点评：这个题目的变形由浅入深，由易到难，层层深入，符合学生认识事物的规律。让学生进一步学习数学基础知识和基本技能，培养学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。培养对数学的学习兴趣，培养良好的学习习惯，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性，培养科学的态度和辩证唯物主义观点。
案例26不同层面，不同效果
李芳
在立体几何的章节复习课中，安排了一道典型例题：
如图35，AB是⊙O的直径，PA⊥面⊙O，C是圆周上的任意一点，求证：面PAC⊥面PBC。
在教学时，从如下三个思维层面进行研究。
一是应用层面：
(1)四面体各面中最多含有多少个直角三角形？
(2)四棱锥各侧面中最多含有多少个直角三角形。
二是变式层面：
(1)“圆”改“直角△ABC，∠C=90°；
(2)原题中，求二面角A—PC—B的余弦值；
(3)原题中，求证：S△PAB+S△ABC=S△PAC+S△PBC。
三是深化层面：
（1）原题中，A在PC、PB上的射影为M、N，
求证：MN⊥PB；
②求证二面角A—PB—C的平面角为∠AMN；
③若∠ANM=α，∠BAC=β，∠APB=60°，求证：tanα·tanβ=2。
(2)原题中，PB的垂直平分线交AB于D，交PB于E，PA=AC=a，BC=2a，①求证：PB⊥面DEC。②求面DEC与面BDC的二面角的大小。
(3)在ACB的另一侧取一点D，连PD、BD，则P、A、B、C、D五点共球。
通过此题的纵横多方位的研究引申，不仅可获得一些重要结论，更重要的是通过变换、引申等手段，充分发挥了该题的智能价值，从而可以调动学生学习的积极性，激励学生思维的创造性。
案例27主导还是指导
张谦谦
在舍费尔德的解题表上，我们思考这样三个问题：舍费尔德的解题舞台上的主角是谁？教师在组织学生进图36
行课堂教学活动中的作用是什么？是主导作用还是指导作用？一字之差，反映了教学观念上一次质的飞跃。
下面以高中《数学》第二册（下A）第46业习题9.7第8题为例，对作业后的讲评习题设计案例，为如何发挥教师的指导作用提供一个基本的思路和直接的启示。
一、注重因人施教，让学生学有个性
（电脑投影）
例1：正方体的棱长为a，点C，D分别是两条棱的中点。
试证：A，B，C，D在同一平面内；并求出截面ABCD的面积。
教师：这是我们的一题作业，同学们做得很漂亮，大家回忆9.3直线与平面平行的判定和性质中例2的锯木料怎样，变换条件与结论，使此题加深难度，更上一层楼呢？
学生A：（迫不及待地）
探索1：如图37正方体的棱长为a，C是棱B1E1的中点，求过A，B，C三点的截面的面积。教师：好！应如何解呢？
学生B：（“兴奋型”气质）跟我们的作业答案是一样的，只不过需添辅助线作出截面罢了！我还有变换法：
探索2：如图37正方体的棱长为a，过AB有一截面与底面ABE成的角为arctan22，（1）截面是何形状？（2）这个截面的面积是多大？学生C：（不爱发言“抑郁型”气质）答案也是一样的！
此时，在座的学生纷纷各抒己见，小声地讨论，有几个平时喜欢积极发言又常丢三落四的“活泼型”气质学生，已耐不住性子，喊起来：我们把arctan22可改成30°，45°，60°不都可以吗？
教师（乘着大好机会）：截面的形状相同吗？（加强语气）
学生D：（“安静型”气质）不一样，截面分别是三角形，三角形，梯形。
教师：太好了！
（电脑投影）
探索3：如图38，正方体的棱长为a，过AB有一截面与底面ABE成45°角，截面是何形状？这个截面的面积是多大？
探索4：如图37，过AB的截面与底面成60°角。（1）截面是何形状？（2）这个截面的面积是多大？
二、发展学生能力，让学生学有创见
学生F：（“沉思型”气质）那什么时候是三角形？什么时候是梯形呢？（自言自语）
学生F的同桌G：这还不简单！（小声嘀咕）
教师（顺水推舟、电脑投影）：这个问题很多同学可能想到了？（不少同学点头赞同）
探索5：如图38，正方体的棱长为a，过AB有一截面，截面与底面ABE成的二面角多大，截面形状是（1）三角形？；（2）梯形？学生G：（自告奋勇）突破口关键在于找出截面是三角形与梯形的分界面，并求出二面角E1-AB-E的大小。（大家都会意的点了点头）
三、激发学习兴趣，让学生学有动力
学生H：我们只要找三角形面积的最大时截面与底面ABE所成的二面角即可。
马上有人反驳：是否三角形面积最大时即可呢？还是要讨论呢？
教师：那么大家先来讨论下面一个问题
探索6：在探索4所述的截面中，有无面积最大的三角形面积？若有，求出最小面积；若没有，说出理由。学生：……（继续思考）
学生H：当点H在棱EE1上时，截面是三角形，并且当点H由点E沿EE1方向移动时，EH，OH都逐渐增长，当H与E1重合时，三角形面积取最大值，为32a2。
教师：思路巧妙，不仅回答了探索5，也回答了探索6。（给了这位学生充分的评价）
学生I：（灵机一动）：那么找梯形面积最小时截面与底面ABE成的二面角也可以吗？
教师：是否可以呢？谁能先回答下面的问题
探索7：在探索4中的截面中，有无面积最小的截面？若有，求出面积最小的截面面积；若没有，说明理由。这时，下面一片寂静。
教师：刚才……（发现还有学生踊跃举手，小声讨论，心想，或许大家碰到难题了）
学生I：老师，我的想法不对，梯形面积是无最小值的，可设CD=c·a，x(0，2)则S梯形ABC=12a2x44+22+3易得S梯形ABCD在区间(0，2)上随x的缩小而缩小，由于x∈(0，2)这个开区间，所以梯形面积无最小值。
教师：I同学自己提出了设想，自己解决了问题，又让大家开了眼界。（一片赞许声）
四、加强学法指导，让学生学有钥匙
不知不觉下课铃响起，伴随着铃声，这时，冷不防一位平时不爱发言的同学冒出了一句（似乎猛然觉醒，深刻体会，不知觉地）：老师，我悟出了一条规律：“提出一个问题比解决一个问题更重要”以后我每做一题，都要从不同的角度去看问题，把相同类型的题目归类，以不变应万变，今天所讨论的问题在平时似乎都碰到过，只是不会在凌乱中总结规律，导致做数学题象走进了蜘蛛精的盘丝洞，剪不断理还乱，今天我终于明白了：“要善于总结规律，找相同点和不同点”。
话音一落，同学们纷纷把目光转向了这位难得在课堂上发言的同学。
“这条规律太妙了”。我及时表扬道。并带头鼓起了掌，对他的发现表示祝贺。
接着全班同学都鼓起了掌，此时，我的心情只能用“满意”两字来形容，对我今天的课堂效果感到欣慰。
案例28火花，在碰撞中爆发
张谦谦
1．疑问，从结果不同的“解法”中产生
请思考以下问题：
（2004全国重庆卷·文）已知盒中装有3只螺口和7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取到卡口灯泡的概率为（）
A2140B740C310D7120
很快便有同学A给出了一个解法：
P(A)=mn=C23·C17C310=740选B。
师：是否正确呢？
生B：我认为不对p=mn=A23·A17A310=7120，故选D。
面对两个不同的结论和解释，教室内的气氛一下热烈了，同学们便不由自主地讨论起来，有的拥护A，有的认为B有道理。
2．疑点，在讨论的过程中突兀而出
无序的讨论没有什么效果，这时需要将讨论引向问题的实质。
师：“大家将讨论集中一下。先请A，B分别解释一下他们的解题思路，看看谁能说服大家。”
生A：根据题目条件这些灯泡的外形与功率都相同，分母是总共10只灯任取3只即C310，分子是3只螺口灯任取2只即C23，再从7只卡口灯中任取1只即C17。所以是P(A)=mn=C23·C17C310=740。
生B：我把灯泡看作是不同的，分母是总共10只灯任取3只的排列数即A310，分子3只螺口灯任取2只即A23，再7只卡口灯任取1只即A17。
所以是p=mn=A23·A17A310=7120
疑点之一：应该用排列还是组合？
师：“两位同学对自己答案的解释，好像都有道理，但结果却不同，究竟谁对呢？请大家继续思考。”
生C：“这个问题有更简单的解释，但题目思考情景改变：一排放10只灯，3只相同螺口灯，7只相同卡口灯的不同放法。分母10个位置选3个放螺口灯即C310，分子为前三位置故螺口灯，螺口灯，卡口灯，后7位置任选一位置放螺口灯为C17，分子分母情景一致，排螺口灯即P(A)=C17C310=1120。
疑点之二同学C的解释合理否？
师：“同学C又给出了一个解法，答案也是D，看来是B对了。”
生D：我同意概率是7120，但B的解释中，为什么可把灯炮看成不同来解，在这一点上A的说法似乎更合乎情理。”
生E：“但A的解释思想存在问题：改变思考情景：分母考虑10个灯取3个，无顺序，而分子考虑时卡口灯必须放第三个，有顺序，这里的道理我想不通。”
同学E的发言已触及到问题的要害，的确没有同学再接下去了。讨论进行到这里陷入了僵局，多数同学露出百思不解的神情。一方面直觉到概率应是7120，另一方面从实际情况考虑A的说法也有道理。现在是教师发挥作用的时候了。但如果直接给出结论不会有好效果，这样做的结果常常是“一听就懂，过后就忘”。
师：“我们小结一下刚才讨论过程中的要点：
同学C的解答没有人提出疑问，直觉上概率应是7120。
讨论的焦点集中在用C还是用A，上面谁对谁错，错因何在？
注意同学E指出的同学A的解法中的一个疑问：“分母考虑10个灯取3个，无顺序，而分子考虑时卡口灯必须放第三个，有顺序”。
3．教材，释疑解难的出发点与归宿
“让我们回到教材！看看等可能事件的概率定义中有什么被我们忽视了。”
随着翻书的声音渐息，教室安静下来，外在的热烈讨论气氛转化为紧张的内在智力活动。
几分钟后，同学B要求发言。
他说：“我的计算是正确的，题目条件是要求‘直到第3次才取到卡口灯泡’一次试验，则n=A310，m是事件A包含的结果数。由定义可知这个‘结果’应是n中的一部分。所以计算m，应该也是排列，即A23A17，所以计算时分母是10只取3只的组合，而分子是组合和排列的混合，m不是n的一部分。”
许多同学听了这个解释仍表示不理解，主要是对“一部分”的意义的不理解。
“皮球”又踢回到教师的脚下，你又有什么高招，让至今仍处在疑虑之中，朦胧之中的学生，能似拨开乌云见青天的豁然开朗，得到真正的理解？
师：“同学们在学习中一定要注意，教材中的黑体字前后的内容和黑体字同样的重要，这些内容有助于我们更深层次的理解黑体字内容的内在含义。大家看教材，等可能事件的概率定义下面，就用集合的观点进一步阐述定义的内涵。下面我们从集合的角度来分析上述问题。
不妨设a螺b螺c螺d卡e卡f卡g卡h卡i卡j卡
教师的解释之一：同学B解答的合理性。
他把“直到第3次才取到卡口灯泡”作为“一次试验”，等可能出现的结果组成一个集合I，用不完全列举法写出集合I=a螺b螺d卡c螺e卡f卡g卡h卡i卡j卡，a螺c螺b螺d卡e卡f卡g卡h卡i卡j卡，…所以n=Card(I)=A310。
由定义，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A，则A中的元素应是a螺b螺c螺其中之一在第三个位置的10个字母的排列，用不完全列举法写出集合A=a螺b螺d卡c螺e卡f卡g卡h卡i卡j卡，a螺c螺d卡b螺e卡f卡g卡h卡i卡j卡，…
所以m=Card(A)=A23A17
这就说明同学B的解答是正确的。
部分同学觉醒了；少数人仍然瞪大着眼睛，张大了嘴巴，似仍有疑惑。
教师解释之二：同学A的解答的错误原因。
他用n=C310只是组合无顺序，而m是3只螺口灯任取2只即C23，放1、2位置无顺序，而卡口灯必须放在第三个，从而有顺序。导致m不是n的子集。
违反了计算等可能事件分子与分母必须是“子集个数与全集个数”的规律，因此他的解答方案是错误的。
我们退回到简单情形研究，就看得更清楚了——这常常是解释的好手段！
有两只螺口灯和三只卡口灯即a螺b螺c卡d卡其中恰第三次摸到螺口灯的概率。用同学A解释P=C22C12C34，则集合I=a螺c卡d卡，b螺c卡d卡，a螺b螺d卡，a螺b螺c卡而恰好第三次摸到螺口灯的集合。
A=c卡d卡b螺，c卡d卡a螺显然，A并不是I的子集，因为A集合每个元素中的螺口灯必须放在第三个位置，有顺序，而I集合中的每个元素各元素间没顺序。即A中的c卡d卡b螺→I中c卡d卡b螺c卡b螺d卡d卡b螺c卡因此，I中元素应该是原来的三倍。
至此，全班学生的脸上全都转阴为晴了。
教师的解释之三：从整体全排列考虑，即，“直到第3次才取到卡口灯泡”。那么正确的解答思路是：“一次试验“确定为逐个不重复摸取，等可能出现的n个结果组成集合，Card(I)=A1010，Card(A)=A17·A23·A77，所以P(A)=A17·A23·A77A1010=7120=7120。
捕捉利用学生思维的瞬间亮点，明主开放的数学课堂，必然引发师生间思想的交锋，也必然促进学生灵感和智慧的产生。
案例29一道导数题的拓展
章艺红
新教材中增加了微积分的一些初步知识，为学生处理和解决函数切线方面的问题提供了方便。《导数的几何意义》一节中有这样一道例题：已知曲线y=13x3上的一点P(2，83)，求点P处的切线斜率及方程，并配以函数图像。我在此例题讲解时，适当拓展，对一类函数的切线问题进行了类比、归纳。
拓展1、求曲线y=13x3在原点处的切线。
应用例题结论：y′=x2，所以y′｜x=0=0，即切线为x轴。
拓展2、思考曲线y=x13在原点处的切线是否存在？若存在，求出方程，若不存在，说明理由。
观察函数图像，如图39，曲线y=13x3在原点处的切线为x轴，则曲线y=x13在原点处的切应为y轴。另一方面，由y′=(x13)′=13x-23，所以y′｜x=0不存在，曲线在原点处的切线的斜率不存在。
拓展3、分析曲线y=x2在原点处的切线情况。
由y′｜x=0=0，曲线在原点处的切线为x轴。
拓展4、分析曲线y=｜x｜在x=0处的切线情况。
由limΔx→0-ΔyΔx=lim｜Δx｜Δx=-1，limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0+｜Δx｜Δx=1，所以limΔx→0-ΔyΔx不存在，Δ曲线在x=0处的切线不存在。第四章 规律四分析思路常规化化
案例1从高斯的题目讲起
倪晓熠
一、案例描述
