数学知识，实质上是数学思维活动的结果，因此，所谓数学学习实质上就是学生在老师的指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维的过程。在此过程中，不仅涉及思维的形式、方法，而且还涉及数学思维的特点、过程和它的思想方法等。因此，本章主要讨论数学思维与数学思维的基本过程。
（第一节 ）数学思维
一、思维与数学思维
在现代心理学中，思维被理解为“受社会所制约的，同言语紧密联系的，探索和发现崭新事物的心理过程，是对现实进行分析和综合中间接概括反映现实的过程。思维在实践活动基础上由感性认识产生并远远超出了感性认识的界限。”
也有人说，思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内部规律性。
然而，虽然各家心理学文献对思维意义的叙述都不尽相同，但细致分析却没有什么本质差异。把他们的叙述概括起来，不外乎包括两个方面，一是能反映，二是有意识。能反映，这是因为人脑是高度组织起来的特殊物质，是迄今所知道的最复杂的物质，是思维的器官，这个器官天然地能够反映客体，这种天然的反映形式就是感觉。在这点上，人脑和动物的脑是一样的．反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认识。有意识，这是指人脑和动物脑的一个显著区别，人脑可以产生意识(头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性)，而动物没有意识。所以说，用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的属性和事物是内在的、必然的联系，即这时已超出了感性认识的界线，属于理性认识。这就是思维的直接本质。
例如，我们常见到刮风、下雨，这只是对这些自然现象的感知觉(动物也能做到的反映)，但如果我们要研究为什么会刮风、下雨，并把这些现象和吹气、扇扇子、玻璃窗上结水珠、水管子“冒汗”、壶盖上滴下水珠等现象联系起来，发现它们都是“空气对流”的表现或“水蒸气遇冷后液化”的结果，那么这就已深入到事物的内部，进行着把握因果关系的思维了。
又例如，在对三角形的认识中，感知觉只能反映各种三角形的形体和大小，而思维则能舍弃三角形的具体形状和大小等非本质的特征，而把任何三角形都具有三条边和三个角这一共同的、本质的特征概括出来。因此，人的思维实现着从现象到本质，从感性到理性的转化，使之达到对客观事物的理性认识，从而构成了人类认识的高级阶段。
综上所述，思维的本质是具有意识的头脑对于客观事物的反映。“具有意识的头脑”的含义是有知识的头脑，又是具有自觉摄取知识的习性的头脑。从思维的角度讲，“对于客观事物的反映”指的不是对于客观事物的表面现象的反映，而是对于客观事物的内在联系和本质属性的反映。这一点很重要，否则就可能出现理解上的混乱，因为概括性不限于思维，知觉和表象也有概括性；间接性也不局限于思维，想象就是间接的反映，所以思维是客观事物的内在联系和本质属性的反映。反映的方式不是直观的、零散的，而是间接的和概括的。
现在。我们来看看数学思维。所谓数学思维应该这样来理解：它是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，又表现出它自己的特性，这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。下面对此作一点具体分析。
(1)我们知道。思维具有两个基本的特性，即思维的间接性和概括性。那么，由数学的高度抽象就导致了数学思维的间接性更强，有人称之为间接中的间接。比如数学的概念是对数学本质的抽象，这种抽象只保留了事物量的关系和空间形式而舍弃了事物本身的其他自然性质。如数学中的点不是纸上的一个黑点；集合在数学中既不是具体对象的堆积，也不是纸上的记号。还比如，数学中的判断和推理是通过用数学或逻辑的术语及其相应的符号表示的数学语句。这种抽象程度大大超过了自然科学中任何一种抽象。正因为这样，所以有人说，任何一种思维也不及数学思维更间接。
(2)数学的研究对象本身是概括的结果，如自然数概念和点、线、面等概念在客观世界中并不真正存在，而是从现实世界中概括出来的，并且这种概括的结果大多以理想化的形式出现；另外，不但数学概念是抽象概括的产物，而且数学逻辑推理规则、方法也同样是总结了许多世代长期积累起来的经验，在实际应用中固定下来，概括成为一定的方法和规则。因此，数学思维是在概括基础上的再概括。
(3)数学语言是数学特有的形式化符号体系。依靠这种语言进行思维能使思维在可见的形式下再现出来。例如教室里有40个学生，写成“40”后，不但思维者本身能感知到这40个学生的数目，而且他人看到“40”也能感知到40个学生的数目。同时，有了数学特点的语言，数学思维的结果可用简洁的形式表达。例如“y=f(x)(x∈R)”这一符号非常简洁地表示了“定义于R，以，作为对应法则的函数”。另外，通过数学语言，能加速数学思维的进行，因为这时的思维可以在形式下进行，而省略其过程中某些具体到抽象的过程。
(4)数学中充满着大量的辩证关系是为人所知的。因此，数学思维有时是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学科学，或是应用数学于其他科学、技术和国民经济等的过程中的辩证思维。
二、数学思维的基本成分
数学思维就其基本成分而言，一般分为具体形象思维、抽象逻辑思维与直觉思维三种，它们分属于三种不同层次的思维。
1．形象思维及其特征与规律
形象思维是人类的基本思维形式之一，在科学创造和艺术领域里，形象思维具有不可低估的作用。在数学领域里，形象思维是普遍存在的，它不仅是数学思维发展的一个阶段，而且在数学创造中，形象思维成为一种高级复杂的创造性活动。
数学形象思维的过程是对一类特殊的思维材料的加工创造过程。这类特殊的数学思维材料，就是具体可感知的表象材料。通过对原有的数学表象的提炼改造加工处理，即按照数学的逻辑和思维的目的对原有表象有意识地、有指向性地选择和重新排列组合，形成新的“意向”，从而提出数学问题或解决数学问题。如数学中著名的“四色猜想”的提出，就是借助于具体的表象材料“地图”、“着色”进行心理加工，并不断渗透理性内容，从而得出“任何一张地图只要用四种颜色，就可以使相邻的不同区域染不同的颜色”的猜想。由此可见，数学形象思维的基本特征就是，以物象为思维材料，在整个思维过程中都不脱离形象，始终具有具体可感性。
数学形象思维有如下的功能：
第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。如“大漠孤烟直，长河落日圆”的诗句，前者描述了直线与平面垂直的形象，后者表现出直线与圆相切的画面。“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”的诗句，是一个活脱脱的孤帆运动的极限过程。如著名的“七桥问题”，欧拉在解决这一问题时使用形象思维将问题转化为封闭曲线交点的“度”的问题来考虑，显示出形象思维的突出优势。正如美国数学家斯蒂恩所说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”
第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。
第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。比如这样的一个数学问题：一块正方板，锯掉一个角，还剩几个角？如果按抽象思维形式，答案可能是“3”，若按形象思维形式，答案则为“3或5”，后者显然是正确的。
2．数学逻辑思维的特征与规律
数学逻辑思维是数学思维最基本的形式，它的最基本的特征就是以反映客观事物数学本质属性的概念为思维材料。在数学概念的基础上，通过一定的逻辑法则进行推理，形成概念、定理、原理。在数学逻辑思维中，概念如“珠”，逻辑如“线”，思维结果就是“一串珠”，即概念的逻辑链，或称为数学理论体系。
数学逻辑思维方法有归纳和演绎，分析与综合，具体与抽象等。
数学逻辑思维的主要功能表现在它是认识数学概念、建立数学理论体系乃至其他科学理论体系最主要的工具。
3．数学直觉思维的特征与规律
数学直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑跳跃式的思维。它是根据对事物的生动的知觉印象，直接把握事物的本质和规律。它存在于个体的日常生活中，当然存在于思维活动中。在数学思维活动中，直觉思维是非常重要的，数学中的发明与创造很多是直觉思维的结果。如两点之间直线最短，是出于直觉的认识；过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行，是出自直觉的自明。大数学家庞加莱认为，数学的创造无非是一种组合的选择而已，而数学家在由数学概念、判断、结构等构成的无穷的组合中选择有用的组合，得到创造性的成果，靠的就是直觉。
数学直觉往往是受视觉触发，突然地领悟道理，作出判断，得出结论，因而它具有突发性。在直觉思维中，不作详尽的分析和推理，直接接触结果，是一种逻辑的跳跃，因而又具有直接性。直觉思维的结果常表现出新的突破，新的结论，带有极强的创造性。前苏联科学史家凯德洛夫指出：“没有任何一种创造行为能够脱离直觉活动。”
值得指出的是，直觉思维是在人的实践经验知识的基础上，形成和发展起来的一种认识能力。任何直觉思维都是持久探索和思考的结果，虽然在形式上表现为逻辑跳跃和中断，但它仍是理性的思维，理性的积淀，而决非是盲目的。
三、数学学习与思维发展
1．思维发展的年龄特征
学生的心理是随年龄的增长和年级的增高而不断发展的，其中包括认识过程、情感过程、意志过程以及个性心理特征的发展。这里，我们只就认识过程的核心——思维的发展作一讨论，研究一定年龄阶段中概括出来的那些一般的、本质的和典型的特征，即思维发展的年龄特征。根据思维发展心理学的研究，一个人从出生到成年，思维发展的年龄阶段如表4—1。
表4-1年龄阶段婴儿期（0～3岁)幼儿期(学前期)(3～6，7岁）学龄初期（小学期）（6，7～11，12岁）少年期（11，12～14，15岁）青年期（14，15～17，18岁）思维水平感知动作思维水平具体形象思维水平形象抽象思维水平经验型为主的抽象逻辑思维（经验型思维）理论型为主的抽象逻辑思维，开始形成辩证思维（理论型思维）
(1)从出生至3岁，主要是感知动作思维。这是在感知和操作中进行的思维，这种思维以感知动作的存在为界，感知和动作停止了，它也就停止了，以此可以区别于其他各类思维。例如，这时的儿童通过实物或手指的活动来帮助计数。
(2)幼儿期或学前期(3～6，7岁)，主要是具体形象思维。这是指离开感知和动作而利用脑中所保留的事物形象(表象)所进行的思维，它以离不开具体形象为其特征。例如，这阶段的儿童，虽能计算5加上3等于8，但实际上他们并不是对抽象的数进行计算，而主要靠脑子中5个苹果和3个苹果的实物素象进行相加而得到的。
(3)学龄初期或小学期(6，7～11，12岁)，主要是形象抽象思维，即由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。所谓抽象逻辑思维，是指离开具体形象，运用概念、判断和推理等进行的思维，它是在感性认识的基础上，运用概念、判断和推理等理性认识形式对客观世界作间接、概括的反映过程。
(4)少年期(11，12～14，15岁)，主要是以经验型为主的抽象逻辑思维(简称为经验型思维)。也就是说，这时学生(初中生)的抽象逻辑思维水平虽有很大提高，但还需要具体形象或经验的直接支持，而且初一到初三各年级的情况也很不相同。
(5)青年初期(14，15～17，18岁)，主要是以理论型为主的抽象逻辑思维(简称为理论型思维)。也就是说，这时学生(高中生)的抽象逻辑思维，可以摆脱具体事物形象，具有更高的抽象概括性，并且开始形成辩证逻辑思维。例如，掌握函数、极限等概念和性质，需要按照运动变化、对立统一等辩证法的规律去进行思维。
应该指出，由于社会科技的进步、传媒技术的飞速发展，儿童很早就能看到广泛的世界，青少年提前进入社会，上述思维发展的年龄阶段也存在着前移的趋势。
2．思维发展的“关键期”与“成熟期”
思维发展并非总表现为直线上升，而有一个从量变到质变的过程。就中学阶段思维发展的过程来看，出现质的飞跃，一是在初二年级，表现为从经验型思维向理论型思维转化，处于思维发展的转折点，称之为“关键期”；二是在高一到高二年级，这时学生的思维活动初步成熟，思维发展处于“成熟期”，高二以后学生智力发展日趋稳定和成熟。
3．思维发展的差异性
上述思维发展的年龄特征，如思维发展的阶段性和顺序性等，具有普遍的意义。但个体之间的思维发展会存在差异，而且并非到了一个年龄阶段，思维就与前后阶段截然不同。例如，少年期往往保留着具体形象思维，而理论型思维也已开始发展。就个体思维发展的进程和速度来看，彼此之间是存在着一定差异的．如同一年级的学生，有的已是理论型思维，有的却停留在经验型思维，这样就给课堂教学带来困难，也从一个侧面提出了课堂教学活动如何做到面向全体学生和因材施教相结合，怎样开展个别化教学活动等问题。另外，思维的发展是受种种因素影响的。特别要指出的是，教育能加速或延缓思维发展的进程，所以进行合理的早期教育、家庭教育是有必要的。
4．思维发展与数学学习
现在，从思维发展的观点出发，讨论有关数学学习的问题。
