数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提，反过来，学习数学又能大力促进学生思维的发展。教师在指导学生学习数学时，要与学生思维发展的进程相吻合，既不能不顾学生思维发展的阶段、水平，要求他们学习难度过大或过于抽象的内容，从而造成“消化不良”和学习负担过重，也不能低估学生思维发展水平，降低学习要求，阻碍学生学习潜力的发挥，造成教学内容贫乏和过易，从而直接影响他们思维的发展和能力的提高。因此，在向学生提供学习材料时，要根据他们的具体情况，作精心设计与处理，既不应使学生轻易地得到解决，也不能是他们力所不及、无法解决的，而是经过学生的努力可以解决与接受的，“跳一跳可以够得着的”。这样才能起到促进思维的发展和提高能力的作用。
学生学习数学的方式、方法，是随他们思维的发展而变化的。例如，处于经验型思维的初中学生，学习数学概念时，需要具体的例子与经验作支持，否则还难以接受；而处于理论型思维的高中学生，则可摆脱具体的例子与经验这根“拐杖”，直接理解用语言或符号陈述的新概念。当然，这并不是说对于高中学生可以不再使用具体例子，而是在于使用具体例子的作用方面与初中学生有所不同。对于高中学生，在学习概念时使用具体例子，是为理解它的真正抽象意义，为使学习更生动、更鲜明。由此可见，提供给学生学习的材料，应与他们的思维发展水平相一致。例如，计算“凸”边形对角线的条数。对处于形象思维阶段的学生来说，可以用实验归纳法，画图去数：
n=3，三角形对角线条数为0∶0=3(3-3)2
n=4，凸四边形对角线条数为2∶2=4(4-3)2
n=5，凸五边形对角线条数为5∶5=5(5-3)2
n=6，凸六边形对角线条数为9∶9=6(6-3)2
然后进行不完全归纳，得出凸n边形对角线的条数为n(n-3)2。
而对处于经验思维型的学生，可以进一步推理计算，一个顶点引出n-3条对角线，n个顶点共计n(n-3)条对角线，但每条对角线以两个顶点为端点，每条对角线都被计数两次，所以凸n边形对角线的条数为n(n-3)2条。
对理论思维型的学生，可以用组合方法来计算个点两两连接共得C2n条线段，减去n条边剩下的就是对角线的条数：C2n-n=n(n-3)2。对理论思维型的学生也可以用数学归纳法来证明。
从思维发展的角度来分析，学生采用什么样的思维方式，往往与学习材料的新旧、难易密切相关。如果学习的内容是学生首次接触的新学科或超过了一定的难度，那么他们学习这些内容的思维发展水平就常会倒退到原来的思维发展阶段，如从理论型思维倒退到经验型思维。例如，开始学习立体几何这门新学科时，虽是高中学生，但仍然需要举一些实例或观察实物模型，这样才容易接受，而不能省去这根“拐杖”。又如，反正弦函数概念的建立，是个学习的难点，如果直接给出定义，就是进入高二年级的学生也难以理解。这时可以通过学生所熟悉的建立反函数的例子(如求函数y=x2在［0，+∞］上的反函数)以及正弦函数y=sinx的直观图像，引导学生学习反正弦函数的概念。当然，这并不意味着思维发展阶段的不存在。事实上，对学习难度大的内容或开始接触学习的新学科，处于理论型思维的学生与处于经验型思维的学生相比较，不仅前者接受快，领会深刻，而且能较快地转化为理论型思维。因此，对于难度大的内容或新学科的开始阶段，在教学时都必须认真对待，讲究教学方法，绝不能掉以轻心，否则会影响学生今后的整个学习。
要根据学生思维发展的规律进行教学。中小学生思维发展有其规律，在数学教学时就要适应这个规律，促进学生思维的健康发展。例如，初二年级的学生处于思维发展的关键期，思维的方式、方法和品质都处于一个新的转折点。在此期间，思维的抽象、概括、分析、综合、判断、推理等都在迅速发展，前后有明显的差异。从数学教学实际情况看，初二年级往往是产生学习分化的一个焦点，不仅是几何学习，就是代数学习的分化也很明显，原来数学学习优秀的学生不一定仍保持优秀，甚至会成为中等生或困难生，而原来数学学习中等或较困难的学生，也会有成为学习优秀生的。因此，在数学教学过程中，就要精心设计安排，不失时机地进行培养．防止出现不正常的分化。在北京市实验教材编写中，不是因为平面几何推理一时难以掌握就简单地将其砍掉或甩给高中，采用只顾眼前不管以后的做法，而是分散难点，在第一章从生活中的推理开始逐渐提高要求，使学生对推理有一个逐步熟悉的过程。又如，高一到高二年级是学生思维发展的成熟期，思维的方式、方法和品质等趋于稳定和成熟。一般认为，思维发展成熟前，抽象概括、分析综合和推理论证能力要比成熟后的变动性、可塑性大。因此，在数学教学中必须抓好成熟期前的教育，及时促进思维的发展与能力的提高，这样，才能起到事半功倍的效果。
四、数学思维品质和创造性思维的培养
1．思维的品质
思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此，在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。数学思维品质主要有以下几个方面：
(1)思维的广阔性
思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题，善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法，或扩大解题中得到的结果的适用范围，或将其推广到类似的问题中去。因此，思维的广阔性也称为思维的概括性。
例如，在圆x2＋y2=9上有一点P，圆内有一个定点A(-2，0)，求线段AP中点的轨迹方程。解题时，引人参变量，利用中点坐标公式可以推导出它的轨迹方程。
若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线，或把已知曲线方程改为参数方程形式，解题思路是相同的。
若把条件“圆内有一个定点”改为圆外或圆上，解题思路也相同。
若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP分成定比的分点的轨迹方程，解题思路仍基本相同。如果学生能够进行上述的变换和转化，这表明学生思路宽广，思维没有在证明了该题后止步，还思考着当题中的条件或结论发生变化时，题中的思想方法是否还能使用。
思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表现为思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条框框的束缚，思维处于封闭状态。在学生的数学学习中经常表现为只是围着书本和教师转，或者陷入题海之中，得不到主动发展。长期下去必然造成学生思维的片面和狭隘。
(2)思维的深刻性
思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握住它的本质，而不被一些表面现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的”，特别要在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。例如在概念学习中，要分清一些容易混淆的概念，如正数和非负数、方根与算术根、充分条件与必要条件等；在公式、定理、法则的学习中，要完整地掌握它们(包括条件、结论和适用范围)，领会其精神实质，思考它们为什么成立，在什么条件下成立；在解题时，要领会解题方法的实质。
思维的深刻性的反面是思维的肤浅性，经常表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质，照葫芦画瓢。
例如，已知方程x2+x+p=0的两个虚根为α，β，且|α-β|=3，求实数P的值。
在审题中，有不少学生由|α-β|=3得到α-β=±3或|α-β|2=(α-β)2，从而造成原则性的错误，其根本原因是没有深入思考实数的绝对值与虚数绝对值的本质差异，从而造成错误，这是思维缺乏深刻性的表现。
(3)思维的灵活性
思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时地调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法则，并且思维不同于固定程式或模式，具有较强的应变能力。爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。
思维灵活性的反面是思维的呆板性。知识和经验经常被人们按照一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了—种先人之见，使思维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题的过程中总想遵循业已知道的规则系统。这即是思维的呆板性。
例如，已知二次方程(a-b)2+(c-a)x+(b-c）=0(a，b，c∈R)有相等实根，求证a，b，c成等差数列。对此题，若学生思维呆板，则会总是停留在利用一元二次方程根的判别式上，而不能根据本题条件，得出其他证法。而思维灵活的学生，则能从观察该方程的特点人手，立刻得知该方程的相等实根为1，于是由韦达定理得(b—c)/(a-b)=1，从而立即得出结论。
(4)思维的批判性
思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云。也不自以为是。
思维批判性的反面是无批判性，这也是许多中学生的思维特点。他们常常表现为轻易相信结论，不善于或不会找出自己解题中的错误。
例如，1987年全国高等学校招生理科数学试题：一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差．求斜高。
由本题的已知条件可得：下底面积=侧面积+上底面积。
这一关系直接与下列定理相悖：多面体任何一面的面积小于其他各面面积之和。所以，原题是个错题，但很少学生产生质疑，还是循规蹈矩地计算，得出斜高为3。这显然是缺乏思维的批判性。因此，在数学教学中要特别注重培养学生乐意进行各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考．找出问题所在的良好习惯。
我国数学家华罗庚指出：“学习前人的经验，并不是说要拘泥前人的经验，我们可以也应当怀疑与批评前人的成果。但怀疑和批评必须从事实出发。”而华罗庚本人就是一位治学严谨．不盲从前人、古人、权威，既独立思考，又实事求是的数学家。早在1929年，已经对数学有浓厚兴趣，并进行了初步探索的华罗庚虽只是初中毕业，却对苏家驹发表在《学艺》杂志上的论文《代数的五次方程式之解法》进行了质疑。华罗庚在1930年12月出版的《科学》15卷2期上发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，这篇文章对华罗庚的个人命运是决定性的。他于该文发表后的第二年，即1931年，被数学家熊庆来调到清华大学数学系任助理员，从此走上了一条通往大数学家的征途。华罗庚人生的最大转折就得益于即独立思考，又实事求是的勇于批判的精神。
(5)思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人在处理问题和解决问题的过程中，能够适应迫切的情况来积极地思考，并迅速地作出判断。当然，思维的敏捷也包括正确的程度，也就是说思维的轻率性绝不是思维的敏捷性品质。另外，思维的敏捷性也要求具有记忆的条理性。即记住的东西经久不忘，迅速而正确地再现知识和把经验条理化。只有记忆有条理，才可能在思维过程中实现经济原则，达到思维的敏捷性。相反，如果记忆杂乱无章，则必然出现既不能记住本质的东西，又不能及时再现思维所需要的东西，所以很难达到思维的敏捷。甚至，可能出现它的反面——思维的迟钝性。
在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能缩短运算环节和推理过程，“直接”得到结果。例如，学生刚学完两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，而对于(x+y+z)(x+y+z)=？
这时思维迟钝的学生可能仍按照多项式的乘法规则来做，显得非常繁琐。而思维敏捷的学生可能一下子就能得到：
(x+y+z)(x+y+z)=(x+y+z)2
=［(x+y)+z］2
=(x+y)2+2(x+y)z+z2
=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
(6)思维的创造性
有些心理学文献认为思维活动的创造性、独创性或创新性思维是一个概念，只不过从不同角度分析罢了。我们认为思维的创造性和它们具有相同的含义。思维的创造性表现为能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法的思维品质。例如，数学王子高斯10岁时，有一次，教师在课堂上给学生出了这样一道算术题：
计算1+2+3+4+…+100等于多少？并以鼓励的口气说看谁算得最快。高斯很快举起了小手，并脱口说出了正确的答案，其速度之快，使老师大为吃惊。那么高斯是怎样即快又准确地算出结果来的呢？高斯不是用1+2=3，3+3=6，6+4=10……这样常规算法，而是采用新的算法，将左右两端处于相对称位置的两个数相加，所得的和都是101，由于100个数可以组成50个对称组，所以101×50=5050。这是思维具有创造性的表现。
思维的创造性是创造性人才的主要特征，是人类思维的高级形态，是智力活动的高级表现。它是根据一定目的，运用一切已知信息，在新异情况或困难面前采取对策，独特地、新颖地且有价值地解决问题的过程中表现出来的智力品质。任何创造、发明、革新、发现等活动都离不开创造性思维。
根据心理学家林崇德教授的研究，创造性思维具有如下五个重要特点：
①新颖、独特且有意义的思维活动
“新颖”是指前所未有，除旧立新；“独特”是指不同寻常，别出心裁；“有意义”是指具有社会或个人的价值。需要指出的是，一些精神病患者有时也会有某些新颖、独特的想法，但是因为不具有社会或个人的价值，因此不能称为创造性思维。
②思维加想象是创造性思维的两个重要成分
面临一个别人未能解决的新问题，只有通过想象，加以构思，才能得以创造性地解决。爱因斯坦曾经说过：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
③在创造性思维过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“灵感”
灵感是对巨大劳动的奖赏，跟强烈的创造动机和对思维方法的不断寻觅紧密相连。四元数的发现，被誉为19世纪的七大发现之一，对近世代数产生了很大影响。数学家哈密顿曾为这个数学问题苦心研究了15年，想不到竟在一次散步时，当他步行到希洛汉桥时，思想突然迸发出火花，终于提出了四元数的基本公式。后来，爱尔兰皇家协会为了纪念这个伟大发现，就把希洛汉桥改名为“四元数桥”。加强对学生有意注意的培养，可为灵感的萌发奠定基础。
④分析思维和直觉思维的统一
