一、好学不倦的少年
清朝末年和民国初期，绍兴城里官办的慈善机关同仁局里，有一个忠厚老实的小职员，名叫陈心斋，娶妻鲁氏，生下七个儿女。长子取名建功，字业成，下面六个都是女孩子。对一个月薪仅只两块大洋的小职员来说，这一副生活担子是够沉重的。鲁氏夫人生就一双巧手，经常到成衣铺去取些活计来做，帮助丈夫维持生计。同仁局的业务，除施药、施棺材之外，还有小额无息贷款一项，主要给一些小贩临时解决资本短缺的困难，规定只要铺保，不取利息。陈心斋就是经管贷款的。这位洁身自好、爱惜名誉的公务员，在同仁局做事二十四个年头，从来没有一点银钱上的差错。对于这点，老先生在儿女面前常引以自豪。据说他60多岁告老以后，接任的那个职员不出一年就搞成一笔糊涂账，弄得身败名裂，陈心斋的正直从此更加为人称道。
陈建功四五岁时，父亲送他到某户人家的私塾先生那里附读，虽要花一点银钱，但不必管饭，负担可以稍轻一些。陈建功从小十分喜欢读书，有一天祖母见他发烧，不让他去上学，4岁的孩子嘴里说着：“娘娘，我要去的，我要去的。”挣脱了祖母的手，朝外就走。
跟私塾先生读书，学生的主要作业是背书，陈建功记性好，又用心，书背得特别快，学业比那户请先生的人家的孩子长进得快，惹得那家主妇很不放心，特地关照私塾先生，要等他家的孩子背熟了功课才能往下讲，她家孩子背不出时，先生不可讲授新课，于是陈建功只得时常停课等待。
读了几年私塾之后，他进了绍兴有名的蕺山书院，与历史学家范文澜同学。
蕺山书院有悠久的历史，明末清初年间，有位曾经在这个书院念过书的明朝遗臣刘念台，效法古代的伯夷、叔齐，义不食清粟，不肯当清朝顺民，绝食而亡。陈建功从绍兴县志上看到刘念台的事迹，敬仰不止，常把这个故事讲给妹妹听。抗日战争爆发的前夕，日本侵华的意图十分明显，陈建功想起了宁死不肯变节的绍兴志士刘念台，就给自己起了陈念台这样的一个别名，以明宁死不当亡国奴的志向。
蕺山书院就是后来的绍兴县立第一小学，从该校毕业后，他考入了绍兴府学堂，当时鲁迅先生就在这里教书。
陈建功读书十分专心。放学回家，他喜欢爬到自己床上去看书，年幼的妹妹们有时走进来和他捣乱，他并不斥骂她们，却想出一个改善学习条件的办法，将床脚垫高，使妹妹们够不着，无法再翻乱他的书本。有一天他坐在高高的床铺上，双脚搁在床边的一张旧茶几上，看书入了神，无意中用脚摇动茶几，一不小心将茶几踢翻在地。祖母听见声音，走进屋里问他，陈建功竟连茶几倒地也不曾发觉。
1910年，17岁的陈建功离别故乡，来到山明水秀，风景绮丽的文化名城杭州，进入杭州两级师范学校。这所学校分设初级师范和高级师范，他念的是高级师范。念高师的三年期间，他最喜爱的一门功课是数学。毕业以后怎么办？同学们有的要去北京，进师范大学深造，有的想到日本留学，将来好以科学救国，使古老的神州大地国富民强。为了国家，为了家庭，还有为了心爱的数学，使陈建功选择了出国深造的道路。
陈建功回到绍兴，一家人无不欢天喜地。父亲将儿子唤到跟前，郑重其事地对他说：“你高师毕业，可以当小学教员了，以后就帮我一道养家吧。”不料陈建功指着几个年幼的妹妹，反问父亲：“我当小学教员，叫几个妹妹都去当‘白吃饭’吗？”使做父亲的一时目瞪口呆。“白吃饭”是当时绍兴人对女童工的称呼，她们出卖廉价劳动力之后，由厂主管饭，故称“白吃饭”。要是去当小学教员，待遇当然是极低的，只够自己糊口，没有余力帮助妹妹们。出国深造，将来让妹妹们也能读书识字，有个较好的前途，这是他为家庭所作的考虑。至于为国家，为数学，他想得很多，但不好意思在父母面前高谈阔论。他只讲了为妹妹着想的几句话，便静待父母点头。陈心斋听他说得有理，不禁暗暗赞许儿子比自己目光远大。他当初不是替儿子取名建功么！看来陈家真要出一个不寻常的子孙了。“好吧，多学点本事也好。”他朝妻子望了一眼，知道她舍不得心爱的儿子，但又望子成龙，不会阻拦的。
陈心斋手里经管着公家的银钱，但却无法为儿子筹措东渡的路费，陈建功有个同学，家里在绍兴后街上开着爿绉纱店，和他家去商量，总算借到50元盘缠钱。父亲告了几天假，将儿子送到上海。然后陈建功只身由上海漂洋过海，来到了人地两疏的日本。
二、东渡扶桑
陈建功1913年来到日本。那时辛亥革命刚成功不久，中国政府把培养工程技术人员视为当务之急，故而官费留学生的名额以工科学校居多，陈建功第二年考入东京高等工业学校，取得官费待遇，每月领得的生活费用，自己只花去一部分，省下一部分逐月寄给父亲，分期还清50元盘缠钱之外，还能补贴家用，让几个妹妹可以念一点书。
他在高等工业学校学的是染色科，从大的专业范围来说，属于化工一类。但他不愿意放弃自己在数学方面的志趣，又考进了一所夜校——东京物理学校。
同时读两所学校，白天学化工，夜晚念数学、物理，除去上课，还要做大量的习题，学习是何等紧张！连吃饭的时间都不得不尽量缩短，为了节约时间和节省开支，他时常啃糯米团充饥，久而久之，牙齿蛀坏了好几个。
这样的岁月过了好几年，除了学得理、工两方面的知识和技能之外，他更学会了珍惜时间。后来回到祖国，看到有些人办事不知讲究效率，常感慨说：“这些人真会浪费时间，只知道东西值钱，不知道时间宝贵，实际上时间最宝贵。”待到当了教授以后，他最不爱听学生叫嚷“时间不够”，他说：“根本没有‘时间不够’这回事，是自己不抓紧。”时间对陈建功来说实在太宝贵了，他非但善于抓紧时间，养成了高速度、高效率的工作习惯，而且连小说、电影也视作一种耗费时间的因素而避之惟恐不及。
他一生看的电影是屈指可数的。外国电影只看过卓别林的片子；中国电影中，欣赏的是《林则徐》、《聂耳》、《甲午风云》和《十五贯》。他常说，小说都是编造出来的，“看看（小说或电影）还不如我想想（数学问题）好。”
来到日本的第5年，1918年陈建功从高等工业学校毕业，1919年春天又毕业于东京物理学校。在异国的6年中，他学业突飞猛进，但耳闻目睹中国人在国外受人歧视，心头郁结着疾愤。
陈建功从小爱读历史，在远离祖国的日子里，他时常想念着隔海相望的神州故土。祖国有过灿烂的文化，科学上岂能长期落后于人，他相信，中国一定会繁荣富强起来，他愿意为此献出自己的一份力量。1919年他学成归国，到浙江大学工学院的前身，浙江甲种工业学校教书，教的是染织工业方面的课程，作家夏衍那时候是他班上的一名学生。陈建功业余时间继续钻研数学，负责指导一个数学兴趣小组。
1920年陈建功离别新婚妻子，第二次到日本留学。
他来到日本仙台，考进日本东北帝国大学数学系。大学一年级时，他在日本发表了第一篇论文，登载在日本《东北数学杂志》上。据数学家苏步青先生在《陈建功先生数学论文选集序言》中介绍，这是“一篇具有重要意义的创造性著作，无论在时间上或在质量上，都标志着中国现代数学的兴起。”中国数学史上，正式在外国发表学术论文者，第一位是留美的胡明复，第二位就是留日的陈建功，两人的论文发表的日期相隔不远。从这时候开始，陈建功成了一位在日本十分引人注目的中国留学生。
1923年他从日本东北帝国大学毕业，回国后在浙江工业专门学校教数学，翌年应聘到国立武昌大学担任数学教授。
1926年他第3次东渡，到日本东北帝国大学去做研究生，在导师藤原松三郎指导下研究三角级数论。
纯数学过去长期以来习惯上分成三个方面：分析数学、几何学、代数学。这当然不能包括全部纯数学，但是可以概括大部分。分析数学主要研究函数以及函数概念的进一步扩展后的有关概念。函数论是分析数学中最重要的基础之一。陈建功毕生的精力就用在研究函数论方面。
他在日本做研究生的时候，就发表了许多数学论文。他曾致力的研究工作，跨越了数学中的不少分支。
在三角级数理论的早期发展中，主要研究对象是富里埃级数的收敛与求和问题。研究这类问题的目的，是从理论上弄清怎样可以把函数表示为三角级数。陈建功年轻时代的主要工作就属于这个领域。例如，他研究了如何刻划一个函数能用绝对收敛的三角级数来表示的问题。当时，这类问题是世界上许多第一流数学家极力企图解决的问题。1928年，陈建功和当代最著名的数学家黎斯、哈代以及李特伍特等各自独立地解决了这个问题。陈建功证明了这类函数就是所谓的杨氏（Young）卷积函数。陈建功的论文发表在日本帝国科学院1928年的院刊上。同年，哈代和李特伍特的论文在英国伦敦数学会的会刊上发表。这样重要的定理，理应称为陈建功定理或陈建功—黎斯—哈代—李特伍特定理，可是遗憾得很，由于当时西方蔑视东方被压迫民族的科研成果，这样的命名是不可想象的！
陈建功对于直交级数的研究也得到了很深刻的成果。大家知道，当代著名数学家孟孝夫、拉特玛哈以及卡子玛茨等都是这一领域中的权威人士，而陈建功又把他们各自得到的一些理论归结为另一条基本定理，证明了它们之间是完全等价的。
在日本期间，陈建功飞速地前进着。他仅用了两年多的时间，就取得了一系列重要的研究成果。他把这些成果分别用英文写成十多篇论文，发表在日本的几种数学学报上。就是这些工作奠定了他取得理学博士学位的基础。
1929年，他把两年多的研究成果加以综合，写出了自己的博士论文，取得了博士学位。他的成就不但惊动了当时的日本舆论界，而且使藤原教授引以自豪。据周建人同志回忆，有位朋友曾经告诉他。在日本学者专为庆祝陈建功博士的成就而召开的一次大会上，藤原教授发言说：“我一生以教书为业，没有多大成就，不过，我有一个中国学生，名叫陈建功，这是我一生最大的光荣。”藤原教授多年来苦于自己专业领域内日文著作的匮乏，只能采用英文原著作教材给研究生上课，此刻看到自己的中国学生有了造诣，便要求陈建功用日文撰写一部《三角级数论》。陈建功以自己一贯的风格，高速度、高效率地完成了这部专著。书中反映了当时的国际最新成就，其中也包括了他自己的研究成果。一年后这部著作由日本东京岩波书店印行，成了当时函数论方面的一部重要著作。函数论方面的专门术语，日本人过去无论讲课、做报告，还是写论文，一直采用英文字眼，陈建功撰写这部日文著作时，为创造日文术语颇费了一番心血，他当年首创的不少日文术语至今仍在沿用。
三角级数论方面的重要研究成果，当时国际上公认难于夺得的日本理学博士学位，再加上颇有份量的专著，这都是陈建功为祖国争光所作出的贡献。再借用苏步青在《陈建功先生数学论文选集序言》里的一句话，“长期被外国人污蔑为‘劣等人种’的中华民族，竟然出了陈建功这样一个数学家，无怪乎当时举世赞叹与惊奇。”
这样一位才华横溢的优秀数学家，藤原教授当然是舍不得放走的，他暗暗希望陈建功能长期留在自己的身边。科学无国界，在日本不是同样能够研究数学么！而且条件比中国好。陈建功到老师家中交出《三角级数论》手稿的那天，藤原夫人像往常一样，按照日本妇女的习惯，恭恭敬敬地跪在塌塌米上奉上一杯清茶。藤原教授笑盈盈地望着陈建功，心里说不出的高兴。不料陈建功说出一句话来，使老先生大吃一惊。“先生，我是来向您告辞的，过几天就要回国去了。”陈建功终于说出久已埋藏心底的决定，不觉松了一口气，但他十分明白老师的心意，所以语调格外柔和，希望取得老师谅解。
“为什么要走？”老师开始耐心地开导他。这个学生已经在三角级数的研究方面取得了十分重大的成就，如果留在东北帝大研究院，继续研究数学，前途是无可限量的。“在我们日本，获得理学博士学位相当难，这点你是知道的。你在日本数学界有了这样的声望和地位，还愁将来没有灿烂的前程吗？”
教授还说了许许多多坚决挽留的话，断言留在日本对陈建功有利。“先生，谢谢您的美意。我来求学，是为了我的国家，也为了家里的亲人，并非为我自己。”短短的几句话，道出了陈建功不可动摇的决心。陈建功是一位富有成就的数学家，但他首先是个热情的爱国者，在他看来，一个人的学问绝不是他个人的私产，而应当是为国家为人民效力的本领。东渡日本求学的目的本来是“科学救国”，岂能为个人打算而忘却急待振兴的祖国？祖国既然贫弱，出外求学的儿子，正该以报国为己任！他终于辞别老师，登上一艘西行的客轮，离开了求学12年的异乡。轮船朝着他昼夜思念的祖国大陆驶去，陈建功望着汹涌的海涛，心潮澎湃，涌起了一股美好的愿望：中国需要人才，哪怕自己今后少出一些成果，也要为国家多多培养数学人才。
三、选择浙江大学
陈建功博士从海外归来的消息很快就在各所高等院校传开了。北京大学、武汉大学、浙江大学一齐寄来聘书，争聘陈建功博士去当数学教授。论待遇，前面两所大学的月薪高，浙江大学低一些；论研究条件，北大和武大历史久，藏书多，条件比浙江大学优越。研究物理、化学、生物学都需要借助实验设备，而研究数学，专业书籍和杂志最为重要。故而数学系的图书馆，作用简直与物理系的实验室不相上下。藏书多少绝非一件小事。陈建功在绍兴接到三份聘书，婉言谢绝了前面两所大学，决定赴浙大任教。
