“但如果他们考虑到，科学不过是人类智慧的一种产物，它注定了去研究和探索真理，而不是发现和认识真理，那他们就不至于大惊小怪了。事实上，如果有足够深邃的智慧，能够立即掌握到不仅是我们已知的东西，而且是各种各样一般的数学真理的全部总和，那么就有可能借助某些普遍原理中的同样方法，合乎逻辑地、又似乎机械地引申出这些真理。这样，科学家的任务就更加艰巨了。科学的发展是比较不平衡的，因为它要通过一系列的配合才能得到发展，而在配合之中，偶然性所起的作用远非微不足道的；科学的生命是混沌一团的，它好比由于矿层的毗连而相互交错的矿物。这种情况不仅适用于由众多科学家的工作成果所构成的整个科学界，而且也适用于其中每一个科学家的单独研究工作。分析家们用不着欺骗自己，因为他们并不是在演绎真理，而是在进行组合；他们领会真理是徘徊于左右之间的。”
虽然伽罗瓦的科学活动惊人的短促，但他的研究成果是辉煌的。他的著作，标志着数学前史的结束和数学史的开始。
在伽罗瓦的著作中，所说的“把数学运算归类”指的就是群论，即从19世纪末叶开始，对数学分析、几何学、力学、物理学的发展有着巨大影响的群论。创立这个理论的荣誉属于伽罗瓦，因为他是第一个估计到这个理论对科学发展的意义的先驱。
伽罗瓦所研究的求解代数方程的问题，长期以来吸引着数学家们的注意。解方程，意即求出它的根值。在求一次和一次方程的根时很容易，但在三次方程中，就不太容易了。而伽罗瓦研究的是任意次方程，即方程的一般情况。
从实践观点来看，无论形式多么复杂的任何具体方程的解并没有任何意义。早在16世纪，数学家就已经发现，使用能确定方程根的近似值的方法较为便当。这些近似值充分满足了物理学家、化学家和工程师的需要。但对于使用字母作系数的一般方程来说，近似法是求不出它的根值的。伽罗瓦的第一个发明就在于他把这些根值的不定式的次数减低下来，确定这些根的某些特征。伽罗瓦的第二个发明就是他所使用的求得结果的方法，即他并不研究方程本身，而研究它的“群”，也就是研究它的“家族”。
“群”的概念是在伽罗瓦著作提出之前不久才出现的。但当时，它只不过像是一个没有灵魂的躯体，是偶尔出现在数学上的、人为臆断的大量概念之一。伽罗瓦的贡献不仅在于他使这个理论具有生命，还在于他以独创精神赋予这个理论以必要的完整性；伽罗瓦指出，这一理论富有成效，并且把它运用到解代数方程的具体习题上。所以，埃瓦里斯特·伽罗瓦是群论的真正创始人。
在数学科学中，“群”被看作是具有某种共同特性的对象总和，譬如奇数群（不能被2整除的数的集合），它的特性在于如果令群中的任意两个数相乘，则其积仍为奇数，如3乘3等于9，当实例从简单到复杂时，则可以选择关于某些对象的运算自身作为“对象”。在这种情况下，群的主要特征表现为任意两种运算的结合也是一种运算。伽罗瓦在分析求解的方程时，就是把某种运算群与这个方程联系起来，并证明方程的特性反映在该群的特点上。由于不同的方程可以有同一个群，所以无须研究所有的方程，只须研究与之相适应的群就可以了。这一发现标志着数学发展的现阶段的开始。
不论群是由什么“对象”——数、位移或运算——组成，这些对象都可被视为是不具有任何特征的抽象的东西。而要测定群，只须说明为了使某“对象”的总和可以称为群而应遵循的共同规则就可以了。这些规则就是群的公理，群论是依据这些公理运用逻辑总结出来的结果。这一理论在证实不断被发现的新的特性过程中得到了发展。群论为研究工作提供了新的数学工具。
人类认识的发展过程是不平衡的，有时候某一方面的进展会暂时中断。
科学也会在某个时期处于停滞之中，昏昏欲睡。科学家们从事琐碎的事情，把贫乏的思想隐藏在华丽的计算后面。19世纪初期的数学发展状况就处在停滞阶段。因为在当时，代数变换已演进得很复杂了，以致向前发展实际上成为不可能的事情了。数学家们不再能够“预见”了。因此，寻找新道路以推动科学发展就成了时代的需要。对此，伽罗瓦曾说：“在数学中，正如在任何其他科学中一样，有一些需要在这一时代求得解决的问题。这是一些吸引先进思想家思想而不以他们个人的意志和意识为转移的迫切问题。”
伽罗瓦以他的著作，开始了数学科学新的繁荣时期。群的概念的建立，使数学家们摆脱了研究大量的、各式各样的理论的繁重负担。
群论
群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了，而其理论的应用、发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的内容，建立起群论学并加以完善，从而改变了19世纪初叶数学科学发展的停滞状况，开创了新的繁荣时期。所以说，伽罗瓦对科学的重大贡献就在于他对群论的贡献。因此，要了解伽罗瓦，就必须了解群论。
1．群的重要
解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依它的次数来分类。
一次方程式ax＋b＝0的解答很容易得出，是x＝-b／a
二次方程式ax2+bx＋c＝0的解是
x=-b±b2-4ac2a
但是，三次方程式
ax3＋bx2＋cx＋d＝0
和四次方程式
ax4+bx3＋cx2＋dx＋e＝0
的解法就比解一次、二次方程式难得多了，直到16世纪才有了解法。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会解高于四次的方程式，却都相信一定是能办到的。直到19世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加的限制条件而定。譬如x+5＝3
如果允许x为负数的话，此方程可解；若限定x不能是负数，则此方程式就不能解了。同样，假如x表示分数，方程式2x+3＝10是可解的。但倘若表示人数、这个方程式就不能解了，因为x=312（人）没有意义。
再如，一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对它进行分解。如x2＋1在实数域中是不可分解的，可是在复数域却是可分的，因为x2＋1=（x+i）（x-i），其中i=-1由于一般高于四次的方程式不能用根式解，即它的根不能用有限次的有理运算（加、减、乘、除）和开方表作方程式的系数的函数，所以说高于四次的方程不能解。
2．群的内容
数学中的系统可以说是一部数学的机器，它的主要部分是元素及相对应的运算。
例如：
（a）①元素是一切整数（正整数、负整数或0）；
②运算是加法。
（b）①元素是一切有理数（可以写成两个整数的商的数，如除外）；
②运算是乘法。
（c）①元素是某几个文字（如x1、x2、x3）的置换；②运算是将一个置换跟着另一个置换。
（d）①元素是下图的旋转，转的度数是600或600的倍数；②运算是将一个旋转跟着另一个旋转。
如果这种系统能满足下列四个性质，就称为群。
图1
（1）假使两个元素用规定的运算结合时，所得的结果仍是系统中的一个元素。
例如：
在（a）中，一个整数加上另一个整数的所得还是一个整数。
在（c）中，假设有一个置换，将x1代作x2，x2代作x3，x3代作x1，即将x1、x2、x3换作x2x3x1
置换后的结果仍在原系统中。
（2）系统中必须含有主元素。主元素具有与系统中任意另一个元素结合的结果仍是那另一个元素的性质。
例如：
在（a）中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。
在（b）中，主元素是1，因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。
在（c）中，主元素是那个将x1代作x1，x2代作x2，x3代作x3的置换，因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和此旋转结合的结果仍为自身。
（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运算结合的结果是主元素。
例如：
在（a）中，3的逆元素是-3，因为3加-3的和是0。
在（b）中，a/b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。
在（c）中，将x1代作x2，x2代作x3，x3代作x1的置换的逆元素是将x2代作x1，x3代作x－2，x1代作x3的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将x2代作x2，x3代作x3，x1代作x1的置换。
在（d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个-60°的旋转（按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
（4）结合律必须成立。
例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律指
（aOb）Oc＝aO（bOc）
应用到系统（a）中，为
（3＋4）+5＝3+（4＋5）
所以结合律在（a）中能成立。
对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能决定。
3．群的重要性质
伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。
在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x1，x2，x3时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x1代作x2，x2代作x3，x3代作x1的置换，可以简单的记作（123）这个记号的意思是说：
1变作2，2变作3，3变作1
换句话说，就是
x1变作x2，x2变作x3，x3变作x1
同样，（132）则表示一个将x1变作x3，x3变作x2，x2变作x1的置换。
又如
（13）（2）或（13）
表示一个将x1代作x3，x3代作x1，x2代作x2的置换。
有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：
（1）两个偶数的和还是偶数。
（2）0是主元素。
（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正偶数。
（4）结合律成立。
所以，偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原来的群中任何元素的变形，例如设有一个元素（12），用另一个元素（123）去右乘它，再用（123）的逆元素（132）去左乘它，所得的结果是（132）（12）（123）＝（23）。
这个结果（23）就称为（12）应用（123）的变形。若仍是约群中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真的约群，若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个数去除，所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素（主元素例外）的乘幂。
如在群
1，（123），（132）
中，（123）2＝（123）（123）
＝（132）
（123）3=（123）（123）（123）=1
此群中的元素都是（123）的乘幂。这种群，称为“巡回群”。
在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群1，（123），（1），
在1中x1，变成x1，在（123）中x1变成x2，在（132）中x1变成x3所以这是一个“巡回正置换群”。
4．一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式ax3＋bx2＋cx＋d＝0，假定它的三个根x1，x2，x3是相异的。任意取一个这三个根的函数，如x1x2＋x3在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（12）一类的置换为x2x1＋x3；（13）为x3x2＋x1；（123）为x2x3＋x1。此外，还有不动置换。也就是说共有：
1，（12），（13），（23），（123），（132）六个置换，即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！
表示n（n－1）（n－2）1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出结论，在函数v1=m1x1+m2x2=m3x3+mnxn中，当x作各种可能的置换时，这函数就有n！个不同的值，用v1，v2，v3，vn！表示这些不同的值，可作出式子P（y）=（Y-v1）（Y-v2）（Y－vn！），其中Y是一个变数。
将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一数域中分解因数，包含v1而在此数域中为不可约的部分是（Y－v1）（Y－v2）或Y2－（v1＋v2）Y＋v1v2在这部分中所含的v仅有v1v2，则将v1，v2互相交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。
一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v1的不可约部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽罗瓦分解式”。
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。
明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式x2＋3x＋1=0有两个根x1，x2，可能的置换只有1和（1，2）两种。所以它的群或者含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。
以函数x1－x2为例，二次方程式
x2＋bx＋c＝0
的两根之差是
x1-x2=b2-4c
在此例中，规定b＝3，c＝1，则
x1-x2=5
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（1，2）置换。则此方程式在有理数域中的群是由1，（1，2）
两个置换做成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所以群中一切置换都不改变函数x1-x2的值，所以（1，2）不能在群中。此方程式在实数域中的群是由1一个置换做成的。
5．伽罗瓦的鉴定
伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能用根式解。
以一般二次方程
ax2+bx＋c＝0
为例，它的两个根是x1，x2它在一个含有它的系数的数域中的群之元素是1和（1，2）。这个群的唯一的极大不变真约群是1，则此群的组合因数是：2／1＝2，这是一个质数，因此，根据伽罗瓦的鉴定，凡二次方程式都是可用根式解的。
再取一般三次方程
ax3＋bx2＋cx＋d＝0
来看，因为它有三个根x1，x2，x3，所以在一个含有它的系数的数域中，它的群含有1，（1，2），（1，3），（2，3），（1，2，3），（1，3，2）六个置换。此群的唯一极大不变真约群含有1，（1，2，3），（1，3，2）三个置换。据此可知，组合因数是6／3＝2与3／1＝3，两个都是质数。所以凡三次方程式都是可用根式解的。
再看一般的四次方程式
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0
它在一个含有其系数的数域中的群元素个数是4！＝24，这个群的组合因数是：
2，3，2，2
这些都是质数，所以凡四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，含有5！个置换，其组合的因数是2与5！／2而5！／2不是质数，所以，一般的五次方程式不能用根式解。
如此，应用伽罗瓦群的理论，可以得到一个简单而有力的方法来决定一个方程式能否用根式解。
