数学教育的对象是学生，他们是数学教育活动的主体。学生获得数学知识，掌握数学技能，发展数学能力，以及养成良好的数学心理品质，都是在不断的数学学习过程中逐步完成的。现代数学教育理论的最大突破点就在于它认识到，在讨论“教的规律”之前，首先必须了解“学的规律”，即研究学生是如何学习数学的问题。揭示数学学习的内在规律，有利于教师采取积极有效的教学方法，提高数学教学的质量。
对于学习的过程，有两种基本的见解。一种是以桑代克、斯金纳为代表的刺激——反应联结的学说。这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的，尝试错误直至最后取得成功的过程。学习的实质就是形成刺激与反应之间的联结。另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说。这种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。其实质是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的意义。
本章主要介绍以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，并在此理论的基础上研究数学学习的过程，通过对学生数学学习过程中的心理分析，揭示数学学习过程的基本规律。
（第一节 ）认知—发现理论和数学学习
布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之，他的认知一发现理论起源于完形说。他继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：①新知的获得；②知识的改造；③检查知识是否恰当和充足。他主要关心的是人们借以主动选择知识，记住知识和改造知识的手段，认为这就是学习的实质。进而他提出发现是达到目的的最好手段，所以学习的实质在于发现。因而人们把他的理论称为认知一发现说。
布鲁纳没有专门的学习理论专著，他的学习理论大多是和教学理论、课程理论联系在一起的。在他的教育理论和课程理论中蕴含着学习论的思想。
1959年美国科学院召开会议，讨论如何改进中小学数理学科的教育。布鲁纳是这次大会的主席，他在著名的大会总结报告《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想，主要包括以下几个方面。
1．教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力
布鲁纳提出：我们也许可以将追求优异成绩作为教育的一般目标，但是，应该弄清楚追求优异成绩这个说法指的是什么意思。它在这里指的是，不仅要教育成绩优良的学生，而且要帮助每个学生获得最好的智力发展。布鲁纳将“帮助每个学生获得最好的智力发展”列为教育的一般目标，具有非常重要的意义。
2．要让学生学习学科知识的基本结构
布鲁纳认为：学生对所学材料的接受必然是有限的。怎样才能使这种有限的接受在他们以后一生的思想中有价值？对这个问题的回答是：不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。所谓学科的基本结构，是指学科的基本原理，是把每门学科的事实、零散的知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法则。
布鲁纳认为：将学科基本结构作为教学的中心内容，让学生掌握学科的基本结构有如下好处：
(1)懂得基本原理可以使得学科更加容易理解。因为抓住了基本原理，就可以根据这个原理去理解许多特殊的现象和事实。
(2)掌握基本结构有助于知识的记忆。因为没有形成结构的知识，很快就会遗忘。降低遗忘率的好方法，就是根据基本原理来组织论据。需要时只要借助这些基本原理来推断论据，就可将一件事实重新回忆起来。
(3)掌握基本原理有助于学习的迁移。将事物作为基本原理的特例去理解，可以使学生根据已学得的知识去推及以后遇到的问题。
(4)从小就开始学习学科的基本结构，有利于缩小目前小学、中学和大学的学习过程中“低级”知识和“高级”知识之间的差距。
3．注重儿童的早期智力开发
布鲁纳提出一个大胆的假设：任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童。
4．提倡“发现学习”的方法
所谓发现学习，就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则，而是在教师组织的学习情境中，学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。
布鲁纳认为，无论是学生独立进行的发现学习，或是在教师指导下进行的发现学习，都可以锻炼学生的思维，它是使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。
从布鲁纳的报告和书中可以看出，他对数学学习和数学教学很感兴趣。布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原理。
1．建构原理
学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。年龄较大的学生，可以通过呈现较抽象的代表掌握数学概念。但对大多数中学生，特别是低年级学生，应该建构他们自己的代表，特别应从具体的形象的代表开始。例如，讲limn-m1n这一概念时，可用“要多小有多小”的形象描述让学生理解。
2．符号原理
如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。例如，当表示方程的符号形成之后，就能学习解多项式方程的一般方法。布鲁纳认为，对于中学低年级的学生，表示函数的最好方法是使用以下的符号：口=2△+3，其中口和△代表自然数。逐渐地用y=2x+3来表示函数，最后用y=f(x)表示函数。布鲁纳认为，应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。这里的螺旋式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念，并使用熟悉的和具体的符号表示数学概念的方法。简单地说，符号原理就是要根据学生的智力发展水平，使其达到相应的抽象水平。
3．比较和变式原理
比较和变式原理表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。例如，在几何中，比较圆的弧、半径、直径和弦，能使学生对这些概念理解得更清楚。况且有些概念本身就是通过比较定义的，例如，负数是正数的相反数，不是有理数的那些数称为无理数。布鲁纳认为，比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。
4．关联原理
关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习。在数学教学中，教师不仅要帮助学生发现数学结构问的差别，而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系。布鲁纳认为，如果要使学生的学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念间的联系。
布鲁纳的教学和学习理论，对我们有如下几点启示：
(1)在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去脉；应注重知识的产生过程，中不是孤立地记住一些数学结论。
(2)在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是通过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理，或是一系列符号。例如，在中学低年级，函数概念只能这样来表示：把米换算成尺；产量不变，总产量和亩数。稍高一点的年级就可用下面的例子来表示函数概念了：一系列物体的有序对，如y=2x，y=x5等。到高中，可用下述形式给出函数概念：y=f(x)是x的函数，如果集合x中的每一个元素a在y中存在唯一的元素b和它对应，使得b=f(a)。
(3)在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定的方式构造好，以便于学生记忆和保持。
(4)为了“迁移”做好充分的准备，应使学生对数学基本原理有深刻的理解，从中根据原理的结构，把掌握的模式应用到类似的事物中。例如，学生掌握了完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的结构和特征，就可以利用此公式把下列二元三次式化成完全平方式。
x2+xy+y24=(X+y2)2
(a+b)2-2(a+b)c+c2=(a+b-c)2
(5)要使学生享受到数学智力活动的乐趣，让他们体会到学好数学是一件非常有意义的事情。
（第二节 ）认知—接受理论和数学学习
20世纪50年代，许多数学教育工作者认为，在数学教学中普遍应用的讲授法会导致学生的机械学习，而发现学习、探究学习是促进有意义学习的好方法。因此，许多人否定了讲授法在学校教学中的地位，只有部分人认为，讲授法在过去曾经起过良好的作用，今天不应把它作为不好的教学方法抛弃。正是在这样的形势F，美国心理学家奥苏伯尔提出了有意义学习理论。他的理论属于认知心理学范畴，但他不像布鲁纳那样强调发现学习．而是强调有意义的接受学习。因而他的理论可以称为认知一有意义接受学习理论。
奥苏伯尔认为，学习过程是在原有认知结构基础上，形成新的认知结构的过程；原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，新的概念、命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联系、相互作用转化为主体的知识结构。
奥苏伯尔为了说明他的有意义学习理论，把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。
机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数学符号或某个词句的组合。例如关于函数符号v：f(x)，学生可能知道这是函数的符号，也知道y代表因变量，x代表自变量，但它真正的含义并不十分清楚。表现在不能识别R→R：y=f(x)=x2和u=f(v)=v2是同一个函数。或者会背函数的定义，但不知其意义，这些都是机械学习的表现。
“有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的(非任意的)和实质性的(非字面的)联系。”这里所谓的非人为的联系，就是符号所代表的新知识同原有知识的联系。例如，要使对数概念的学习成为有意义的学习，就要把对数概念与指数概念、开方概念、实指数幂的性质等建立联系，即建立所谓的非人为的联系。所谓实质性的联系，指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。例如，对于对数概念，“logab”，“求以a为底b的对数就是求a的多少次方等于b”，“alognb=b”，这三者表示的是同一个意思。这三者的联系就是实质性的联系。
简单地说，有意义学习就是学生能理解由符号所代表的新知识，理解符号所代表的实际内容，并能融会贯通。再以函数为例，不仅理解函数概念的文字意义，而且能理解符号意义。即理解_r：①函数的定义关键在于定义域和对应法则，而与函数符号中用什么字母表示无关；②谈论函数一刻也离不开定义域，有时没有明确指明定义域，而且还可用表格、图像给出；③“随处定义和单值定义”这两条本质特征缺一不可，否则不成其为函数了。这样的学习才是有意义学习。
奥苏伯尔认为，学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习材料建立“非人为的联系”和“实质性联系”，乃是区分有意义学习和机械学习的两个标准。
接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者。这种学习不涉及学生任何独立的发现，只需要他将所学的新材料与旧知识有机地结合起来(即内化)即可。例如学习对数概念，以定论的形式呈现在学生面前(这里并不排斥为便于学习而提供的一些辅助材料)，学生通过把它和aN=b相联系，从而掌握对数概念。这种学习就是接受学习。
发现学习的主要特征是不把学习的主要内容提供给学习者，而必须由学生独立发现，然后内化。例如从许多不同的实例中，发现正比例函数的关系。又如发给学生每人一个三角形纸板，要他们用拼凑的办法独立去发现三角形的三个内角的关系等等。
有意义学习和机械学习，发现学习和接受学习是划分学习的两个角度，这两个维度之间的关系是既彼此独立，又互相联系。奥苏伯尔认为，它们之间存在着交叉关系，如表3—1。
