师：高斯10岁就神速地求出了1+2+3+…+100=5050他的算法非常高明，同学们都知道他是如何算的？
生：（脱口而出）1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50=5050
师：对了，高斯算法的高明之处在于他发现第k个数与倒数第k个数的和都相等。
师：上述问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，100，…的前100项的和，这能启发我们去求一般的等差数列前n项的和Sn=a1+a2+a3+…+an=？
生：（思索了片刻，有的学生已经跃跃欲试了）
生1（思维较活跃）：Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…（之后语塞了）
师：怎么了，有多少组这样的数组呢？
生：（激烈地讨论起来，场面热闹）
生2：（脱口而出）n2组。
生3：不对吧！n为偶数才是n2组，n为奇数……（语塞）
（众学生皱着眉头，场面冷却下来）
师：与n的奇偶性有关，这个思路似乎进行不下去了。为回避个数问题，做一个改写，
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an把项的次序倒过来，Sn又可以写成：
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1，两式左右分别相加，会出现什么结果？
生：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a2)+(an-1+a2)+(an+a1)
生1：有n个数组。（众学生纷纷点头表示赞同）
（师生共同合作，Sn=n(a1+an)2得到）
师：运用这种倒序相加法，我们避开了奇、偶数问题。
生：（眉头舒展，很愉快）
二、案例反思
原型启发在创造性地解决问题中起着很大的作用，但是有的时候原型也会限制人的思维的广阔性。在本案例中，学生往往会遵循高斯的妙解去解决一般等差数列的前n项和。事实上，由高斯解法到倒序相加法并不是一个直接的过程，这时候矛盾的产生是一个闪光点。认识矛盾——分析矛盾——解决矛盾，这才是我们分析数学问题最常规的思路，教师应充分尊重学生这样的认知过程。
案例2一道数列题的常规思路
李芳
经常碰到这样一个练习题，“在设两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别为Sn和Sn′，且Sn：Sn′=（7n+2）：（n+3），求an：bn”，和学生一起探讨，并且做一些常规化的变式。
分析1：在等差数列{an}中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq
于是an：bn=12(a1+a2n-1)：12(b1+b2n-1)=S2n-1：S′2n-1∴an：bn=(14n-5)：(2n+2)。
发散2：等差数列由n+m=p+q，am+an=ap+aq，比较aman与apaq的大小？
思路一：若an>0，运用均值不等式，对于两个正数，和为定值，则当他们相等时，其积最大，可以猜想：a5a5>a4a6>a3a7>a2a8……
思路二：若任意两个实数，则可以用比差法证明大小。将这个问题可以推广到一般，即等差数列{an}，若n+m=p+q，且p-q＜m-n，则ap·aq>am·an。形象地说：即中间的两项之积大于两端的两项之积（其项数和相等）。
类比3：正项等比数列{an}中，若m+n=p+q，比较am+an与ap+aq的大小？
思路一：当其公比q=1时，显然am+an=ap+aq；当an>0，q≠1，由均值不等式知两个正数积为定值和最小，且当他们都相等时等号成立。
思路二：当an>0，q≠1，由an=a1qn-1知，表示这个等比数列的点都在函数y=a·qx的图象上（其中a=a1/q），通过中点公式就可以得到结论。
思路三：比差法证明大小继续可以发挥作用。
变通4：对于负项等比数列{an}，反其道而行之，ak+an<ak+j+an-j。
推广5：对于等比数列{an}，公比q≠1，且n>k+j（n，k，j∈N+）时，
an|+|ak|>|ak+j|+|an-j|。
创新5：等差、等比数列综合问题
若a，b是不相等的正数，且a，x，y，b成等差数列，a，m，n，b成等比数列，则（）
A、x+y>m+nB、x+y=m+n
C、x+y<m+nD、以上都不案例3三角函数求值中的常规思路
石亮
案例高一下《同角三角函数的基本关系式》
1.复习任意角的三角函数定义。课堂练习(已在上节课后布置作业)。
计算下列各式的值：
(1)sin290°+cos290°；(2)sin230°；(3)sin60°cos60°；
(4)sin135°cos135°
(5)tan45°·cot45°；(6)tan5π6·cot5π6
2引导学生观察上述各题的结果，进行猜想，并用定义给予证明。可问：在三个等式中角α是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么限制？
3问：对于同一个角的正弦、余弦、正切、余切，至少应知道其中的几个值，才能利用基本关系式求出其他三角函数的值？引导学生从方程的角度分析，得出结论”知一求三”。
4例1已知sinα=45，并且α是第二象限角，求cosα、tanα、cotα的值。启发学生，与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1，故cosα的值最容易求得。在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在象限确定cosα的符号。
应向学生讲清楚tanα=-43中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式时的三角函数符号的确定。
5例2已知cosα=-817，求sinα、tanα的值。让学生比较例1、例2题设条件的相异处，根据题设条件得出角α的终边只能在第二或第三象限。
应提醒学生注意，仅有的cosα=0是不能确定角α的终边所在的象限，它可能在x轴的负半轴上。（这时cosα=-1）
以上分析思路都是常规化思路，不追求“花哨”，重在为学生对解决三角问题打下坚实的基础，为将来学习同角三角函数的诱导公式做好充分的准备。
案例4解题教学中设“想”一例
李红宇
日常教学中，存在普遍的两种现象：（学生层面）课上听得懂，但自己独立不会解题；（教师层面）讲了多遍的一道题，可学生总也不会。数学课教学是思维活动的教学，作为教师应努力建立好的解题教学模式，让学生不仅能“知道”，而且能“想到”。解题的关键是思路。通过分析问题思路的常规化，创设探究氛围，来激活学生的思维，成为知识的探索者，在探索中学会思考。
针对上述问题，以下举教学中一例说明。
例：已知函数y=lg(x2+mx+1)，若值域为R，求m的取值范围。
学生中的初解：欲使值域为R，只要x2+mx+1=0即可，由Δ=m2-4＜0
得-2＜m＜2，故当-2＜m＜2时，值域为R。
当指出此解错误时，学生中便产生了疑惑。针对此刻这个机遇，我并没有给予正面回答，而是通过一组质疑性问题让学生继续探究，解开疑团，找出题解。
提问1当Δ<0，即-2＜m＜2时，x2+mx+1＞0是否恒成立？
探究：若令u=x2+mx+1，当Δ<0时，函数u的图象均在x轴上方，故函数值恒大于0。
提问2此时函数u可取一切正实数吗？
探究：当给定一个确定值时，u≥4-m24，(0，4-m24)不在u的取值范围内即此时不能取一切正实数，故值域不为R而是［lg4-m24，+∞)。
提问3当Δ≥0，能否找到x的值，使得x2+mx+1＞0呢？x2+mx+1是否可以取一切正实数？
探究：当Δ≥0，因二次项系数大于0，所以抛物线u=x2+mx+1开口向上，显见，当x＜x1或x＞x2（x1，x2是方程x2+mx+1=0的根，且x1＜x2）时，u＞0即u可取一切正实数。
提问4经过前面的探究，现在你能给出本题的正确解法吗？
探究：当Δ≥0，即m≤-2或m≥2时，总存在x的值，使x2+mx+1＞0且x2+mx+1能取一切正实数，∴y=lg(x2+mx+1)的值域为R，故本题的答案应为m≤-2或m≥2。
抓住问题本质采用质疑的方式，把疑点分解为若干个学生熟悉的、容易理解的问题去思考，逐步排除学生思维上的障碍，体现了分析思路的常规化。
案例5求分式函数的值域
沈恒
函数的值域一直是高中数学的重点和难点，而且方法众多，学生普遍感觉棘手，不能融会各种方法。针对这样的问题，我设计了一堂融会多种方法求值域的习题课，目的在于让学生在遇到问题时候会使用通法解决问题。
我选用的例1是求函数的值域，这是求函数y=x2+1x2-x+1值域中比较典型的一类问题，最常用的方法是法①：判别式法。在用法①解决后，我又引入了其他的方法来使学生的思路多样化、常规化。
【分析②】利用去分子中的二次项应该也比较简便，是比较容易想到的，再稍做转化，变为y=1+xx2-x+1时，这就变成高中学生比较熟悉的“耐克”函数(x＞0时的图像很像著名体育品牌耐克标志)，这个思路也很常规。
法②：y=x2+1x2-x+1=1+xx2-x+1，在此基础上研究xx2-x+1的最值。
记f(x)=xx2-x+1，则f(0)=0，当x≠0时，f(x)=1x+1x-1
于是x＞0，x+1x≤-2，得f(x)≤1，此时y≤2，ymax=2
x＜0，x+1x≤-2，得f(x)≥-13，此时y≥23ymin=23，
【分析③】观察分子分母，可以考虑使用tan2α+1=sec2α。三角代换方法很巧，利用常用的切割化弦，但要注意对α做适当的限定。这个方法很基本也很巧妙。
法③：令x=tanα，(-π2＜α＜π2)，
