元胞自动机在集团中信用风险传递的应用
徐超、杨扬、周宗放
（电子科技大学经济与管理学院，四川成都610054）
摘要：企业集团信用风险传递的仿真研究一直是商业银行风险控制所关注的重点问题，而传统对集团信用风险传递仿真的方法并没有从根本上刻画企业集团内部的相互交互作用，因而仿真结果适用于集团信用风险的预测并不可靠。元胞自动机 CA作为一种新的仿真技术，克服了传统方法的不足。本文讨论了CA对集团信用风险传递仿真的初步构想，提出了仿真中元胞自动机核心传递规则刻画集团信用风险的基本范式，相信能为进一步基于CA的集团信用风险传递仿真提供一个具有洞察力的视角。
关键词：元胞自动机；信用风险传递；企业集团；演化规则
中图分类号：C931.文献标识码：A
0.引言
根据Syrus关于风险管理的定义，风险管理可以划分为三个阶段：风险数据的收集；风险的度量和风险的模拟。对于风险度量和模拟的研究可以追溯至20世纪60年代，采用的模型方法可分为两类：一类是基于线性函数模型建立的古典模型，如Z计分模型等；一类是基于Merton（1974）期权定价模型建立起来的现代模型，如KMV模型等。现代模型虽然将度量风险价值的方法和市场信息纳入违约模型，但是这些模型模拟的结果紧密依赖于所选择的参数，甚至是假设的随机过程本身，所以其仿真结果在实证中并不具有一致性。与此同时，模型的计算也存在着复杂的问题。尽管利用神经网络这一稳健的、非参数的方法建立的模型可以更好地刻画现实中存在的问题，但是模型缺乏效率以及解释能力不足也被大家所公认。近年来，Jarrow等人试图用马尔可夫转移矩阵建模进而预测未来的信用等级，但最终结论的实证效果还有待进一步研究。上述的所有工作都希望可以找到一种基于历史确定性数据的机制来预测未来的变化甚至描述变化的路径，这也是每一个模拟所要面临的基本问题。从本质上讲，所有的模拟方法都在试图寻找那些过去出现的能影响未来结果的因素，这也同样适用于元胞自动机（CelluarAutomata）。CA模型是20世纪中叶由John Von Neumann提出的一种时间、空间、状态完全离散的微观仿真模型，目前已经广泛应用于交通、金融、传染病、舆论传播、创新扩散等领域。CA模型能够非常确切地描述现实中的传播现象即：个体状态受到邻居状态的影响，少数个体的状态逐步影响周围个体，以此引起了该状态的传播及扩散，因此，它非常适用于风险传递及扩散问题的仿真研究。
本文针对将微观仿真模型中的CA模型引入集团信用风险传递仿真进行了综述性的探索，尝试建立可以刻画集团间交互作用的CA模型传递规则，并将设计的CA模型进行归类和总结，一方面可以对利用CA模型进行模拟研究的思路有一个清晰的认识，另一方面也可以为未来的进一步研究指明方向。本文结构如下：首先介绍CA模型的基本概念和结构，然后建立风险传递的基本CA模型，并在基本模型的基础上建立了扩展的复合CA模型，最后讨论CA模型用于风险扩散研究的优势与不足并对未来该领域的研究进行了展望。
1.元胞自动机介绍
CA模型是一种空间、时间、状态完全离散的微观仿真模型，与传统数学模型的建模思路不同。传统数学模型基于现实中的宏观数据，通过数学语言对复杂的传递扩散过程进行抽象建立数学方程，通过求解方程得到结果，从而实现对风险传递过程的模拟及预测。CA模型不同于一般的动力学模型，不是由严格定义的方程或函数确定，而是从复杂系统的视角出发，通过一系列模型构造的规则构成。在微观层次上对所研究的具体对象进行抽象而构造元胞，通过元胞个体与其他元胞和外部环境的交互作用，使得整个系统不断的更新与演变，进而得到宏观的结果，是一种自下而上的研究方法。
从结构上看，元胞自动机由元胞空间、元胞、元胞状态集、邻居和演化规则组成，可用以下四元组表示为。为一个元胞自动机；代表元胞空间（指空间维数），它是一种离散的空间网格集合，现有研究主要集中在一维和二维的情形；元胞是元胞自动机的基本单元，分布在元胞空间的网格点上，是演化模型中的模拟对象；表示元胞的状态空间，是一个有限的状态集；表示一个元胞的邻域，是对中心元胞下一时刻的状态值产生影响的元胞集合。在一维元胞自动机中通常以半径来确定邻居：距离中心元胞在之内的元胞被认为是中心元胞的邻居；二维元胞自动机的邻居定义相对复杂一些，但常用的主要是以下几种形式。
（1）Von.Neumann型 （2）Moore型 （3）扩展的Moore型
是元胞的状态转换函数，它表示了一个中心元胞的邻居状态到中心元胞下一时刻状态的局部演化规则，它取决元胞邻居的定义、状态等。
2.集团信用风险传递的CA模型
一般的，对于给定的企业集团，假设其由企业组成，各企业之间具有交互关系和相互影响，实际上这种相互的作用在不同的层面上可以表现出不同的特征，如超额利润纽带（Khanna &； Palepu，2000）、声誉分享（Barney，1991）等。然而，本文并不希望从公司治理的层面展开，模型化其交互过程，而是仅仅以归一化的影响因子作为相互影响的度量。令每个元胞代表处于某个特定时间点的企业集团中一个公司的状态，进而建立规模为的二元空间网格，这里的每个元胞在二元网格中的形状为正边形，这是由于每个元胞周围有个邻居代表集团中其他公司（包括自己），进而用元胞邻居间的影响刻画企业集团内部公司一次相互作用的影响。实际上，这样的设计仅仅是为了计算的方便，二维空间的多边形元胞完全可以由多元空间网格代替，效果并无差别。对于每个元胞在时刻的状态都受其邻居在时刻的状态影响；元胞的状态集为，其中表示企业未违约，表示企业违约。实际上，元胞在特定时间点的状态就是该元胞代表的企业在随机变动下的一个实现，因此，最终的结果是统计意义下的。完成对于模型主体组成部分的确立和构建后，演化规则成为模型能否切实反映现实情况的关键。下面我们对于演化规则做进一步详细的讨论。
2.1.基于违约强度的传递规则
基于简化模型的假设，违约强度服从参数为的随机过程。则对于集团中的企业，它在时刻的违约强度为。时刻的违约强度，我们考虑元胞的传递规则直接建立在违约强度之上，则企业在时刻的违约强度受到时刻集团内所有企业的再时刻的违约强度的影响，这里的“集团内所有企业”也包括其自身，因为企业在下一时刻的状态和在此时的状态一定是相关的。另外，同时也受到集团外界环境因素的一个随即影响冲击。其具体的传递规则如下：
其中表示企业对于企业的影响；表示在时间段内，企业i所受到的外生随机冲击；方程则表示在时间段内企业受到企业积极或者是消极的影响。值得注意的是，这里的违约强度体现在元胞状态时需要转换成违约概率，而并非直接定义为元胞的特定状态，而最终的结论则是统计意义的，即在一定的仿真次数下，若在规模为的方格中，代表企业的元胞中，状态处于为1的元胞的个数为，则我们就认为在此时刻企业的违约比例为。这里实际上对于每个特定的元胞来说其是否违约是特定的模拟中是一定的，它仅仅代表企业集团在随时间的运动中，某个企业的状态定义的随机变量的一次特定的实现。重要的是，这种实现在不同的仿真中并不总是一致的，但是可以证明，上述违约比例在多次仿真中将趋于一致。
2.2.基于违约概率的违约规则
基于马尔科夫转移矩阵的思想，不是一般性地假设任一企业的信用状况有个可识别的状态，这种标准可以是信用评级，但为了刻画其一般性，我们暂时称其为“状态”。对于集团中任一企业，令其初始状态为。代表了企业处于不同状态下的概率构成的向量。在初始时刻时，整个企业集团的初始状态由各个企业初始状态构成量所确定。显然的，是一个的矩阵，记为。
通过商业银行历史数据我们可以得到企业从某一状态到另一状态的概率，其中。在0时刻，由状态转移概率构成的马尔可夫转移矩阵。同理，t时刻企业马尔可夫转移矩阵为，这里之所以描述成“t时刻企业马尔可夫转移矩阵为”是由于本文认为在不同的时刻，企业马尔可夫转移矩阵是不同的，因为对于每个特定的时刻，上一时刻t的马尔科夫转移矩阵结合[t，t+1]时间段中银行所能得到的关于企业的数据可以综合修正以得到到t+1时刻关于企业的马尔科夫转移矩阵。这种修正本文假设为是通过一种贝叶斯修正函数来完成的，即结合上一时刻到这一时刻商业银行所观测到的数据，用贝叶斯修正规则修正当前时刻的马尔可夫矩阵得到下一时刻的马尔可夫矩阵，表示为。其中是在时间段可以观察到的解释变量。故得到新的传递规则如下：
其中表示商业集团受到的外来冲击。
和2.1中模型的传递规律不同，在2.2中所建立的CA传递规则的优势是绕开了2.1中麻烦的违约强度的度量，通过易于得到的商业银行历史数据，建立马尔可夫转移矩阵。这点类似于由JP.Morgan开发CreditMetrcs模型，这种演变规律更加适用于商业预测，并为预测趋势提供了参考。更为重要的是2.2中的传递规则是基于客观观测的一个不断的随时间的修正过程，减弱了2.1中传递规则的随意性。然而，2.2的问题在于集团内部企业的相互影响几乎全部体现在观测数据的调整之中，即，而是完全基于商业银行可证实数据之上的，这样弱化了企业集团内部影响，使得结论过于保守。
2.3.复合的CA模型
基于2.2中定义的规则之上，本文在此小节将定在以下两个方向进行模式上面的延伸，从而使之更加贴近现实的描述。
（1）随机的马尔可夫转移矩阵
如同对于2.2节的总结中所言，2.2中对于集团内部企业的相互影响几乎全部体现在观测数据的调整之中，因此弱化了企业集团内部影响。为避免修正的不足，本文首先将随机化构成马尔科夫矩阵的元素。
将t时刻企业马尔可夫转移矩阵为作为新的元胞系统的元胞空间；中表示企业从某一状态到另一状态的概率作为是一个元胞；元胞的邻居为空间内其他转移概率，考虑到集团内部企业间的转移概率是相互影响的，本文将利用扩展的马尔科夫模型可以对其进行清楚的刻画；即令时刻转移概率受到时刻转移概率的影响，此时，便抽象出了第二个元胞自动机CA’，它其中每个元胞代表马尔科夫转移矩阵中的一个元素，在二维元胞描述下，每个元胞为正边形，我们同时也受到外部环境的一个随机冲击。故新元胞系统中，每个元胞因子间相互作用的演化规律为：
其中代表外来的冲击；表示因子对的影响。有趣的是这里的不同于2.1中影响因子，它具有两重意义，第一是它可以直接用2.1中的影响因子加以计算得到，同样表示企业之间的相互影响强度；另外它也可以由历史的次转移矩阵变化得到个方程联立解得。当然，一种主观的想法是综合这两重意义，使其既直接地体现企业间的影响，又能综合历史数据对其进行修正。值得注意的是由于方程中出现，意味着需要解的方程组将会是一组随机方程组并且方程组个数可以多于，一种意见是去掉随机项。本文并不建议这么做，当然我们也不建议多于 个方程的联立。因为这样将会增加波动项的作用，而实际上它并不是重要的因素。作者的建议是在解联立方程时去掉随机项，待解出以后再将随机项加入方程。
在随机马尔科夫矩阵下，我们克服了2.2传递规则的不足，同时继承了其优势，使得对于演化规则部分依赖于历史情况，起到了修正2.1中规则随意性的目的。
（2）随机的演化规律
正如本文在上述模型中所提到，在随机的马尔科夫矩阵下，我们用历史数据修正了传递规则的随意性，但是这种历史实际上是集中在一个时间点体现的，而并没有体现历史的运动轨迹对传递规则的影响。另外，在现实世界中，我们往往不能以固定的传递规则进行交互作用。为了描述经济环境的随机性，同时体现历史运动轨迹对传递规则的修正，我们假设元胞的传递规律有条，这些传递规律本身也是随机的。为了描述经济环境变化的连续性，我们假设这些规则是相互依存的，从而避免了极端变化情况的出现。这意味着我们又构建了一个新的元胞自动机CA，它其中每个元胞代表一个具体的传递规则，在二维元胞描述下，每个元胞为正边形，我们面临的困难是如何选择这些规则的演变规律来说明经济环境和规则之间存在这种相互依存而又模糊的随机性。
