通过讨论易知n=1，2，3，4时，有2n＜n2+2，n=5时，25＞52+2，…。虽然学生都能猜想得：2n与n2+2（n≥5），但要他们理性地思考一下，说清道理，还真难住了他们，因为随着n的扩大，2n不是一个小数目，人生有限，何时能如此这般地推理到无限？
提问：能否不直接计算数值，在25＞52+2的基础上来证明26＞62+2？试试看。
经过摸索，有学生给出了这样的证明：26=2×25＞2（52+2）（这是因为25＞52+2），所以：26＞52+52+1+3＞（52+2×5+1）+2=（5+1）2+2=62+2；立即又有学生尝试：27=2×26＞2（26+2）=62+62+1+3＞（62+2×6+1）+2=（6+1）2+2=72+2。
提问：一般性情况又会是怎样的呢？
马上又有学生写道：若2n＞n2+2成立（n≥5），则2n+1=2×2n＞2(n2+2)=(n2+n2+1)+3＞(n2+2n+1)+2=(n+1)2+2。于是，这位学生提出了这样一个方案：是不是可以营造一个”循环系统”，让它自动地、无限止地运作起来，使得n=5→n=6→n=7→n=8→…，畅通无阻，永无止境地递推下去，这样由学生自己研究得出的数学归纳法雏形活生生地展示出来，我想当年的数学家也许正是这样想、这样做的，在此基础上再引入数学归纳法的概念，使之贴切、自然，概念理解才会深化……
案例15用集合语言深化概率概念教学
徐国平
在概率统计教学中，初学者往往对古典概率的认识不够清楚，不仅影响了学生对概念的把握，而且对后面的概念学习与运用带来更多的困难。本案例遵循讲解案例要深化的原则，对古典概率、互斥事件、对立事件、独立事件、概率的和以及概率的积等概念用直观、形象、深化的集合语言作进一步的阐述。
1.古典概率
一次实验所有可能的结果组成一个集合U，事件A包含其中一个或多个结果，故事件A可以看成集合U的一个子集(如图16)。在等可能事件的条件下，由于每个结果发生的概率相等，所以事件A包含的结果越多，发生的可能性就越大。设U含有n个元素，A包含m个元素，这样事件A发生的概率为：P(A)=mn。
古典概率也可以用面积来表示：P(A)=SASU(如图17)。
2.互斥事件
若事件A与B是互斥事件，则事件A与事件B不含有相同的结果。从集合的观点看：如图18，集合A与B是集合U的子集，且A∪B=Φ。
推广：若事件A1、A2、A3、…、An是互斥事件，则Ai∩Aj=Φ(其中i，j∈{1，2，…，n})。
3.对立事件互斥事件概率的和
若事件A与B是对立事件，则事件A与B互斥，并且事件A与B中必有一个发生，所以一次实验发生的结果不在A中就在B中。如图19，显然A∩B=Φ且A∪B=U。故P(A)+P(B)=1。一般地，若事件A与B互斥，则事件A+B(即A，B中有一个发生)的概率为：P(A+B)=P(A)+P(B)。
推广：若事件A1、A2、A3、…、An是互斥事件，那么事件发生(即A1、A2、A3、…、An中有一个发生)的概率等于这个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
4.独立事件概率的积
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。从集合的观点看(如图20)：集合的子集A与集合的子集B之间没有必然联系，如果记事件A与B同时发生为，则A与B同时发生的概率为：P(A·B)=P（A）·P（B）。
推广：如果事件A1、A2、A3、……、An相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1+·A2·…·An)=P(A2)·…·P(An)。
一般情况下，事件A∪B表示事件A与B中至少有一个发生，由以上过程可知：
P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）(如图21)。
若事件A与B相互独立，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A）·P(B)。
从上述讲解概念的过程来看，如果在平时的教学过程中，用集合的方法解决概率问题，逻辑严密，表达通俗易懂，学生很容易接受，对培养学生逻辑思维能力和严谨的思维习惯有很好的作用。而且对于概念深化的结果：“若事件A与B相互独立，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）”有着广泛的运用。看下面一例：
例：甲、乙两人分别解答一道题，甲解对的概率为07，乙解对的概率为06，(假设甲、乙两人答题过程相互独立)，问甲、乙两人同时解答至少有一人解对的概率是多少？
解：设甲解答这道题为事件A，乙解答这道题为事件B，事件A∪B表示事件A与B中至少有一个发生，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.7+0.6-0.7×0.6=0.88。
案例16两个原理概念的教学
钱月萍
高中数学新教材第二册（下）10.1节，内容是“分类计数原理与分步计数原理”，这两个基本原理不仅是推导排列数，组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终。因此，对这两个计数原理的教学尤为重要。如何让学生深刻理解两个原理的本质，并能灵活应用原理，分析和解决实际应用问题，是我们教师应该思考和探索的。下面笔者就此谈谈自己对两个原理的教学。
［引入］事先布置任务：甲组学生调查从武康到湖州一天中有几班便捷巴士，几班快客。
上课时请该组学生代表公布调查结果，由此让学生思考：一天中从武康到湖州共有多少种不同的走法？（便捷巴士一天有30班，快客一天有21班）
学生很快得出答案：两个数据之和，即共30+21=51中不同的走法。这样很自然地概括出“分类计数原理”这一概念，并着重指出“分类”，即便捷巴士和快客两类，所以两者加起来是总的走法。又称“加法原理”。
乙组学生调查从城关到莫干山要到武康转车，调查从城关到武康有几条不同的线路（4条），从武康到莫干山有几条不同的线路（2条）。由此让学生思考：从城关到武康有几种不同的走法？
这个问题学生思考后也很快得出答案：8种不同的走法。然后教师用动画的形式给学生演示具体怎样8种走法，让学生深刻体会其中“分步”的特点。从而概括出“分步计数原理”的概念。
设计意图：从实例出发，贴近生活，培养学生的实践能力，激发学生的积极性，易于理解，使学生形成两个原理的初步印象和理解。
\[讲解］给出一般的结论，分类计数原理和分步计数原理，并通过对比，进一步揭示它们的异同。两个原理的共同点是完成一件事的不同方法的种数。区别在于完成一件事的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，“类”与“类”之间是并列的，互斥的，独立的，即任何一种办法中用任何一种方法都能独立完成这件事；而分步计数原理是“分步完成”，“步”与“步”之间是连续的，不间断的，缺一不可的，但也不能重复，交叉，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情。
通过对比可以进一步指出，两个原理的实质与物理学上串联电路，并联电路的关系，易于学生从另一个角度去理解两个原理的区别，能很好的加以辨别，从而能灵活应用两个原理解决问题。具体设计如下：
如图22该电路从A到B共有多少不同的线路可能通电？
用动画演示后，解答如下：
从总体上看由A到B的通电线路可分三“类”。
第一类，m1=3条；
第二类，m2=1条；
第三类，m3=2×2=4条（乘法原理）
所以，根据加法原理，从A到B共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。
通过实例，一方面使学生加深对两个基本原理的理解，另一方面揭示本质如下：
点评：我们可以把分类计数原理(加法原理)看成“并联电路”；分步计数原理(乘法原理)看成“串联电路”。如图23所示。
\[评价］通过学生的亲身实践，引起学生的兴趣，从实际问题着手，学生容易思考，并能用自己的语言描述两个原理的不同。通过对比，类比，使学生深刻理解两个基本原理，为后面的内容打下基础。
案例17数学发现与数学归纳法
张玉堂
数学归纳法作为数学的一个重要工具，它能够科学地解决有关正整数的命题的正确性，是一种完全归纳法。在教学中，我们不仅要会单纯地利用数学归纳法证题，而且要借助数学归纳法这一数学工具的教学机会展示给学生一个完整的数学过程：观察——归纳——猜想——证明。这有利于培养学生的发散性思维和探究问题的能力：提出问题，从而解决问题。使他们善于数学发现，会应用数学。本质上讲，这是创新教育的极好题材，要很好地挖掘，使其充分发挥教育作用。如数学历史上著名的哥德巴赫猜想（即所谓的1+1）就是一个极好的例子，几百年来，它激发了包括欧拉在内的成百上千的优秀数学家为之着迷和献身，引以自豪的是我国数学家陈景润证明了1+1，这个结果被命名为陈氏定理，正如伟大的科学家牛顿所说：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。
在教学中，我试图通过以下例题示范，还原数学发现的原始过程：
例设an=1+12+13+……+1n(n∈N*)，是否存在n的g(n)整式，使得等式a1+a2+……+an-1=g(n)(an+1)，对于大于1的一切自然数bn都成立？并证明你的结论。
［分析］这是一个存在性问题，需要发散性思维，整式g(n)是需要通过“观察——归纳——猜想——证明”的过程去探索和发现，是一种由具体到抽象、由特殊到一般的归纳思维过程。
为了强化主动探索、自主发现的创新精神，我对课本P66例5加以改编：
平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数f(n)等于多少？并给予证明。
［分析］这样一改就变成了一道开放题，通过画图找出规律：
f(2)=1，f(3)=1+2，f(4)=1+2+3，……
可以猜想f(n)=1+2+……+(n-1)=(n-1)n2
然后利用数学归纳法证明。
案例18复数概念的深化
蔡飞庆
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括和反映，是数学思维的细胞。在概念教学中，要充分暴露概念的形成过程，可使学生了解概念的来龙去脉，加深对概念的理解。
以“复数的概念”教学为例。教材以负数不能开方为理由说明实数集不够完善，因而提出要将实数集扩充为一个更为完善的新数集的必要性，这实际上只是问题的提出过程。在此情况下，采用简单的“点拨”显然不能从根本上帮助学生解决为什么要引进i和怎样使新数集完善等问题。
针对以上问题，我作了如下的教学设计：
一、首先师生共同回顾已经经历过的几次数集扩充：
①每次扩充都是增加了新元素；②在原来数集内成立的主要运算律，在新数集内继续成立；③每次扩充后的新数集里能解决原数集里不能解决的问题。
二、借鉴以上规律，老师向学生“解析”：为了扩充实数集，我们引入新的元素i，并规定：①它的平方等于-1，即i2=-1；②实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算定律仍然成立。这样，就得到了形如a+bi(a，b∈R)的数，这就是复数，全体复数的集合叫复数集，用C表示。
三、接着，教师逐一对运算律略作举例验证，并指明“后续”的学习内容都将进一步证明扩充的必要性、合理性及其重大意义。
将复数概念的形成这样细化“解析”，才使学生对i的引入不感到疑惑，对复数集概念的建立也不觉得突然。同时为概念的理解和进一步研究打下了良好的基础，把学生的思维很自然地引入到知识发生和形成的轨道中。这样，学生的思维就会活跃起来，也会通过模仿和思考，掌握其一般性的学习方法和思维策略，直接或间接地起到了强化和促进学生学法的形成与完善的良好作用，进而也产生了理想的教学效果。第三章 规律三讲解例题多变化化
案例1二次函数的最值多变一例
王建忠
课堂教学是师生情感交往的场所，教师要给予学生参与的时间和权利。鼓励学生讨论、质疑、发表各种见解，形成师生间的能动交流。
教师在教学中，应力求打破常规，引导学生从多方位去思考问题，注意培养学生一题多解、一题多思、一题多变、举一反三的创新思维。例如讲《二次函数的最值》一课中我采用一题多变的教学方法。引例为：求函数y=32-2x-1的最值。
解：y=3x2-2x-1=3(x-13)2≥-43。
所以函数的最小值为-43。
变化1求函数y=3x2-2x-1x∈［2，+∝)的最值；
解：y=3x2-2x-1=3(x-13)2-43
由函数的图像可知，当x=2的时候y有最小值7
变化2求函数y=3x2-2x-1，x∈［-2，2］的最值；
变化3求函数y=3x2-2x-1x∈(-∝，-3］∪［3，+∝)的最值；
变化4求函数13x2-2x-1的最值；
变化5求函数3x2-2x-1的最值；
变化6求函数y=3x4-2x2-1的最值；
变化7求函数y=3x-2x-1的最值。
让学生从中找出解题的一般规律，并分清不同题目不同的解题方法。通过一题多变的教学，能拓展学生的思路，让学生在一题多变中发挥自己的聪明才智，在不断的变化之中增强自己的创新意识。
案例2一次优质课比赛
倪晓熠
一、案例背景
2003年，笔者参加学校的青年教师优质课比赛，课题是《等差数列前n项和》第1课时，笔者作为一名刚参加工作不久的新教师，这是一个展示自己教学个性，提高自己专业水平的平台，笔者全力以赴。在准备课堂例题的时候，发现教科书中的例题都是一些普通的数列常规计算题，这些例题信息量少，而且死板老套，缺乏新意，在以往的课堂教学讲评中，总是比较形式化，显得平淡无味。笔者非常期望在这堂优质课中改善这种状况，于是翻阅了一些专业书籍，发现数列求和在我国有着悠久的历史，这给了笔者很大的启发，于是重新设计了一个例题。
二、案例描述
师：以上我们介绍了等差数列的前n项和公式(Ⅰ)(Ⅱ)。在实际应用中我们还得具体问题具体分析，根据已知条件合理选择公式。
（展示幻灯片：例1）
师：在中国古代文物或文献中，有关等差数列的内容十分丰富。约成书于公元前2世纪的古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；约成书于公元1世纪的《九章算术》中的衰分章、均输章、盈不足章都有许多等差数列的问题，反映出当时已形成了数列求和的简单概念。到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。
生：（露出惊愕的表情，继而发出啧啧之声，一下子引发了他们的注意力与兴趣）
师：他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题。例如：今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”
生：（有的同学已跃跃欲试，有的同学皱着眉头）
师：这题用哪个公式呢，已知什么量，求什么量？
生：已知a1，n，Sn，求d。用公式(Ⅱ)。
师：对了，试试吧！
生：（皱眉头的学生反而增多了）
生1：这个单位怎么处理，要统一的吧？
生2：是啊！尺、丈、匹怎么换算啊？
师：对了，单位要统一。古代四丈为一匹，十尺为一丈，九匹三丈相当于多少尺？
生：390尺。（眉头舒展，露出了愉快的表情）
师：现在是万事具备，只欠答案了。我们一起来计算一下。
（师生合作，教师板书演示过程）
