欧氏《几何原本》吸取了泰勒斯和柏拉图的演绎证明和演绎推理，完整的体现了亚里士多德的数学逻辑思想，成为公理化方法建立演绎体系的最早典范，更是数学逻辑思维训练的最好教材。但是，它在某些方面还存在着逻辑上的缺陷，并曾经引发了数学史上著名的“第五公设试证”活动，19世纪初因此而诞生了罗巴切夫斯基几何。罗氏几何的诞生，打破了欧氏几何一统空间的观念，促进了人类对几何学广阔的领域作进一步的探讨。随后，展开了大规模的欧氏《几何原本》公理系统的逻辑修补工作。德国数学家希尔伯特，用近代的观点集修补之精华，在1879年发表了《几何基础》，提出了欧氏几何一个完整的简洁的公理系统，使欧氏几何达到了高度的抽象化、逻辑化、数学化，把公理化方法推向了现代化，建立起了一种统一的公理体系。
这也是欧氏《几何原本》对几何学发展作出的重大贡献。
欧氏《几何原本》一出世就迅速而且彻底地取代了在它之前的一切同类型著作，甚至使它们就此销声匿迹。
笛卡儿
偶然的巧遇
1596年3月31日，笛卡儿诞生在法国一个名叫拉哈耶的小城里。他出世才几天，母亲就溘然长逝，笛卡儿几乎夭折，从小体弱多病，幸亏保姆悉心照料，才得以转危为安。笛卡儿从小就十分喜欢科学，在家中，他最爱听父亲讲一些科学发明的故事，并喜欢寻根究底地问个明白。他父亲很懂儿童教育法，他见小笛卡儿体弱多病，爱沉思默想，就让他自己随心所欲去学习，不加任何限制。8岁那年，父亲便把他送到国王亨利赫四世创办的最好的学校之一——拉弗莱希学校读书。学校里功课繁重，校规很严，主要学科是神学、教会的哲学，其次也学数学。笛卡儿学习一直很用功，成绩非常的好，是学校中有名的优等生。在学校里笛卡儿结识了一些朋友，其中有一位叫梅森的同学和笛卡儿最要好。他们常常在一起散步，谈论神学和科学。
后来梅森成为有名的数论专家，而且不止一次地把笛卡儿从教会的迫害中救出来。17岁时笛卡儿毕业后，升入普瓦界大学攻读法律，接触到更多的哲学和自然科学方面的书籍，他的思考更加深入了。20岁时，他以优异的成绩获得了法学博士学位，以后去巴黎当了一名律师。
说起笛卡儿投身数学，那完全是出于一个偶然的机会。有一次迪卡尔来到荷兰南部的一个小城市布勒达，看见一群人围住路旁的一张招贴议论纷纷，他怀着一颗好奇心凑上前去。招贴是用当地的佛来米语书写的，笛卡儿一点也看不懂。不过从人们纷纷的议论中，他大致听出了这是解数学难题的一场公开挑战。笛卡儿的心里痒痒的，他非常希望能了解题目的意思！这种跃跃欲试的举动被他旁边的一位中年人发觉了，中年人用法语主动问道：“小伙子，你愿意解答这几道数学题吗？”
“我很想试一下，尊敬的先生，然而我看不懂这些文字。”
“这很容易，如果你愿意拿去解答的话，我替你翻译。”
中年人用怀疑的目光看着这位年轻的士兵，他从年轻人那明亮的双眸中似乎看到一种自信和力量，于是迅速地用法文译出了招贴上的全部内容，交给了笛卡儿。
第二天，笛卡儿兴冲冲地把答案交给了那个中年人。中年人看了笛卡儿的解答后十分惊奇：多么巧妙的解题方法，准确无误的计算，这些解答完全说明这位年轻的士兵在数学方面的造诣不浅。原来这位中年人就是当时最著名的数学家别克曼教授，笛卡儿很早就阅读过他的著作，但是一直没有机会认识他。从这以后，笛卡儿就在别克曼教授的指导下开始了对数学的研究。
伟大的创造
将代数和几何巧妙联结在一起是笛卡儿在数学上主要的杰出贡献，从而创造了解析几何这门新数学分支。
几何——这门从古希腊时代就产生并经过欧几里得总结的学科，它经过两千年来无数个数学家的不断完善，就像一座雄伟的宫殿高耸在数学王国之中。笛卡儿非常喜欢这座宫殿，在这里的每一个证明题就像一颗颗闪光的珍珠叫人爱不释手。然而笛卡儿发现，人们只能一颗颗地把这些珠子捡起，却很难用线将这些各具特色的珠子都串起来。当时的代数，由于数学家们片面地强调“形式的美和协调性”，因此被法则和公式锁得死死的，人们往往只能在狭隘的领域里徘徊。笛卡儿批评当时的代数是“一种充满混杂与晦暗，故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学。”笛卡儿主张让代数和几何中一切最美好的东西互相取长补短，于是他开始着手寻找一种能让代数和几何联结的新方法。
1619年在多瑙河畔，笛卡儿开始用大部分时间来思考他在数学领域里的新想法：是不是可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢？
要想这样做就必须找到一座能连接几何和代数的桥梁——使几何图形数值化，从而能用计算的方法加以解决。在那些日子里，笛卡儿的思维一直处于一种高度的兴奋状态。奇迹终于出现了，11月10日晚上，笛卡儿躺在床上迷迷糊糊地进入了梦乡。他梦见自己用金钥匙打开了欧几里得的数学宫殿的大门，遍地的珍珠光彩夺目。他拿起一根线刚把珠子串了起来，线突然断了，珠子撒了一地。突然，这些珠子都不见了，宫殿里顿时空旷如坪。这时，他看见窗前一只黑色的苍蝇在疾飞着，眼前留下苍蝇飞过的痕迹——一条条的斜线和各种形状的曲线。这些不正是他最近全力研究的直线和曲线吗？笛卡儿呆住了。一会儿苍蝇停住了，在眼前留下一个深深的小黑点笛卡儿从梦中惊醒过来，脑海中还不时浮现出梦中的情景，让他异常兴奋，使他难以入睡。突然，笛卡儿悟出了这其中的奥妙：苍蝇的位置不是可以由窗框两边的距离来确定吗？苍蝇疾飞时留下的痕迹不正是说明直线和曲线都可以由点的运动而产生吗？笛卡儿兴奋极了，一骨碌爬起来，拿笔计算。在他的回忆录中这样写道：“第二天，我开始懂得这一惊人发现的基本原理。”这就是他建立解析几何的重要线索。
笛卡儿用两条互相垂直并且相交于原点的数轴作为基准，将平面上的点的位置确定下来，这就是后来人们所说的笛卡儿坐标系。笛卡儿坐标系的建立，为用代数的方法研究几何而架设了桥梁。它使几何中点（P）的位置，能和有次序的两个实数（x，y）一一对应。坐标系里点的坐标连续不断地变化，在平面上的直线和曲线就可以用方程y＝f（x）来表示。
1637年笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，其中在附录《几何》部分出现了关于坐标几何，也就是现在称为解析几何的内容。虽然在今天看来还是很不完备，然而难能可贵的是他引入了一种新思想，将代数和几何巧妙地结合起来，开始了数学的一次根本性的变革。
从此，常量数学发展到变量数学，微积分也就跟着产生了。解析几何的创立，成为数学发展史中的一个转折点。正如18世纪的数学家拉格郎日说的那样：
“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用领域就不会宽广；但是当这两门科学结成伙伴时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。”的确，17世纪以后，数学的巨大发展在很大程度上应归功于笛卡儿的解析几何。它改变了科学的历史进程，也为笛卡儿赢得了巨大的荣誉。
笛卡儿当初只是企图通过解析几何来给数学引进新的方法，而他的成就却远远超过了他的期望。在当时，欧洲主要资本主义国家的工业和商业已经开始迅速发展起来。解析几何的显著优点，正在于它恰好提供了科学发展所需要的数学工具。当时的测量、航海、历法计算、天文观测、抛物运动研究和透镜设计都需要数量知识，而解析几何的出现，便可使人们把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，用数量的知识加以研究计算，从而使这些知识能更有效地为技术需要服务，推动了生产力和科学的向前发展。
以后，笛卡儿还在书信中传播了他关于解析几何的思想。与笛卡儿同时代的数学家费马，对解析几何的奠基也作出了许多贡献。他对笛卡儿的著作曾提出了许多意见和见解，从而使解析几何这门学科被越来越多的数学家所接受，并逐步完善起来。
遭受迫害
17世纪，在内乱不断，宗教传统势力异常强大的法国，笛卡儿的学说对封建王权和宗教统治行成了一种威胁。
1647年深秋的一个夜晚，在巴黎近郊，两辆马车疾驰而过。马车在教堂高大的铁栅栏大门前停了下来。一批佩带利剑的士兵押着一个面容憔悴、瘦小枯槁的老头儿走进了教堂。他就是笛卡儿。
教堂里白色的蜡烛无声地燃烧着，苍白的烛光照射在圣母玛丽亚的塑像上。在塑像前面长长的审判席上坐着一群凶神恶煞的神父。笛卡儿被押到被告席上，接受天主教会法庭对他的宣判。一个长着稀稀落落的长胡子的神父，戴着一只单眼镜，用沙哑的声音宣读了教会的判决：“笛卡儿散布异端邪说，违背教规，亵渎上帝。为纯洁教义，荡涤谬误，本庭特宣判笛卡儿所著之书全为禁书，并由本人当庭焚毁。”听到这里，笛卡儿一下愣住了。瘦削的脸上现出了沉痛而愤怒的表情。他想申辩，然而神父们根本不让他有申辩的机会，士兵们立即把他从被告席上拉了下来。
笛卡儿被推到教堂中央的火盆旁，火盆里正熊熊地燃烧着大火，就像毒蛇张开了血盆大口，好像要把他那瘦小的身躯全部吞噬下去似的。笛卡儿在火盆旁呆住了。突然，伽利略被罗马教皇迫害致死的事蓦地在他的脑海中出现。他顿时感到一阵毛骨悚然。他终于屈服了，用颤抖的手拿起一本本凝结了他毕生心血的著作，心如刀绞般地投进了火盆……笛卡儿由于在其著作中宣扬了科学，触犯了神权，因而遭到了教会的野蛮迫害。
1650年2月11日，笛卡儿这位当代伟大的学者，解析几何的奠基人终因积劳成疾在瑞典与世长辞了。
在笛卡儿死后，反动的教会对此保持沉默，只有一家比利时的报纸刊载了这件事，并讽刺地说：“在瑞典死了一个疯子。”由于教会的阻止，在巴黎只有为数不多的人参加了他的葬礼并按照教会的禁令没有为他致悼词。在他死后13年，教会还把他的书列为禁书，并规定在大学里不准讲述他的著作。
可是，这位对科学作出过巨大贡献的人却受到了广大科学家和革命者的尊敬和怀念。法国大革命后，他的遗物被送进法国历史博物馆。
