FLT开始并没有引起人们瞩目，在一些著名数学家受挫后，才普遍引起人们的重视。许多知名数学家都研究过它，他们中有欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、拉梅、柯西和库麦等，有的人为此献出毕生精力，早期的库麦和近代的范迪弗就是其中的两位。据说林德曼在1882年证明π是超越数（人们把不是代数数的数称为超越数，至于代数数的定义将在后文论及）后，也终身从事FLT的研究。
数学家继往开来，不畏劳苦，奋勇攻坚，在解决FLT上取得了很大成绩，并且发现了一些新方法和新理论，数学家也从中得到了磨练和启迪。
费马在给朋友卡卡维的信中说，他已用无穷递降法证明了n＝4情形。但信中没有给出证明的细节。
1676年，贝西在费马的少量提示下，也给出这个情形的证明，论文刊在他死后出版的《论直角三角形的数学性质》一书中。
所谓无穷递降法，这里必须作一下粗略地解释：假设某一个方程f（x，y，z）＝0有整数解a，b，c，并且c＞0，方法正是求另外的整数解a′，b′，c′，使0＜c′＜c，多次重复这个过程，得到解a″，b″，c″，并且0＜c″＜1。这是不合理的。无穷递降法不是别的，只不过是自然数的良序原理也叫最小数原理，其内容为自然数列中任意一个非空子列必有最小数（也叫最小数原理，其内容为自然数列中任意一个非空子列必有最小数）。莱布尼茨（1678年）和欧拉（1738年）也给出了这种情形的证明。
n＝3的情形，早在972年阿拉伯人胡坚迪已经知道，但他的证明有缺陷。1770年欧拉首先给出这个特例的证明，不过这个证明不是很完全。他引进了一种形如a＋b-3（a，b是整数）的数。这种数与整数有许多相似性质。欧拉发挥巨大想象力和创造力，用类别的方法，它假定整数的一些性质对a＋b-3型数也成立，从而推出n＝3时FLT成立。
问题就出在这个假设上。大家知道，在整数中素因数唯一分解定理成立，即任何大于1的整数，如果不计素因数的次序，有且只有一种方法分解成素因数的乘积。由此可以推出，当两个互素的整数的乘积是某一个数的n次幂时，只有当其中每一个整数都是n次幂才行。欧拉假定这种性质对于a＋b-3也成立，再由此进行推理，最终做出证明。
事实上，整数与a＋b5-3型数虽然有着许多相同的性质，但还有许多不同的性质，这就是欧拉的假定不够慎重的地方。但是，对于n＝3情形，只要作些修补，实质上欧拉还是证明了FLT。
欧拉的方法对以后的研究有很大启发性。稍后一些时候，数学家们致力于证明的基础研究，得到了一些有益成果。高斯给出了n＝3情形的另外一个证明。
19世纪20年代，许多法国和德国数学家试图证明FLT。1823年，71岁高龄的勒让德给出n＝5情形的证明。1825年，年仅20岁的狄利克雷宣读一篇论文，他试图证明n＝5情形。事实上，他的证明不完全，这一点被勒让德指出。后来，狄利克雷独立地完成了证明，论文于1828年发表。他使用的方法本质是推广了欧拉用来证明n＝3情形的方法。1832年，狄利克雷解决了n＝14的情形。
高斯试图证明n＝7时的断言，但他失败了。由于失败的苦涩，他在1816年给奥尔伯斯的信中说：“我的确认为，费马定理作为一个孤立的命题对我没有多少兴趣，因为可以容易地给出许多那样的命题，人们不能证明它们，也不能否定它们。”
后来，重要的进步归功于拉梅，1839年他证明n＝7的情形。不久后，勒贝格简化了拉梅的证明，他聪明地使用了恒等式（x＋y＋z）7-（x7＋y7＋z7）
＝7（x＋y）（x＋z）（y＋z）\[（x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz）2＋xyz（x＋y＋z）\]
法国女数学家热尔曼在小指数特殊情形的研究中，取得很大成绩，给出一个著名定理。
首先是巴罗，后来的阿贝尔指出，如果xp＋yp＝zp，其中x，y，z不为零，则x，y，z必须满足一些有趣的关系式。通过聪明地变换，热尔曼证明：如果P是一个奇素数，使2P＋1也是一个素数，那么对于P，FLT的第一种情形成立。
只要稍微验证一下就可知道，存在许多素数P使2P＋1也是素数。例如，2×2＋1＝5，2×3＋1＝7，2×5＋1＝11等。但是，仍然不知道是否存在无穷多这样的素数。
按照热尔曼的思想，勒让德推广热尔曼的定理如下：如果P是素数，使4P＋1，8P＋1，10P＋1，14P＋1，16P＋1之一也是素数，那么对于指数P，FLT的第一种情形成立。
这个定理实际上证明了对于所有素指数p＜100，FLT的第一种情形成立。
这里讲述一下热尔曼的身世是必要的。她的父亲是商人，母亲操劳家务，本人从没有进过任何专门学校，靠刻苦钻研，自学成才。当时的学会规章不允许妇女出席会议，热尔曼把论文用信件通知勒让德和柯西。她的文章得到了肯定。
热尔曼的成就令人震惊，得到大数学家的称赞。德国哥廷根大学授予她荣誉博士学位。但遗憾的是，喜讯从柏林传到巴黎时，热尔曼早已与世长辞了。
