刘徽
注释《九章算术》
中国古代有很多数学难题的研究成果要比西方早好几百年，而且一直处于领先地位。我国古代数学家刘徽注释的《九章算术》就是当时的代表性著作。刘徽出生于公元3世纪（约公元225～295年），是魏晋时期一位杰出的数学家，是我国古代数学理论的奠基人。他主要是生活在三国时代的魏国。他曾从事过度量衡考校工作，研究过天文历法，还进行过野外测量，但他主要还是进行数学研究工作。他反复地学习和研究了《九章算术》。公元263年，也就是距今1700年前的时候，他就全面系统地为《九章算术》注释了10卷。在刘徽的注解中，包含了他的许多天才性创见和补充，这是他一生中取得的最大的功绩。
《九章算术》是我国算经十书中最重要的一部，也是我国流传最早的数学著作之一。他不是一个人独立完成的作品，也不是在同一个时代里完成的。
它系统地归纳了战国、秦、汉封建制从创立到巩固这一段时期内的数学成就。
现在流传的《九章算术》是刘徽的注释本。
《九章算术》是以应用问题的形式表达出来的。一共收入了246个问题，按数学性质不同共分为九章：
《九章算术》第一章“方田章”38个问题。主要介绍田亩面积的计算。
《九章算术》第二章“粟米章”46个问题。主要讲解各种比例的算法。
《九章算术》第三章“衰分章”20个问题。是讨论按比例分配的问题。
《九章算术》第四章“少广章”24个问题。是讲开平方、开立方的计算方法。
《九章算术》第五章“商功章”28个问题。是介绍各种形状的体积计算方法。
《九章算术》第六章“均输章”28个问题。是讲如何按人口数量、路途远近等条件合理安排各地的赋税及分派工役等问题的计算方法。
《九章算术》第七章“盈不足章”20个问题。是讲解算术中盈亏问题的解法及比例问题。
《九章算术》第八章“方程章”18个问题。是讲联立方程组的解法。
《九章算术》第九章“勾股章”24个问题。是讲应用勾股定理求解应用问题。
刘徽为《九章算术》作注释，不是简单地对一部古老数学专著的注解，而是把他自己的许多研究成果充实到了里边。他经过多年刻苦钻研，对《九章算术》中一些不完整的公式和定理作出了逻辑证明，对一些不是很明确的概念提出了确切而又严格的定义。他使中国古代的一部数学遗产变得更充实完整了。
刘徽对圆周率π进行了研究。他否定古人在《九章算术》中把圆周率π取作3的做法。他认为：用3表示π的值是极不精确的。“周三径一”仅是圆内接六边形的周长与圆径之比。他经过多年苦心钻研，创造出了科学的方法——割圆术。是以一尺（33厘米）为半径作圆，然后作这个圆的内接正六边形，逐倍增加边数，计算出正十二边形，正二十四边形，正四十八边形，正九十六边形，一直算到正一百九十二边形的面积，求出圆周率π＝3．141024，相当于3．14。后来人们为纪念刘徽的成就称此率为“徽率”。刘徽这种让内接正多边形边数逐倍增加，边数越多，就越和圆周贴近的思想，在当时条件下是非常不简单的。显然他当时已有了“极限”的思想。这种思想方法是后来的数学家发现数学规律后，而经常采用的方法。
刘徽的一生刚直不阿，在任何条件下都敢于发表自己的见解，敢于修正前人的错误。他在研究数学的过程中，不仅重视理论研究，而且也很注意理论联系实际。他的治学精神是大胆、谨慎、认真。他对自己还没有解答的问题，把自己感到困难的地方老老实实地写出来，留待后人去解决。
如：我国古代称球为立圆。在《九章算术》中将球的体积公式定为V＝916D3。刘徽分析了这个公式的不精确性，但他一时又解决不了。他说：“敢不厥疑以候能言者。”意思是：“我解决不了，留给以后的能人吧。”二百多年以后，祖暅继承了其父祖冲之的事业，在刘徽研究的基础上，彻底精确地解决了球体积公式。
刘徽的成就
刘徽具有高度的抽象概括能力。他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理，并解决了许多重大的理论性问题。后人把刘徽的数学成就集中起来，认为他为我国古代数学在世界上取得了十个领先，它们是：
1）他最早提出了分数除法法则。
2）他最早给出最小公倍数的严格定义。
3）他最早应用小数。
4）他最早提出非平方数开方的近似值公式。
5）他最早提出负数的定义及加法法则。
6）他最早把比例和“三数法则”结合起来。
（若a∶b＝c∶x，则x＝bca）
7）他最早提出一次方程的定义及完整解法。
8）他最早创造出割圆术，计算出圆周率即“徽率”。
9）他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式。
10）他最早创造“重差术”，解决了可望而不可即目标的测量问题。
欧几里得
言传身教
古希腊数学家欧几里得大约生于公元前325年，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著了《几何原本》而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是亚历山大学派的奠基人。早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。”他是一位温良敦厚的教育家。
另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：“学了几何学之后将能得到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：“他想在学习中获取实利。”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。
在公元前6世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前6世纪到公元前3世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一个严密完整的系统。到了公元前3世纪，已经基本形成了“古典几何”，从而使数学进入了“黄金时代”。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的人莫入”。欧几里得的《几何原本》正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的。
《几何原本》
欧氏《几何原本》对一系列公理、公设进行了推论，并以此作为全书的起点。
全书共13卷，直到现在中学几何教材的绝大部分都是欧氏《几何原本》的内容。
勾股定理在欧氏《几何原本》中的地位比较突出。在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。
据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的《几何原本》，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道：
“上帝啊，这不可能！”于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。
欧氏《几何原本》的部分内容与早期智人学派研究三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏的《几何原本》把用没有刻度的直尺画直线，用圆规画圆列为公理，限定了“尺规”作图。于是几何作图就出现了“可能”与“不可能”的情况。在这里欧几里得只给出了正三、四、五、六、十五边形的做法，加上连续地二等分弧，可以扩展到正2n、3（2n）、5（2n）、15（2n）边形。因此，我们可以想象欧几里得一定还尝试过别的正多边形的作图方法，只是没有作出来而已。所以欧氏《几何原本》问世后，正多边形作图引起了人们的极大兴趣。
欧氏《几何原本》中的比例论，是全书的最高成就。在这之前，毕达哥拉斯派也有比例论，但并不适用于不可公度的量的比，欧几里得为了摆脱这一困境，在这里叙述了欧道克索斯的比例论。定义了两个比相等即定义了比例，适用于一切可公度与不可公度的量，它挽救了毕氏学派的相似形等理论，是非常重要的成就。
据说有一位捷克斯洛伐克的牧师布尔查诺，在布拉格度假时，突然间生了病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧氏的《几何原本》，当他阅读到比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏《几何原本》的比例论。
