串、并联电路的两个结论与比较法测电阻
结论1：两个电阻R1、R2串联按在一恒定的电压U两端，用一内阻为RV的伏特表分别去测量R1、R2两端的电压，读数分别为U1、U2，则：U1/U2=R1/R2。
当伏特表并联在R1两端，由串联电路的分压原理有：
(R1RVR1+RV)/R2=U1(U-U1)令：R1/R2=a，由合比定理有：
aRV/［R1+(a+1)RV］=U1/U①同理，当伏特表并联在R2两端时有：
RV/［R1+(a+1)RV］=U2/U②由①/②得证：a=U1/U2=R1/R2。
结论2：两个电阻R1、R2并联接在一电流恒为I的电路中，用一内阻RA的安培表分别去测量流过R1、R2中的电流，读数分别为I1、I2，则I1/I2=R2/R1。
当安培表与R1串联时，由并联电路的分流原理有：I1=R2I/(R1+R2-RA)③同理，当安培表与R2串联时有：
I2=R1I/(R1+R2+RA)④由③/④得证：I1/I2=R2/R1从上述两个结论可知，只要保证测量电路两端的电压U(或电流I)一定，用比较法测量电阻Rx的值，其测量结果与伏特表(或安培表)的内阻无关。
按上述线路连线，当把○V1(或○A1)分别与Rx、R并联(或串联)时，调节滑动变阻器，使○V1(或○A1)的读数不变，就可保证上述实验条件：测量电路两端的电压(或电流)一定，这样就可减少伏特表(或安培表)内阻对实验结果的影响，从而提高实验结果的准确性。
补偿法测电阻的实验设计
“全国中学生物理竞赛”分理论和实验两个部分。在理论方面，已引起了我们各级教练的足够重视，知识培训、思维训练，各类资料也相继出现了不少。但实验培训，还远远没有达到应有的重视程度。其实，实验也同理论一样，是一个日积月累的过程，需要我们教练员在平时的教学中对学生进行不断地训练，才能使学生思路开扩，才能使他们的思维水平和实验设计技巧不断地提高。这里，湖南师大附中姚自远老师介绍了自己在“补偿法测电阻”的实验设计教学中的一些做法：
实验器材(1)电源(干电池两节)，标准电池(ε=101866V)1只；(2)电阻箱R1(6转盘，精确到01Ω)，电阻箱R2(4转盘，精确到1Ω)；(3)检流表1只(有三档：5V、01V、G档)，量程为1mA的安培表1只；(4)待测电阻Rx(约为270Ω)；(5)开关1只，导线若干。
施教步骤(1)根据本实验提供的器材，先请学生设计出各种测量电路，发散思维、暴露缺陷。
(2)点评分析学生设计的电路中出现的问题，有无违背实验原则(电学实验原则有三条，即安全、精确、简洁)，从中使学生的思维水平得到提高。经过进一步启发，以获得正确的测量电路。
最为普遍的一个有问题的电路，评析如下：
伏安法测量电阻，无论是内接还是外接，都有系统误差。设计本电路的目的是用补偿法测量出Rx两端电压为ε=101866V时流过Rx的电流I，然后用Rx=ε/I计算出Rx。但是，由于安培表A的量程只有1mA，Rx上的最大电压只能是027V，所以补偿无法实现。
下面的图2、图3两个电路就是根据这一思想，克服了图1所示电路的不足而设计的。
图2电路中将串联电阻R1和Rx看做待测电阻，调节R1和R2，使标准电池的电动势刚好能补偿R1+Rx上的电压时，读出安培表A的读数I1，则Rx=ε/I1-R1。
若检流表为虚线所示连接，按照上述方法，将Rx当做已知电阻，便能同时测得安培表的内阻RA。电路补偿之所以无法实现，原因是安培表A的量程太小。电路测出安培表内阻RA的基础上，将R1与之并接，以扩大安培表的量程。安培表扩大以后的量程以5mA为宜(为什么？请读者自己思考)。调节电路中的R2，以使标准电池的电动势与Rx上的电压降达到补偿平衡，读出此时电路中的电流I2(等于5倍安培表A的示数)，则Rx=ε/I2。
上述图2、图3两个电路的设计思想是以伏安法为基础，下面图5、图6两个电路的设计思想是以比较法和替代法为基础。
学生设计的第二种有问题的电路，评析如下：
电路的设计思想与图1电路基本相同。其意图好像是用了两个限流电阻，这样便给电路加了双重保险。前述过它无法实现对Rx的电压补偿作用，同时它还暴露了设计者对电学实验设计的简洁要求的无知，有待教师在教学中不断强化。
该电路的设计也反映了学生在设计思维中出现了这样一对矛盾：一方面安培表不能测超过1mA的电流，另一方面通过Rx上的电流必须更大，才能实现电压补偿。教练员可以激化矛盾，以使学生在思维上获得突破。例如，不用安培表，就可以去掉电路对电流的限制，但同时Rx的测量就不能用伏安法了。
电路就是学生突破了这一局限以后设计出来的，它采用两次电压补偿，第一次如图中实线所示，调节R1在270Ω左右，再调节R2，以使标准电池的ε补偿Rx上的电压；第二次虚线所示，实现ε对R1上电压的补偿平衡。若在第二次补偿过程中，R1+R2的阻值始终等于第一次补偿平衡时两者之和，则电路中的总电阻不变，两次补偿平衡状态下电路中电流相等，则Rx必等于第二次补偿平衡时的R1之值。此法属比较法——在电流相等的条件下电压也相等的两直流电阻元件的阻值必相等。
更直接的比较方法是：将甲电阻用乙电阻代替，电路的运行情况不变，则甲、乙两电阻也必相等，此法属替代法。通过启发，学生设计的电路。电路的操作方法是：1合上K1、K2，调节R2，以使Rx上的端压为标准电池电动势ε所补偿；2断开K2，合上K3，维持R2不变，调节R1，使R1接入电路后也恰能为ε补偿平衡，便有Rx=R1。
所给器材中只有一个电键，接在K1位置，K2、K3靠接拆导线来实现通断。
前述几种实验方法比较典型，Rx的阻值可以直接得出或用电压与电流比给出。那么可否利用平衡电桥，抓住电路的几个特定状态建立方程，从而确定Rx之值？图7就是学生设计的电路。
电路的设计意图是：在桥路平均时，Rx两端的电压为ε，而R2/R1便是上下两路的分流比，可计算出通过Rx的电流，Rx也就可以求出。
但这一电路的设计中有一致命缺陷：补偿法要求补偿回路中没有电流通过。一旦有电流通过，标准电池两端电压便不是电动势ε，而是U=ε±Ir(何时取“+”号，何时取“-”号，读者自己思考)。I、ε、r分别表示通过电池的电流、电池的电动势及其内阻。由于内阻r未知，其端压U使无法得知。对此电路稍作改进。
利用图8电路测定Rx的具体做法是：合上开关K后，调节R1、R2使检流表G上无电流通过时，R1两端的电压就是ε，而待测电阻Rx与安培表A并联电路两端的电压为IRA，I为此时A之示数，RA为其内阻(在图2电路中已经测出)。据串联电路的分压关系有(Rx·RARx+RA)∶R1=(I·RA)∶εRx=IR1R2AεRA-IR1RA该电路要求安培表A作为一个电阻元件与Rx并联。学生都知道安培表内阻非常小，只能串联在电路中测电流，而不能与电阻并联。要解决这个问题，只要在图2电路中测出安培表的内阻RA后稍加点拨，便可使学生的思维产生飞跃，安培表是由电流表改装而成的，量程越小，所并联的分流电阻越小。本实验用的是量程为1mA的安培表，电阻可以比较大(实验测得这只表内阻RA=292Ω)。
测量电阻一直是竞赛中实验测试的重点，而测量电阻的方法又比较多，如伏安法、比较法、替代法、补偿法、半偏法等，这就要求参赛选手除有较强的动手操作能力外，还要有较强的思维能力和实验设计能力。如果我们教练员能在学生学习了这些方法的基本原理之后，用一些典型实验加以培训，让他们从中发现这些方法间的区别和联系，以及在一定条件下的相互转化，对于提高他们的物理思维水平、实验设计技能以及考场应变能力都会有很大帮助的。
欧姆表测电阻的误差估读
实验中较为精确地测量电阻值一般都使用电桥来进行，用欧姆表测电阻只是大致地估读出其数值，一般不再去考虑其读数的误差值。因此利用万用表表盘的现有刻度同时又能简洁地估读误差这一问题被搁置起来。在全国中学生物理竞赛二试实验操作竞赛的试题及相应的辅导题中，编排着大量用欧姆表测量电阻值的问题。按照“全国中学生物理竞赛内容提要”中关于误差的要求：有直读示数时的有效数字和误差”，这样在欧表上直读阻值时除了有效数字外还必须估读出其误差值，于是这一原来被搁置的问题在竞赛辅导中被重新提了出来。
杭州师范学院物理系俞达仁老师在竞赛辅导的实践中寻求并论证了一种利用万用表表盘现有刻度且能简便地估读出其误差值的方法，其论证过程所引用的理论知识也不超出中学物理知识范围，为一般中学生所能接受。
下文具体论证该种估读法。
在电压不变的情况下，若回路电阻增加一倍，则电流减为一半。欧姆表是依据这个原理制作的，因此各种(及各档)欧姆表，其原理图可简单地表为。
把欧姆表表笔短路，调节限流电阻R使表针指到满标度，则电路中的电流为I=εRx①式中Rz=R+r+RM′，称为欧姆表的综合内阻，r为干电池的内阻。此时通过表头的电流是满偏电流值为Ig=R2R2+RMI=εR2R2(R2+RM)。②R2为与表头并联的标准电阻，RM为表头的内阻。
若在表笔间串联被测电阻Rx，则电路中的电流降为Ix，此时Ix=εRx+Rz③而此时通过表头的电流为Ix′=R2R2+RMIx=εR2(Rx+Rz)(R2+RM)④∴△Ix′=εR2△Rx(R2+RM)(Rx+Rz)2⑤上式中△Ix′可表示为进行电阻测量时通过表头电流强度示值的最大可能绝对误差，则最大值用误差为m=△Ix′Ig·100%⑥按国家标准“电测量指示仪表通用技术条件”规定，用引用误差表示基本误差时电表即分为七级，计有K=01，02，05，10，15，25，50等级数。m=K%=05%，便称该表为05级，K为电表等级数，每只万用电表的表盘上都会具体地标明该表头的等级数。从而(6)式又可表示为△Ix′=Igm=Ig·K%⑦由(5)式可得△Rx=△Ix′·(R2+RM)(Rx+Rz)2εR2⑧将(2)、(7)二式代入(8)式可得△Rx=K·%(Rz+RxRz)2⑨设N为所使用的万用表电流档满偏格数，n为使用该万用表测电阻Rx时表针偏转的格数，则有Ix′=IgN·n⑩由(4)、(10)两式可得IgN·n=εR2(Rx+Rz)(R2+RM)将(2)式代入(11)式可得Rz=nRxN-n将(12)式代入(9)式可得△Rx=K·%·N2(N-n)nRx(13)式即是欧姆表测电阻时，最大误差值的估读公式。
图2为一实际测电阻中的表针偏转及表盘刻度的示意图，使用的欧姆档为“R×10”，此时从表上能直读的示数R为13×102Ω，n为25。从表盘上所示的符号“25”可知，该表为25级，将该组数据代入(13)式可得△Rx=25%1002(100-25)·25·13×102=017×102Ω。
因此，被测电阻的阻值为R=(13±02)×102Ω。
充分利用中学实验室器材测电阻
测电阻方法很多，精确度也越来越高。中学教材中介绍的测电阻的方法是伏安法。教材之所以介绍这种测电阻的方法，主要是考虑到用伏安法测电阻所需物理知识和学生所掌握的知识是一致的。用伏安法测出的电阻值的有些误差可用学生掌握的知识来说明。由于中学所用仪器一般是不很精密的，有些影响实验结果的因素也未加以考虑，加上我们做实验的经验还不足，所以实际做实验时产生的误差远比理论上讲得大。那么利用中学其他仪器还有没有测电阻的方法，在学生实际测量时所产生的误差，跟用伏安法测量时所产生的实际误差相差不多的实验方法呢？答案是肯定的。苏州市第六中学谢继军老师介绍了几种中学实验室器材十分充足的测电阻的方法。
实验方法Ⅰ
(1)实验电路
(2)实验原理串联分压原理U1∶U2=R1∶R2(3)实验步骤1闭合电键K、K1，读出电压值U1；2闭合电键K，打开K1，读出电压值U2。
待测电阻表达式Rx=U1-U2U2R0式中R0为阻值已知的定值线绕电阻(下同)。
实验方法Ⅱ
(1)实验电路
(2)实验原理
并联分流原理I1∶I2=1R1∶1R2(3)实验步骤①闭合电键、K1，读出电流值I1；②闭合电键K，打开电键K1，读出电流值I2。
待测电阻表达式Rx=I1-I2I2R0实验方法Ⅲ
(1)实验电路
(2)实验步骤
①闭合电键K，将滑动变阻器的滑片P移到A端，读出电压表示数U1；②闭合电键K，将滑动变阻器滑片P移到B端，读出电压表示数U2。
待测电阻表达式Rx=U2U1-U2R′式中R′为滑动变阻器的最大阻值(下同)。
实验方法Ⅳ
(1)实验电路
(2)实验原理
串联分压原理U1∶U2=R1∶R2(3)实验步骤
①闭合电键K、K1，读出电压值U1；②闭合电键K，打开K1，读出电压值U2。
待测电阻表达式Rx=U1-U2U2R0式中R0为阻值已知的定值线绕电阻(下同)。
用上述几种方法测电阻，不仅充分利用了中学实验室的仪器设备，能提高学生实验能力，开发学生在伏特表安培表不齐全情况下创造思维能力。同时还能进一步加深对所学电学知识理解，提高电学教学质量。
从理论上讲上述几种测电阻方法所产生的误差比用伏安法测电阻所产生的误差要大，但由于在前面我们已讲过由于中学仪器本身精度局限性，实际上用不同方法测出的电阻值误差不多。根据中学生掌握的电学知识，还可从其他电学概念求出电阻值并用实验方法测量之。由于误差大，所以不进行讨论。
下表列出的是用上述四种方法测出的电阻值和用伏安法测出的电阻值数据的比较。
表中伏安法测电阻所用电路。
实验时所用器材为待测线绕电阻J235815A499Ω(25℃)，定值线绕电阻J23581A1001Ω(25℃)，JD-A型安培表，JD-V型伏特表，滑动变阻器最大阻值5495Ω(25℃)。
实验方法实验次数
电压值电流值
U1/VU2/VI1/AI2/A待测电阻值Rx/Ω电阻平均值Rx/ΩⅠ11350905002271181497341284649Ⅱ10360254420660474030930673941Ⅲ1135011488225602354233903855953Ⅳ10201001855204820042503062200434149伏安法10500095562070013538309001752954电流表内阻的测量实验与线路分析
