由于是同一物体，同一恒力，因此左右两式必须同时成立，则必定有关系式：
B1i=k′B2i(1mi)。
式中k′是个比例常数。所以有综合关系式：
ai=k′B2i(1mi)Fi或者Fi=kmiai。
k(=1/k′B2i)为综合关系式的常数，它与其他量也有关，例如与mi、ai和Fi的单位选取以及其他有关。由于mi是任意物体，为了书写方便，相应的下角i都去掉了，同此F、m、a二者间的关系写成：
F=kma。
由以上举例分析可以看到，研究两个变量间的关系是最基本和很重要的多变量关系的研究除了上述综合法之外，还有多元回归分析法，这在下一讲中略有介绍，详细内容参阅有关统计方法的书籍，如科学出版社“多元分析”(〔英〕M肯德尔着)。
研究变量间的关系还可求得有关参数，例如物体的长度与温度存在线性关系：l=l0(1+at)=l0+l0a·t。从建立的线性关系中求得物体在0℃时的长度l0和它的线胀系数。具体方法如下：
取温度为自变量，并以t(横坐标)轴取数，长度为因变量，以l(纵坐标)轴取数。将实验测量到的数组(ti，li)Vi=1，2，…n在坐标里描点显示出来，最后可得到如图2所示的图线。直线在l轴上的截距OD(=l0)就是0℃时的物体长度，斜率tga=ABAB=L0a(对照公式l=l0+l0at)，由于l0从OD中已算出其值，所以线胀系数根据a=ABAC·l0计算出来。
又例如电池的输出电压与输出电流存在线性关系：
v=ε-Ιr0按照相同的方法可以求得电池的电动势ε和它的电阻r。
如果研究的两个变量事先不知道它们间的关系，则可先作图了解变量间的大致函数关系。如果是线性关系可求出直线的截距和斜率。如果不是线性关系可查阅数学手册人民教育出版社《数学手册》编写组的“数学手册”P842可化直线型的常用曲线类型。中与实验曲线相像的曲线及其相对应的函数式。为了确定函数式中的有关参数。
将非线性函数式变换成线性关系，即f(x，y)=0中的x→ξ，y→η，f(x，y)=0→η=A+Bξ，f(x，y)=0是变量x与变量y非线性函数式，η与ξ是线性关系，A和B是直线的截距和斜率。
然后将线性关系η=A+Bξ反变换成原来的非线性关系，由已知的A、B确定非线性函数式中的有关参数。如弹簧振子的周期公式T=2πmR(式中m是振子质量，k是弹簧的倔强系数，并且振子质量远大于弹簧的质量)，假定事先不知道上述关系，我们根据实验数据，用作图方法不仅可推出周期公式而且可获得弹簧的k值。具体过程如下：首先做实验，测量振子质量和振动周期值。
其次取m为横坐标，T为纵坐标，根据上表数据描点并连成一条m～T间不存在线性关系，查数学手册与它线形状比较，如图3所示。由曲线可知，m与T形状比较，应该属于T=amb(a＞0)型曲线，式中a和b都是待定的常数。如果上式两边取对数，可得到lnT=lna+blnm，令ξ=lnm，η=lnT，上式变为η=lna+bξ=A+Bξ，(A=lna，B=b)。
如果作ξ～η曲线即lm～lnT曲线一定是一条斜率为B，截距为A的直线，如图4所示。如果不是直线，说明关系T=amb找得不合适。根据直线可确定B和A，因此，b=084=05，a=eA=e-23=0103=010，所以振动周期T=amb=010m05=010m。
为了与理论上的弹簧振子的振动周期公式的形式取得统一，T与m也可写成：T=020Km，则要求020K=010或者k=40(克/厘米)如果质量单位为克，倔强系数单位为：克·厘米-1则T=020m/k。
根据虎克定律测到这个弹簧的倔强系数为43(克/厘米)，因此上式中的k可认为就是弹簧的倔强系数，从而推导了周期公式。
作图还可帮助我们寻找实验的最佳条件，以后通过具体的实验作有关的说明和应用。
作图的基本要求
根据上面的讨论可以知道正确作图的重要意义，为了得到应有的实验结果必须注意不能因作图而丢失实验的精确度。如果作图恰当还能进行正确的数据处理，剔除粗大误差提高结果的精确性，同时可得到许多物理规律供我们进一步分析和研究。综上所述，作图必须注意下面几个基本要求：
(1)确定自变量和因变量。通常测量精度较高，有效数字位数较多的变量为自变量，如果两个变量有效数字位数相同，则可根据容易变更的变量或习惯使用的变量为自变量。
(2)根据变量的有效数字位数或者绝对误差定出坐标轴最小分度，保证坐标格子上的读数(不包括坐标最小格子间的估计数)应与仪器最小分度的读数取得一致。如果嫌坐标分度太细，按上述要求图纸太小，则可适当取得大些，如放大十倍，但在坐标纸上最好应该画出测量值的最小分度，如图5所示的△x和△y表示了误差的范围。
(3)画出坐标轴，标出有关的分度值，注意有效数字不能随意增减。画好坐标轴箭头，写上变量符号和单位。
(4)根据实验数据在坐标图纸上点出相应的测量点，通过测量点中心画出各种需要的记号，加⊙×⊙‖△·。对于同一条曲线的诸测量点，通常用一种记号表示，以致区别另外的曲线。最后连成一条“光滑”曲线。“光滑”的数学意义就是一阶导数连续，物理意义是物理量变化没有突变或畸变，这对于宏观物理是适用的。注意光滑曲线不一定要通过每个测量点，应该通过测量点分布的过重心线。
(5)写好曲线的名称和有关的说明。
中学物理实验的系统误差及其消除方法
假定测量值为x，测量值的真值为a，比测量值准确度更高的值为x0，则x-a或者x-x0。
就是测量值x的系统误差。用δx(=x-a或者x-x0)表示。
系统误差有一个非常重要的特征，就是其值是恒定不变的，或者是遵循一定的(不是随机)规律。这是因为产生系统误差的原因是单一的或者少数的显着因素在测量中干扰了实验的准确性形成系统误差。如果干扰的因素较多，各因素又相互独立地影响着实验，而这些因素综合作用的结果，往往使测量值随机地上下波动。由于系统误差在多次重复测量中是不会随机变化的，因此靠多次重复用偶然误差的处理方法是不能消除的，只能根据产生系统误差的原因，采取相应的措施和方法尽可能地消除。华东师范大学杨介信老师提出了几种消除误差的常用方法，并结合具体例子作了说明。
系统误差产生原因分析
(1)仪器和量具的不准确
这是很容易理解的。例如，米尺的零刻度线端由于磨损，导致长度测量值的不准确；天平的砝码由于腐蚀等原因，造成标定质量有较大的偏离，因而称衡的结果也是不准的；电流表内的永久磁铁，由于退磁，引起表的灵敏度降低，进行度量时，指示的电流值就不准。这些说明了仪器和量具在各种确定的因素影响下，准确度会降低，如果低到规定的级别要求，就不宜使用了。平时应该妥善维护，各种定量仪器和量具都应该有规定的准确度，按一定的要求定期校正和检查。使用时必须遵守操作规程，避免破坏性地使用以致降低它的寿命。这就要求实验室的管理和实验人员对工作认真负责，有一定的业务能力，从而保证实验的准确性，使实验室有较高的科学水平。
(2)实验装置不良，加工精度不够要求
在物理实验中有许多实验装置都是自己组合和制造的仪器凑合起来的，不免会产生各种固定或先天的不足。
滑线式电桥测量待测电阻的部分装置，图中量度电阻丝长度的米尺(米尺长为L)与电阻丝不可能完全一样长，AC≠L)实际上，AC=l1+L+l2(虽则l1、l2往往是很微小)。
因此电桥平衡时待测电阻值Rx不能用Rx=R2xL-x，(1)计算，而应写成。
Rx0=R2x+l1L-x+l2(2)如果以(1)式计算，则Rx的系统误差为δRx=Rx-Rx0，或者δRxRx0=Rx-Rx0Rx0×100%。
我们对Rx0表示式进行如下的变换和处理，Rx0=R2x+l1L-x+l2=R2x(1+l1x)〖〗(L-x)(1+l2L-X)。
对照(1)式，得Rx0=Rx1+l1/x1+l2/(L-x)所以Rx=Rx01+l2/(L-x)1+l1/x=Rx0〔1+l2/(L-x)〕·11+l1/x通常滑线式电桥由于装配误差总能满足：
l1x和l2L-x。根据无穷递降等比级数的求和公式11+l1/x=1-l1x+(l1x)2…当公比小于1时可取一级近似，Rx的表示式即可写成：
Rx=Rx0〔1+l2/(L-x)〕(1-l1x)=Rx0(1-l1x+l2L-x)〔略去l2/(L-x)×(l1/x)〕因此Rx-Rx0Rx=-l1x+l2L-x。
即δRxRx0=(-l1x+l2L-x)×100%(3)当计及米尺与电阻丝的不等长而产生的系统误差时，其大小可以根据(3)式计算。由(3)式可见，如果尽可能使l1=l2，又以x=L/2处为平衡点，系统误差可减至很小，接近于零。
如果能知道l1和l2值，则可根据Rx0=Rxx+l1L-x+l2，直接算出准确的待测电阻值。如何测量出l1和l2的值呢？为了求得l1和l2，先用标准电阻分别接到Rx和R2的位置，其值分别用Rm和Rn，调节滑动端D的位置使电桥处于平衡，则有关系式RmRn=x+l1L-x+l2=k，化简后可得到：
l1-kl2=k(L-x)-x(4)式中k(=RmRn)为常数，实验时不能改变。将Rm与Rn位置对调，其植不变。改变滑动端D的位置使电桥第二次平衡，令AD的距离为l1+y，则CD=L-y+l2；所以有关系式化简后可得到：
RnRm=y+l1L-y+l2=1k，l1-l2=L-y-ky(5)解(4)和(5)两个方程，得到l1和l2的计算公式。
l1=ky-x1-k，l2=k(L-x)-(L-y)1-k。
一旦确定了l1和l2值后，一般不会再变化，因此计算Rx0是非常方便的。
(3)测量者本身的因素
如果测量者本身的感觉或者测量方法有一定的欠缺，得到的测量结果势必是欠准确的。例如测量单摆的摆动次数，很多同学都是以“l”作为起始的计数值，如图2所示，A同学计数以“0”开始，计算摆动周期是准确的，而B同学计算以“1”起是错误的。又如读数时没有养成准确的良好习惯，基于心理和生理的影响，读到的数据始终偏大或者偏小，产生了系统误差。这些都是实验技术不熟练又没有及时加以正确的指导造成的。所以实验时一方面动脑筋想办法，尽可能以最高的精确度获得数据，另一方面经常交流和讨论实验中出现的各种现象和问题，达到分清正确与错误，防止操作中的各种盲目行动；最后消除和减小测量者本身造成的系统误差。
(4)条件不具备、环境发生变化实验时为了求得较可靠和更准确的测量方法，常希望在最佳实验条件下工作。如果实验条件不能满足，或者满足程度不够要求，最佳条件下的公式成为近似的和欠准确了。
例如电桥平衡时，待测电阻可根据R2=R4R3×R2计算得到。根据前面第三讲对实验偶然误差的讨论，电桥使用的最佳条件是R4=R3(即当R4=R3时，则Rx=R2)。如果实验时，这个最佳条件并不满足，即R3与R4并不相等，若仍采用Rx=R2，显然是错误的。其错误的程度，可作以下估算。
令R3=R4+δ，式中δ(=R3-R4)就是R3与R4的相异值，根据准确公式：
Rx0=R4R3R2=R4R4+δR2因此R2=R4+δR4Rx0(6)根据近似公式Rx=R2，(6)式改写成：
R2=(1+δR4)Rx0所以δRxRx0=Rx-Rx0Rx0=δR4×100%不难看到，R4与R3相差值是它们值的多少倍，待测值的系统误差相对值就是多少倍。
(5)运用或者参照的公式有近似性无论运用或者参照哪一个公式，采用什么方法，都是不是绝对准确的。平时所谈及的准确指的是系统误差小于偶然误差。当测量精密度提高时偶然误差小于系统误差的情况也会出现，本来认为是准确的实验测量或验证变为不准确了，这就要求取用更准确些的公式和方式以提高实验的准确度。
在中学物理实验中，为了保证验证的物理规律正确，帮助学生建立正确的物理思想和方法，不要过高地追求测量的精密度。在了解和掌握了基本的物理规律之后，可不断提高精密度，由于它的提高一定会出现本来正确的物理规律变得欠准确或者近似了，甚至会出现没有遇到过的现象，这要求我们进一步分析和研究，提出各种行之有效的方法进行试验使实验的准确度进一步提高。每改进一次，准确度提高一步，我们对物理规律的认识就深入一些。只有在不断发现问题，提出正确的改进的意见，实现科学试验，才能使物理学向前发展，同时培养了我们的能力，发展了智力，因此这也是学习物理的基本方法。
以上我们简要地讨论了产生系统误差的几种主要原因，根据这些原因，采取适当的措施和方法是可以消除的。而且前人已经在大量的实验工作中累积了许多消除系统误差的几种基本方法。
减小实验误差的几种常用方法
减少环境误差
检查仪器的使用条件是否得到满足，如温度、压力是否符合要求，电磁场或光线有无干扰等，以及仪器设备使用状态是否满足设计要求，如水平、铅直、拉伸等状态是否调整好，光学仪器透镜器件等有否调整到共轴等高，电源电压供给是否达到要求值等。
相对测量法
相对测量法是利用已知其精确数据的标准样品，在同样条件下与待测样品进行对比实验，这样做可以消去一些已知或未知的系统误差。光谱分析中，把样品的光谱、色度与标准谱、标准色相比较，从而找出样品的成分就是这种方法。
直接替代法
直接替代法是直截了当地测定物理量的方法，如用天平测定质量，图(a)中，待测物A与平衡物B在天平上平衡。图(b)中，将砝码W替代A，重新达到平衡，W的质量即A的质量。不论天平等臂与否都可用。直接替代法的测量精确程度，取决于作为标准元件的准确度以及指示部件的分辨灵敏度。
交替测量法
把测量对象的位置相互交替，是交替测量方法中的一种。使用等臂天平的复称法也是位置的交替，以此消除天平的不等臂误差，M=M1M2，当M1≈M2时，M≈12(M1+M2)。将测量反向进行也是交替测量的一种，常见的反向操作有升温、降温，增大、减少电流，增强、减弱磁场，增、减外力，增、减亮度等，这种操作方法有利于消除一部分误差。
补偿法
在验证牛顿第二定律这个实验中，为了补偿小车在木板上受到的阻力，在实验前将木板略微倾斜，使小车在不受拉力牵引时能在长木板上做匀速直线运动。
在用混合法测物质比热这个实验中，为了补偿损失的热量，常将平衡温度选择在环境温度以下。
1687年，牛顿为了解决两个悬挂球在平衡位置碰撞之前，从某一高度向下摆动时空气阻力的影响，采取了补偿的方法，将球多拉开一段距离。
动态操作法
