有意学习有竭尽我的接受学习有意义的发现学习机械学习机械的接受学习机械的发现学习接受学习发现学习也就是说接受学习可以是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习可以是机械学习，也可以是有意义学习。例如，学生在解决某一问题时，这时学习的方式是发现学习，因为结论并未呈现在学生面前，要让学生自己去获得。在大多数情况下，学生不用理解其中所涉及的概念、法则和定理，只要记住问题的类型和操作程序，就能完成操作任务。正像小学生不懂分数概念，可以熟练地进行分数运算，初中学生不懂方程的概念和同解原理可熟练地解方程那样。因此，解决问题若不建立在真正理解概念、原理、法则、定理的基础上，若不理解操作各部分的意义，就不可能是真正的、有意义的发现。
奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点是：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习、发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。
基于上述观点，奥苏伯尔对产生有意义学习的条件作了探讨。他认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件：
第一。学习者必须具有有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的内容和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么有意义学习就不会发生。
第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系，学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。为了保证有意义学习．教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系，使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系。
从奥苏伯尔的学习理论，至少可以得到以下几点启示：
(1)在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提出了各种教学方法，例如“启导发现法”、“茶馆式教学法”、“六课型单元教学法”等等。那么究竟应该选择哪种教学方法呢？奥苏伯尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法时，不要贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教学方法夸大到不恰当的地步。实际上，教学方法的作用是不能离开特定的教学情境的，某种教学方法在这种教学情境中有效，也许在另一种教学情境中无效或效果很小。
(2)在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的智慧潜能，学会发现的技巧具有积极意义。这样，数学教育工作者就应当把更多的精力放在有效的讲授教学方法上。
(3)教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。
（第三节 ）数学学习的心里过程
以布鲁纳、奥苏泊尔等为代表的认知学习理论认为，学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。以下我们在认知学习理论基础上来探讨学生数学学习的心里过程。
一、数学认知结构
数学学习过程是学生把人类积累的数学知识通过认识活动转化为个体头脑中的知识结构的过程。在这种转化的过程中存在三种结构：其一是知识结构，也就是知识本身的逻辑体系。数学知识结构是以最基本的原理和方法为基本出发点，逻辑地组织起来的，因而具有逻辑性、系统性的特点。知识结构对学习者来说是认识的客体。其二是认识结构(或心理结构)，即人在认识活动中的心理过程(感觉、知觉、思维、想象、注意、记忆等)以及个性心理特征(情感、意志、兴趣、体质等)，认识结构对学习者来说是主体特征。其三是认知结构，它是学习者头脑里的知识结构，是学习者观念的全部内容和组织。也就是说，认知结构不仅包括学习者头脑中的全部知识，而且还有这些知识的内部组织方式。知识结构、认识结构和认知结构三者之间的关系如图3-1：学生在数学认识活动中，也同样存在着某种结构，我们把这种结构称之为数学认知结构。
所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。
实践表明，学生的数学认知结构有其固有的特点，这些特点是：
第一，数学认知结构是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物。形成数学认知结构的过程是学生对数学知识结构加工的心理过程。受学生的观察、注意、感知、理解、记忆等各种心理因素的影响，学生的心理素质决定着所形成的数学认知结构的质量。
第二，数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。现代心理学研究认为，学习是认知结构的组织或重新组织，即强调已有知识和经验在学习中的作用。学生头脑里的所有数学知识、经验的组织，也可以是特殊数学知识内容的组织。前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响他在数学学科中的一般学习。后者所指的是某一数学知识、经验(如方程)的组织特征。也就是说，数学认知结构既是专门化的概念，如有理数认知结构、方程认知结构，又是一个带普遍性的概念。它体现了数学知识和数学认知的统一。
第三，数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识。即数学认知结构是一个有层次的阶梯。最高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构。数学知识、经验按性质的类似可区分为不同的种类。不同的内容逐渐分化成不同层次的数学认知结构。每个图式同所有其他图式相协调，而每个图式本身又是由已分化的部分所组成的整体。如果把不同数学知识内容的数学认知结构比作图书卡片的话，那么学生的大脑就是索引存储器，也就是说，学生的大脑像索引存储器那样．是一个数学认知结构的集合，当大脑接受到刺激后，就能用相应的认知结构进行辨别和区分。
第四，每一个学生的认知结构各有特点，学生的心理素质存在差异，决定了每个学生的认知方式和认知水平也有明显差异，因而他们的认知结构必然要具有自己的个性特点。
第五，数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用。形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接受到新的数学信息，人们就能不自觉地甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。
第六，数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的，并不断发展和完善的动态组织。随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐地变得更加精确和完善。正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展。
第七，从功能上来说，学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识(例如，平行四边形概念的学习，实质上是平行概念和一般四边形概念的结合，学生就是在这一认知结构基础上学会平行四边形概念的)，又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题。
数学认知结构是数学学习过程的一个中心的心理成分。
二、数学学习的四个阶段
根据学习的认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。依据学生认知结构的变化，我们认为数学学习过程可以分为：输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。数学学习的一般认知过程可图示如下：从图3-2看出数学学习过程包括四个阶段，即输入阶段、新旧知识相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。
1．输入阶段
学习起源于新的学习情境。输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容，创造学习情境。在这一学习情境中，学生原有的数学认知结构和新学习内容间发生冲突，使得它们在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键。为了引起学习，首先学习者必须具有学习热情(也就是奥苏伯尔所说的学习心向)。对于没有学习意向的人，无论外界怎么强制也是无济于事的。因此，在输入阶段，教师所提供的新学习内容应当适合学生的能力、兴趣，激发其内部学习动机。
2．相互作用阶段
产生学习的需要之后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。学生原有数学认知结构和新的学习内容的相互作用有两种最基本的形式：同化和顺应。用瑞士心理学家皮亚杰的话说，“刺激输入的过滤或改变叫同化；内部图式的改变，以适应现实，叫做顺应。”
同化是数学认知的方式之一。当新的数学内容输入后，学生并不是消极地接受这一刺激，而是利用自己已有的数学认知结构对新内容进行改造，使新内容同化到原有的数学认知结构中。实际上，同化是把新内容纳入原有数学认知结构，从而扩大原有认知结构的过程。例如，初中一年级学生学习负有理数，就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程。学生在小学学过正有理数，已经形成了正有理数的认知结构，因此，当负有理数概念输入时，学生就在他们的头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构——正有理数认知结构。根据这个认知结构，学生对负有理数进行改造，即建立负有理数和正有理数之间的联系：在数轴上，负有理数是零点左边的数，负有理数的性质和正有理相反，负有理数的加、减运算可用正有理数来定义，等等。这样负有理数就同化到正有理数认知结构中，原有的正有理数认知结构就被扩充成有理数认知结构。
学生学习的数学内容是多种多样的，有时学生头脑中的认知结构不一定能与新学习内容相吻合，换句话说，可能新学习的内容是全新的一类。这时就不能使新内容同化到原有的一些认知结构中去，而要改造原有的认知结构，以使新内容能适应这种认知结构，这就是顺应。例如，初一学生学习代数，可以说是通过顺应来学习的。尽管他们在小学学过算术，但是算术和代数的不一致性，学生就不能简单地依靠同化方式在原有算术认知结构的基础上学习代数，而要改造算术认知结构，通过字母代表数的学习，逐渐顺应代数学习。
因此，如果说同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻合的话，那么，顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容的需要。
同化和顺应是认知过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是侧重不同而已。例如上面所说的负有理数学习。其实，原有的正有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；同样学习代数的例子也存在着同化的过程。
新旧知识相互作用阶段的关键是学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用，学生不但必须具有与新内容相适应的知识，而且必须能顺利地提取出来。教师的作用就在于查明学生头脑中是否具有相应的知识，并通过恰当的手段促进原有知识和新知识的相互作用。
3．操作阶段
操作阶段实质上是在第二阶段产生的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，从而初步形成新的数学认知结构的过程。通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新学习的知识与原有认知结构之间产生较为密切的联系。
4．输出阶段
这一阶段基于第三阶段，通过解决数学问题，使初步形成的新的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构，学习的能力得到发展，从而达到数学学习的预期目标。
从上面关于四个阶段的分析中，可以看出：
无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础，即使是学习最简单的数字“2”，在对数量为二的各类事物从数量关系方面概括时，也是以已有的关于数字“1”的认知结构作为依据的。这说明教师在教学时首先要考虑学生知道了什么，掌握到什么程度，然后再考虑教学内容的难易程度、呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。
