分析思维就是按部就班的逻辑思维，而直觉思维则是直接领悟的思维。人的思维方式有两种：一是分析思维，即遵循严密的逻辑规则，逐步推导，最后获得符合逻辑的正确答案或结论；二是具有快速性、直接性和跳跃性，看不出推导过程的直觉思维。例如，一位数学教师在黑板上出了一道有一定难度的几何证明题，题刚写完，就见一名学生冲上去，添上一条辅助线就将题证出了。老师问：“你是怎么想的？”学生直摇头。“那你为什么要添这条辅助线？”“我也说不清，只是一看题就知这么做对。”这是比较典型的直觉思维的例子。爱因斯坦认为，直觉思维是创造性思维的基础。
⑤创造性思维是发散思维与辐合思维的统一
发散思维是一种要求产生多种可能的答案而不是单一正确答案的思维。其特征是个人的思维沿着许多不同道路扩展，观念发散到各个有关方面，常常会由此得到新颖的观念和解答。辐合思维又称求同思维，是指要求得出一个正确的答案的思维。其特征是搜集或综合信息与知识，运用逻辑规律，缩小解答范围，直至找到最适当的解答。我们在强调发散思维作用的同时，应该看到辐合思维与发散思维是相辅相成、辩证统一的，它们是智力活动中不可缺少的两种形式。
在数学教学中，思维的独创性不能片面地理解为科学家的创造发明所表现出的新颖性，而是主要表现在学习数学的过程中善于独立地思索、分析和解答问题，提倡探讨与创新意识，当然也包括小发明创造。
思维的创造性的对立面是思维的保守性，它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的限制，思维被一些俗套所束缚，不愿多想问题，只求现成的“法则”，而产生思维的惰性。因此，我们在日常教学中，要培养学生独立思考的自觉性和习惯，教育他们要勇于创新，敢于打破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和解法，使他们逐步具有思维独创性的良好品质。
上述思维的品质彼此相互联系，密不可分，处于有机的统一体中。其中思维的深刻性和广阔性分别从纵向和横向两个角度表现出思维的品质，它们是一切思维品质的基础。思维的灵活性和创造性是在深刻性和广阔性的基础上延伸出来的。思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只有深刻的认识，周密的思考，才能更深刻地揭示事物的本质和规律。思维的敏捷性是以思维的其他品质为必要前提的，同时它又是其他品质的具体表现。
2．数学教学中的创造性思维培养
有些人认为，创造是科学家、艺术家的事，它与大众和普通学生无缘。其实不然，邵瑞珍教授认为，创造可分为真创造和类创造两种。真创造是科学家和其他创造发明家最终产生了对人类来说是新的知识和有社会价值的成品的活动。类创造是对个体而言的，其思维或品质对个人来说是新的，而对人类来说是已知的，所以将这种活动称为类创造。心理学家吉尔福特认为：创造性再也不必假设为仅限于少数天才，它潜在地分布于整个人口中间。心理学家亚历山大‘纳乌莫维奇·鲁克也说：事实上，创造能力的素质是每一个人、每一个正常儿童所固有的，需要的只是善于把它们揭示出来并加以发展。因此，我们必须摒弃“创造是天才们的专利”的陈腐观念，树立起“人人能创造”的现代意识。
审视我国学生的创造性现状，情况令人担忧。杨振宁教授1995年来国内讲学时，说过这样一段话：在国外，中国留学生无论在普通大学，还是一流大学，学习成绩都是非常出色的。但是中国留学生胆小，老师没有讲过的不敢想，老师没有做过的不敢做。诺贝尔奖获得者美籍华人朱棣文教授说：美国学生学习成绩不如中国学生，但是他有创新及冒险精神，所以往往创造出一些惊人成就。创新精神强、天资差的学生往往比天资强而创新精神不足的学生能取得更大的成就。有调查资料表明，当前我国大学毕业生中，95％以上的人长期不能或不会进行各种创造发明活动。学生创造力缺乏的主要原因在于：我国教育长期忽视学生创造性的培养，总是沿袭知识型教育模式片面追求升学率。在这种模式中，知识、技能是学生唯一的追求，智能被忽略，创造性被扼杀。
当然，我国也有一些优秀教师在培养学生的创造性思维方面做了许多有益的探索，并取得了成效。下面介绍的就是在数学教学中培养创造性思维的若干成功经验。
(1)培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想
归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的方法，是一种从特殊到一般的推理方法。人们以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题作出推测性的判断，即构成命题，这样得到的命题需要进一步证明其真假，这种尚未判明真假的命题称之为猜想。人们常常运用归纳法。得出对一类现象的某种一般性认识的推测性判断，即猜想，这种思想方法为归纳猜想。
例如，人们在量度了很多个圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3．14，于是提出了圆周率是3．14的猜想。后来，数学家从理论上证明了圆周率的数值为“，果然和3．14很接近。
归纳猜想在数学教学中的作用有：
①用归纳猜想探索数学规律
例如，在高中代数中学习组合数性质时，先让学生经过计算考察下列组合数：
C16与C56，C310与C811与C811
从而归纳猜想出组合性质：Cmn=Cm-mn，最后再对该性质加以证明。
②用归纳猜想帮助解题
例如，求一个质数，当它分别加上lO和14时仍为质数。
首先用归纳法进行试验：
2+10=12，2+14=16，质数2不合要求；
3+10=13，3+14=17，质数3符合要求；
5+10=15，5+14=19，质数5不合要求；
7+10=17，7+14=21，质数7不合要求；
11+10=21，11+14=25，质数11不合要求；
17+10=27，17+14=31，质数17不合要求；
53+10=63，53+14=67，质数53不合要求。
归纳上述试验，可以建立猜想：符合要求的质数只有3．即除了3以外的其他质数分别加上10和14不能都是质数。
因为质数的变化规律相当复杂，不能用解析式子把它表示出来。倘若能证明除了3以外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数分别加10和14不能都是质数。为此，可把自然数分成三类：3n，3n+1，3n+2(n∈N)。
因为(3n+1)+14=3(n+5)是合数
(3n+2)+10=3(n+4)是合数
所以3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求．而在3n这类自然数中，只有当n=1时，3n才是质数，其余都是合数。因此，符合要求的质数只有3。
所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。它常称为类比法，也称类比推理。波利亚认为，类比就是一种相似，类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。由类比得到的猜想称为类比猜想。
类比法在数学教学中的作用有：
①通过类比学习新知识
例如，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都很相似。可以说，分式与分数几乎在所有的项目上都是对应相似的，因此可以通过与分数进行类比的方法进行学习。
②用类比法寻求解题思路
例如，已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，
求证tanα·tanβ·tany≥22。
数学解题思路的探求，往往与解题者个人原有知识经验中的类似形式与结构、类似方法或模式有着千丝万缕的联系，这些联系常常与类比推理密切相关。由已知的三个角α，β，γ的余弦的平方和为1，可将它们类比成长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1，与从A点出发的相邻三条棱的交角，这时关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1仍然成立。于是，可以利用长方体的三边长a，b，c来表示三个角的正切，最后再利用基本不等式就可得到如下证明：
tanα·tanβ·tanγ
=b2a+c2b+a2+b2c
≥2bca·2acb·2abc=22
③用类比法推广数学命题
例如，在直角三角形ABC中有勾股定理：c2=a2+b2，其中a，b为直角边，c为斜边。类比到空间：在四面体中有三个面两两垂直，这三个面的面积分别为A，B，C，如果将第四个面的面积记作D。于是可猜测有类似于勾股定理的形式：D2=A2+B2+C2。可以证明，这个结论是正确的。
(2)一题多解，培养发散思维能力
发散思维就是对熟悉的事物，能够采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似之中看出不同的思维形式。数学中的一题多解、一题多变虽是传统方法，但确是培养学生发散思维的一种好方法。
例如，已知菱形的边长等于两条对角线长的比例中项，求菱形的锐角。此题可以用余弦定理求解，也可从菱形的面积考虑，还可用解析法求解等(解法略)。
在数学教学中，采用“一题多解”的教法，并且引导学生评价各种不同解法的特点及其优劣，不但能提高学生的学习兴趣，而且对于提高解题能力，优化解题思路，增强发散思维能力都有很大好处。
(3)鼓励质疑提问，培养思维的批判性
思维的批判性是创造性思维的一个重要特征，传统的数学教学照本宣科多，注入式讲授多，批判质疑少，讨论研究少，这就必然会影响学生思维能力的发展，抑制创造能力的培养。
根据有关研究，在目前的数学课堂教学中，边讲边问正在取代灌输式讲授，高密度提问已成为课堂教学的重要方式。教师提问中记忆性问题居多，占74．3％；推理性问题次之，占21．0％；强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题，学生回答问题方式单一，齐答比例高达41．9％。教师提问后基本上没有停顿，不利于学生独立思考。课堂内主要采用老师主导取向的教学方式，占61．0％，学生自主取向的教学方式用得极少，仅占4．3％，不利于学生独立思考，未留时间与机会让学生发表自己的意见和看法。
昔日的满堂灌变成了如今的“满堂问”，未必是真正的进步。关键还得看问什么，怎么问，谁来问，是否充分发挥了学生的主体作用，让全体学生都处于积极的思维状态。对于长期在这种缺少提问、质疑机会的课堂教学环境中培育出来的学生，思维的创造性肯定会受到压抑。学生的提问、质疑既可以锻炼其思维能力，而且在提问、质疑的基础上让学生探讨问题的答案，还可以培养其主动学习、主动探索的精神，这对于创造能力的培养是非常有利的。
有位数学老师每星期开设一堂学生提问课，由教师回答诸多学生提出的问题，有些较难的问题教师当场回答不了，就回去准备以后再作答。经过一段时间实践，学生逐步养成了质疑提问的好习惯，数学学习成绩大有提高，而且在自学能力和创造能力方面也有了明显的进步。古人云，“学贵有疑”，疑就是一种批判精神，看来很有道理。
(4)重视直觉思维能力培养
直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维和逻辑思维一样，都是人类思维的基本方式。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题．注意挖掘问题的内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。
例如，如图4—1，有一个边长为3的立方体，它由27个边长为1的小立方体组成，其中19个看得见，8个看不见。问在边长为n的立方体中，看不见的边长为1的小立方体有多少个？看得见的小立方体有多少个？
这道题可以有好几种解法，但是都比较繁，一个直觉思维强的人可能会发现：从大立方体的顶面、前面、侧面各剥去一层小立方体，剩下部分恰好就是看不见的立方体。于是边长为n的立方体，看不见的小立方体有(n-1)3个，看得见的小立方体有n3-(n-1)3=3n2-3n+1个，十分简便。
(5)引人数学开放题
数学开放题是在20世纪70年代开始出现的一种新题型，开放题是相对于传统的封闭题而言，其主要特征是答案不唯一或答案的可能情况不唯一。若从心理学的视角加以分析，一道数学题究竟是开放题还是封闭题，取决于该题对解题主体激发的思维之性质。如果激发的思维是收敛性的，就是封闭题，因为解题者是在复制别人设定的解法，遵循逻辑规则去寻求一个正确的答案，他的思维缺少创新性。相反，如果激发的思维是发散性的，就是开放题，因为解题者会同时想到多个可能的解决方向，而不限于唯一答案或进行钻牛角尖式的探求，他在某些方面需要创造出新的思想和新的方法才能解决问题。因此，思维的发散性是数学开放题的思维特征。数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔空间，为培养解题者的创造能力提供了良好的载体，因此受到全世界数学教育界的高度重视。国际数学教育委员会(ICMI)的一个文件指出：培养学生对数学的积极态度是中小学数学教学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段。然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的。也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。
数学命题根据思维形式一般可分成假设、推理、判断三个要素。一个数学开放题，可视其未知要素作如下分类：①若未知要素是假设，则为条件开放题；②若未知要素是推理，则为策略开放题；③若未知要素为判断，则为结论开放题；④若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者根据给出的情境自己寻求与设定，则可称为综合开放题。开放题也可按其他标准进行分类。
实施开放题教学具有以下一些功能：
①能激发学生的好奇心和求知欲；
②有助于学生形成积极探索的态度和思考问题的策略；
③能营造一种学生广泛参与、提出质疑、探讨问题的学习氛围：
④能鼓励学生开展相互讨论，学会数学交流；
⑤这种教学方式既能面向全体学生，又能有效地提高学生的思维品质和创造性意识；
⑥教师难以用注入式进行教学，在解题过程中教师扮演的角色是示范者、启发者、鼓励者和指导者，不再是讲授解答的权威。
⑦对教师的业务素质提出了更高的要求，应在备课、教学和命题时充分考虑到各种可能的情况，稍有不慎，便会出错。
(6)指导学生写数学小论文
