①如果一直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内；②如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这个点的一条直线；③经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。这三个基本性质被称为“平面三公理”，并以此作为“平面”固有属性，它是立体几何推理论证的根据。
（三）概念的划分
1．什么是划分
如果说下定义是明确概念的内涵的逻辑方法，那么划分是明确概念外延的逻辑方法。
单独概念的外延只是指一个单独的事物，即单独元素集(如太阳、地球等都是单独概念)。普遍概念是指反映某一类事物的概念，它的外延不是由一个单独的对象构成的，而是指由许多分子组成的类(用集合的语言说，是由多于一个的元素组成的)。分子有多有少，有的数量有限，研究它的外延时一一列举就可以了，但有的数量很多，如果要把它们一个一个列举出来，有时是不必要的，有时也是不可能的，因此需要用另一种方法来明确外延。这就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，也就是将一个属概念划分为若干种概念，这就是明确概念的外延的方法——划分。
概念的划分有三要素：①被划分的概念叫做划分的母项；②分出的各个种概念叫做子项；③进行划分所用的准则叫做划分的标准。例如，把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。其中三角形为母项，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形为子项。
2．划分的规则
规则1划分后各子项应当互不相容。即不能有一些对象既属于这个子项，又属于另一子项。所以各个子项之间必须是互不相容关系。违反这条规则的错误，叫做子项相容的错误。
规则2划分后各子项必须穷尽母项。即指划分后各子项的总和应当与母项全同。如果子项不穷尽母项，那么必有一些属于母项的事物不属于任何子项。违反这条规则的错误，叫做子项不穷尽母项。
例如，把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形三类。这种划分一方面犯了子项相容错误，另一方面又犯了子项不穷尽母项的错误。因为正方形与菱形、正方形与矩形是交叉概念，它们是相容的，并且这种划分漏掉了邻边不等的斜平行四边形，故子项不穷尽母项。
规则3每次划分应当用同一个划分标准。人们在实践中要达到的目的不同，划分标准可以不同，但同一次划分不能交替使用两种或两种以上的标准，否则就会造成划分的混乱，甚至错误。例如，把三角形划分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形，便破坏了这条原则，因为交叉使用了两个不同的划分标准。
规则4划分不应越级。即应把属概念分为最邻近的种概念。违反这一条就叫做犯了越级分类的错误。例如，把实数分为整数和分数就犯了越级分类的错误。
3．划分的种类
划分有一次划分和多次划分(又称连续划分)。多次划分是把母项分为几个子项，然后把那些子项作为母项再分为若干子项，直到满足需要为止。
二分法是把母项分为两个子项，其中一个子项具有某种属性，而另一个子项却没有这个属性。一个母项由二分法得出的两个子项之间必须具有矛盾关系，有矛盾关系的两个子项是不相容的，又是穷尽了母项的。
例如，平行四边形的概念，可用二分法划分如下：
平行四边形(按边)等边平行四边形直角等边平行四边形(正方形)
非直角等边平行四边形
(菱形)(按角)
不等边平行四边形直角不等边平行四边形
非直角不等边平行四边形
(按角)
通过概念的划分，有利于掌握概念的系统，区分概念和了解它们之间的关系。通过划分常可以发现一些新概念、科学研究中的新元素。
（第二节 ）数学命题
一、判断和数学命题
（一）判断与语句
判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。例如“三角形内角和等于180…；“点P在直线AB上”，2是无理数”，等等都是判断。
在判断中常反映着：①某属性是否属于这个或那个思维对象；②各思维对象间的关系；③各对象间的制约关系，等等。因此，对思维对象有所肯定或有所否定乃是一切判断的最显著的特点。
判断有真假之分。如果一个判断所断定的符合客观实际情况，与事实相一致，那么这个判断是一个真实的判断；如果一个判断所断定的不符合实际情况，与事实不一致，那么这个判断就是一个虚假的判断。
判断作为一种思维形式、一种思想，是不能离开语句赤裸裸地存在的。判断的形成和表达都离不开语句。但应当注意，并非所有的语句都表达判断。例如，“3是有理数吗？”就不是判断。
（二）数学命题及其分类
在数学上，表达判断的语句叫做命题。表达真判断的语句称为真命题，表达假判断的语句称为假命题。一个命题不是真的就是假的，不能又真又假。
数学命题常用符号、算式来表达。例如，“3+2=5”，“(a+b)2=a2+2ab+b2”等都是数学命题。
在命题逻辑中，通常用p，q，r等表示命题，称为命题变量或命题变项。命题变量只能取“真”、“假”二值。为书写方便，常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。如果命题P是一个真命题，就说p的真值等于1，记作“p=1”；否则，我们说它取假值，记作“p=0”。
根据不同的标准可把命题分为几种不同的类型。首先按命题本身是否还包含其他的命题而分为简单命题和复合命题。
简单命题是命题本身不再包含其他命题的命题。按其所断定的对象是性质还是关系而分为性质命题和关系命题。
复合命题是由两个或两个以上的简单命题组成的命题。按照组成复合命题的各个简单命题之间的结合情况如何，将其区分为负命题、联言命题、选言命题、假言命题。
命题简单命题性质命题
关系命题
复合命题
负命题联言命题
选言命题
假言命题
二、简单命题
简单命题就是不包含其他命题的命题。简单命题可分为性质命题和关系命题两种。
（一）性质命题
性质命题就是断定某事物具有(或不具有)某种性质的命题。例如：一切正方形都有外接圆；任何一个圆都不是直线形；有些四边形是平行四边形；有些直角三角形不是等腰的。
1．性质命题的逻辑结构
从上述例子中可以看到，虽然断定的事物具体内容不同，但都由下面几部分组成。
它们都有一个表示判断对象的概念，称为命题的主项，逻辑学上通常用“s”表示。如例子中的“正方形”、“圆”、“四边形”、“直角三角形”。
它们都有一个表示判断对象所具有或不具有的某种性质的概念，称之为命题的谓项，用“P”表示。如“外接圆”、“直线形”、“平行四边形”、“等腰”。
它们都有一个联系主项和谓项的关系词，称之为命题的联项，通常又被称为命题的“质”。如“是”、“不是”、“能”、“不能”、“有”、“不具有”。
在它们的前面都有一个表示判断对象数量的概念，称之为命题的量项。如“一切”、“有些”。量项又称为命题的“量”。量项分为两种：一种是全称量项，它表示在一个命题中，对主项的全部外延作了断定，通常用“所有”、“任何”、“一切”、“每一”、“凡”等语词表示。另一种是特称量项，表示对主项的部分外延作了断定，常用“有些”、“有的”、“某些”等表示。特称量项的语言标志在命题的语言表达中不能省略，全称量项的语言标志可省略。
性质命题的逻辑结构是：所有的(或有的)s是(或不是)P。
2．性质命题的种类
按性质命题的“联项”，即“质”的不同，可将其分为肯定命题和否定命题。肯定命题是断定事物对象具有某种性质的命题；否定命题是断定事物对象不具有某种性质的命题。
按性质命题的量的不同，可分为：全称命题，即断定某类中的每一个对象(或某一个别对象)是否具有某种性质的命题；特称命题，即断定某类中的部分对象是否具有某种性质的命题。
按性质命题的质和量的不同结合，可将性质命题分为如下四种a
全称肯定命题断定一类事物的全部都具有某种性质的命题。通常用“A”表示，也可写成“SAP”。逻辑形式是：所有的S都是P。
全称否定命题断定一类事物的全部都不具有某种性质的命题。通常用“E”表示，也可写成“SEP”。逻辑形式是：所有的S都不是P。
特称肯定命题断定一类事物中的部分对象具有某种性质的命题。通常用“I”表示，写成“SIP”。逻辑形式是：有的S是P。
