在《椭圆及其标准方程》一课中，“理解椭圆的定义”是本节课的教学重点。因此揭示概念一定要深化。教师应设计合理的活动方式，使学生参与到椭圆概念的形成过程中来。而无论是利用多媒体的几何画板进行演示，还是由教师在讲台上利用实物木板、图钉、细绳给学生画椭圆，都不能使学生对椭圆的定义留下深刻的印象。我认为更合理的学生参与方式是让学生自己演示椭圆的形成过程。
在上课前，我为每位学生准备了一块硬的白色纸板，并发给每位学生几颗图钉及一根定长的细绳。开始上课时，我先是让学生回忆一下圆的定义。学生都能准确的回答出：“平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。”接下来，我们如何画圆呢？请同学们画画看。（学生会用手上的工具画出圆）教师设问：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹”行不行？如何用我们手上的工具进行演示呢？（反映快的学生会马上将细绳对折，用图钉将两个端点固定在纸板的同一点上，将笔尖插到两股细绳间保持拉紧状态移动铅笔，学生发现这样画出的点的轨迹也是圆。其他学生经过短暂思考后也能画出）。趁着学生思维处于兴奋点，教师抓住机会问“能否利用你手中的工具画出到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？”学生将刚才画第二个圆的做法稍做调整，把细绳的两端分别系在两颗图钉上，分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，结果学生都得到了各自的曲线。教师对学生们的演示给予充分的肯定，并指出：“我们看到这个曲线的形状正是一个压扁了的圆，我们称它为椭圆。”教师再板书课题——椭圆极其标准方程。此时便可让学生根据自己刚才的操作过程概括出椭圆的定义。
案例反思：在上面教学过程中，是通过学生自己演示的方式给出椭圆的定义的，教师在此过程中只是起了适当的引导和启发作用。此做法的好处在于学生在自己眼前亲临了椭圆形成的过程。尤其是铅笔的笔尖在绳子拉紧移动时，学生对这一过程中绳长始终保持不变印象特别深刻，这也更有效地帮助学生理解了“到两个定点的距离之和等于定长”这句话的含义。从而也做到了“揭示概念的深化”。
案例9从椭圆的定义讲起
金建明
如何恰当地引入概念，重视概念的背景材料，有助于激发学生的求知欲，化被动学习为主动学习。数学概念可以用学生已学过的具体内容引入，例如在函数的奇偶性定义教学中，先对函数y=x，y=x2+1计算f(-x)、f(x)，让学生自己发现f(-x)与f(x)的关系，从而引入奇偶函数定义。又比如在双曲线定义的教学中，我们已知“到两定点F1，F2的距离之和是常数（常数大于|F1F2|的距离）的点的轨迹是椭圆”，那么到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数（常数小于|F1F2|的距离）的点的轨迹是什么？从而引出双曲线定义。已经掌握了椭圆、双曲线的第二定义后，我们已经知道到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e，当0＜e＜1时，这样的点的轨迹是椭圆，当e＞1时这样的点的轨迹是双曲线，那么当e=1时，点的轨迹是什么呢？从而引出了抛物线的定义。例如椭圆的定义：到两定点的距离之和是定值（定值大于|F1F2|的距离）的点的轨迹是椭圆，可作如下引申：
(1)将“大于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，点的轨迹是什么？
(2)将“大于|F1F2|”换为“小于|F1F2|”，点的轨迹是什么？
(3)令定值为零，则点的轨迹是什么？
同样对双曲线的定义：到两定点F1F2的距离之差的绝对值是常数（常数小于|F1F2|的距离）的点的轨迹是双曲线，可作如下引申：
(1)将“小于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，点的轨迹是什么？
(2)将“小于|F1F2|”换为“大于|F1F2|”，点的轨迹是什么？
(3)令定值为零，则点的轨迹是什么？
(4)将绝对值去掉，则点的轨迹是什么？
案例10通过归纳总结，理解椭圆概念
金建明
概念教学是课堂教学的一个重要组成部分，心理学实践研究表明：学生可以通过概念的形成和概念的同化两种方式来掌握概念。概念的形成是从大量例证出发，在实际经验过的概念例证当中，通过归纳的方法概括抽象出一类事物的共同特征。本人是从概念的形成这种发现学习方式来向学生传授椭圆的第一定义的。
首先用提问的方式来复习圆的定义，并用一段绳子在黑板上作几个圆心位置不同、半径不同的圆，强调到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。设想定点由一个变为两个，且更换命题：到两个定点的距离的和等于定值，点的轨迹是什么？能否借助手中的绳子和圆规把命题叙述的这一过程表述出来。接着引导学生将一根绳子系在圆规两脚下端，用粉笔套住绳子，在黑板上移动粉笔，可画出一个封闭的几何曲线，问学生这是什么曲线？从而引出椭圆这一课题。下面通过几个提问引导学生总结归纳出椭圆的定义：
提问1：在作同一曲线图的过程中，圆规两脚末端相对位置变没变？
结论1：圆规两脚末端F1，F2为定点。
提问2：在作图过程中绳子长度变没变？
结论2：动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于定值。
提问3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系如何？
结论3：定值大于两个定点F1，F2的距离。
提问4：绳子的长度和两定点之间的距离还有哪些情况？
结论4：当定值等于两个定点F1，F2的距离时，轨迹为以两定点F1，F2为端点的线段；定值小于两个定点F1，F2的距离时，轨迹不存在。
从而归纳出椭圆的第一定义：在平面上到两个定点的距离和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
像这样在椭圆第一定义的引入及归纳总结过程中，强调了学生在学习中的理解作用，提倡学生积极思维，主动探索，发现问题并逐步小结，在师生思维活动过程中逐步把椭圆的第一定义抽象出来。
案例11纸上得来终觉浅，
绝知概念要躬行
严惠峰
一天课后，我让学生准备了正方形的图片，然后把两个橡皮筋当成正方形的两个对角线装定好，（如图14）把这两个橡皮筋的交点O即正方形对角线交点固定好，还要准备一条细长的直棒。
在第二天的课堂上，我给出了一道例题：设一个正方形的边长为a，作为底面，侧棱长为b，要组成一个正四棱锥则侧棱长b需要满足什么样的条件？
题目一出大家都静了起来，都各自思索着，大都是没有动手，没有想到要用昨天准备好的工具。几分钟后，我打破了沉默，说：“大家想想我昨天让大家准备的工具能起到什么作用啊？问题的实质又在哪儿？请同桌的同学共同地来研究探讨。”
此刻同学们就慢慢地讨论了，并用准备好的资料在手上摆弄，有人说：“把这个细长的直棒从这个正方形图片对角线的交点处插入，就可以看到直棒垂直于这个正方形图片。”边说边用手作演示，此时大家都静静地看着他，接着又说：“把这个由两个橡皮筋交点固定好了的点O沿着这个直棒的方向向上拉。那么大家就会看到一个高可以调节的正四棱锥O-ABCD”。又说：“反复移动O点，除这个正方形图片的对角线交点外这个直棒上的其他点都可以，近一步观察到侧棱长b大于这个对角线的一半即22a。”
我说：“请大家再试想一下，若把正方形换成正三角形，那么组成正三棱锥的侧棱长又该满足什么条件呢？若再换成正五边形呢？正六边形呢？”看着学生们都主动地动脑、动嘴、动手的研究起来了，我也会心地笑了。一会儿，大家都渐渐地静了下来，我说：“这次哪位同学讲解一下？”陈芬同学站起来说：“正三棱锥的侧棱长应大于这个正三角形外接圆的半径。近而得出这样的结论：正棱锥的侧棱长都得大于它的底面正多边形的外接圆半径。”
我说：“对，说得非常好！说明大家对于有关正棱锥的概念有了更深一步的了解。”
案例12异面直线距离的概念教学
竺欢乐
1展示概念背景：
我们已经知道：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量——异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，还要刻划其远近程度，需要用另一个量——异面直线之间的距离。
2创设类比发现的问题情景：
先回顾一下过去学过哪些距离？（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距
离）请大家回忆各种距离概念的定义，在这几种距离的“发展”中有什么共同点？（各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离定义都是确定的而且最小）
3启迪发现阶段：
定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，那么异面直线a，b上哪两点之间的距离最小呢？为什么？进一步诱导：如图15，过直线a上一点B作AB⊥直线b，则线段AB的长为异面直线a，b间的距离，对吗？
因为过A作AC⊥直线a，在RtΔABC中有AB>AC，即AB不具有最小性。再过C作CD⊥直线b，如此下去…，线段只垂直于a，b中的一条时，总是某直角三角形的斜边，不可能是a，b上任两点间距离的最小者。那么，异面直线a，b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a，b都垂直相交的线段。
4表述论证阶段：
最后引导学生发现：a，b的公垂线段MN的长度具有最小性，又公垂线是唯一的。所以，可以用线段MN定义为异面直线a，b之间的距离。
至此，两异面直线距离的概念就完全建立了。
教学札记：本案例在概念教学时，把相关的旧概念联系起来。通过引导学生研究已有“距离”概念的本质特点，产生新的概念“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭；通过放手让学生把某种情境用数学方法加以表征，锻炼了学生的学习能力；通过多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考，指导学生自主地建构新概念，培养了学生的创新意识。
案例13让学生感受成功
张谦谦
循序渐进程序教学模式要求把要学的知识内容编制成一系列小问题，按照逻辑顺序编制成学习程序，以学习卡片的形式存入电脑，学习者通过教师引导学习卡片，对每一个问题作出回答（即反应），如果回答正确，他就能获得一份小小战利品即一份新的信息，并可以进入下一步的学习；如果回答不对，可以获得正确答案的提示，以便更正错误，再独立得出正确答案。
循序渐进程序教学法可从直线式程序和分支式程序两种交叉进行教学，以便更深的来揭示概念。下面以高中数学新教材第二册（下A）10.5随机事件的概率中等可能性事件的概率为例：
（1）直线式程序。直线式程序是把教材分成一连串的单元学习内容，每项一卡、每卡通常都有一道练习题，预计学生若掌握了这项内容，就能正确解题。例如：（电脑）
1)如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成（一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件），而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)=mn。问题：在100件产品中，有95件合格品，5件次品。从中抽取3件，则共有多少种不同的结果？2)1\]答：(学生A)由‘等可能事件’的定义，计算3件都是合格品的概率P(A1)=3)2\]答：P(A1)=C395C3100(学生A)计算3件都是次品的概率P(A2)=4)3\]答P(A2)=C395C3100：(学生A)计算1件是次品、2件合格品的概率P(A3)=5)1\]答：P(A3)=C15C295C3100(学生A)假定对100件产品全部逐个进行检验，其中有95件合格品，5件次品，在检验中恰好检验到第3件产品为次品的概率P(A4)=？（持续程序进行）……
（2）对于此题的解答转移到分支式程序。在分支式程序教学中，学生对于每张卡片的末尾的提问不必自己解答，而是在给出的两个答案中选择一个正确的回答。另一个估计是学生最可能犯的错误。当学生做对了则以奖励的形式指导学生学习下面的内容；当学生答错了，则要求学生回到相应的卡片上再学习，同时教师给予鼓励和帮助。
1］某人有六把钥匙，其中一把是家里大门钥匙，但他忘了是哪一把。于是他把钥匙每把不重复试开，问恰好第三次试开的概率是多少？
①六把钥匙依次逐把试开，相当于六把钥匙在六个位置的全排列，即n=A66，‘第三次打开’即是第六个位置中确定了第三个位置的排列数，即m=A55，所以P(A)=16。
②题目条件是‘第三次打开"既然第三次已经打开了，从实际情况考虑，后面就不会再去试开了，即只需要考虑第一、第二次的情形，则m=A25，所以P(A)=1362］选①你的答案是对的。由‘等可能事件概率"的定义出发，某人有k把钥匙，其中p(p=1，2，3…，k)把是家里大门钥匙，但他忘了是哪一把。于是他便将k把钥匙逐把不重复试开。问题：则恰好第i次（I=1，2，…，k）试开的概率是：
答案：1］＝P(A)A1pak-1k-1Akk=pk选1］请转到分支式程序：6］（学生B）
2］＝P(A)=Ak-1k-1Akk=1k选2］请转到分支式程序：7］（学生C）
3］选②。提问：1）①中计算m考虑五个位置，计算n也考虑五个位置。
2）②中计算m考虑三个位置，计算n考虑五个位置。
请回到直线式程序1)，再仔细理解‘等可能事件概率"的定义，然后选出正确的回答。(学生D或学生E)
4］选1）你的答案对了。(学生D)重新思考分支式程序1］，并给予新题作为奖励。
5］选2）你的答案是错的，再由‘等可能事件概率"的定义，并理解教材上黑体字前后的内容，区分解答中的n=A55，m=A25，m应是n的一个子集(学生E)并以简单例题辅助，加以鼓励，引导其正确思路。
6］选1］你的答对了，请转到教材P136阅读材料“抽签有先后，对个人公平吗？”并回答直线式程序5）(学生B)。
7］选2］你的答案错了。适合一把是大门钥匙时。(学生C)并以简单例题辅助，增其自信心，引导其正确思路。
程序持续进行，在教师的奖励教学过程中，使对概念清楚的同学不断加深对概念的理解，使概念模糊的同学在老师的引导下，逐渐理解概念。这样循序渐进，有助于加深对概念的理解，让他们感受到成功的快乐！
案例14数学归纳法起始课的教学
计惠方
引例：比较2n与n2+2的大小
