这种严谨性要求，随着中学数学教学的发展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深，抽象程度也越高，相应地严谨性要求也越高。教师应该采取适当的措施，使学生尽快地适应这种发展，以形成习惯。为此，教师应该持之以恒，并以身作则。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。这样严谨性与量力性就能形成良性循环。
3．要求学生周密思考，言必有据
为了强调数学学科的严谨性，在贯彻严谨性与量力性相结合原则时，不能脱离学生的实际。具体说来，就是对学生提出“周密思考。言必有据”的要求，使学生养成严谨性的习惯。
周密思考，就是要全面地思考，不要遗漏，从而体现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。青少年由于他们社会阅历不多，考虑问题难免片面。比如，讲算术平方根概念后．学生会记住“算术平方根是正数a的正的平方根”。但是遇到(a-b)2时，稍不小心，就信手写出其结果为a-b。这就是思考不周密的表现。若经教师提示后，学生会立即纠正过来。因此，做到周密思考，必须不断加强训练。
言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型例题，强调“言必有据”。譬如，在几何证明题中，要求学生在练习时，每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。
言必有据不仅体现在推理、论证中，在计算、画图时，也要求做到确凿可靠，尤其是对那些由计算或画图作出某种判断、某种结论的问题。在这类问题中，不仅计算要有充足的算理作保证，画图要有可靠的依据，而且还需要进行充分的论证。否则，仍然会发生以偏概全、思考欠周密的错误。
当然，言必有据并不排斥解题、证题中产生的某些猜想。应该注意的是，这种猜想必须是有根据的、合理的。也就是说，强调言必有据，既要符合严谨性要求，又不能抑制有根据的创新思考。要鼓励学生敢于设疑、质疑，向权威挑战，培养学生的创新意识。
总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。
二、抽象性与具体性相结合的原则
（一）抽象性与具体性
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象。所以，它的研究对象本来是十分具体的。但是，为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此数学具有十分抽象的形式，这就是数学的抽象性。
数学的抽象性，表现为数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，其中数学概念的抽象性是最根本的。然而，任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。因此，在中学数学教学中必须贯彻抽象性与具体性相结合的原则。这条原则的理论基础有三方面：
第一，由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定。
数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，很容易掩盖它们与具体对象之间的联系。数学的抽象性并不排斥具体对象的直观性，恰恰相反，现实世界的具体对象是数学抽象的素材，而且抽象的数学概念一旦与具体对象建立起联系，也更生动易懂了。比如“对应”，它是一个抽象的数学概念，也是一种重要的数学思想，其实它早在原始人分配猎物或收获品的简单、具体的活动之中就有所体现，而且现在也有许多具体的对应关系存在于人们日常生活之中。又比如“集合”，这是相当抽象的概念，但却可以借用一些生产、生活实例来处理。数理逻辑也是十分抽象的，但结合电路断合分析，就可以成为非常具体的对象。
有些数学概念似乎没有办法与具体对象建立直接联系，然而，它是在相对具体一些的抽象概念基础上再抽象的结果。其实，抽象程度越高的数学概念，概括性越强，越是能代表更广泛的具体对象共有的属性。比如，锐角三角函数，它可以与直角三角形的边之间的长度比联系起来，它是相对具体的抽象概念，它所联系的具体对象比较少。当它抽象到任意角三角函数时，表现为“圆函数”，所联系的具体对象一下子扩展到一般的“圆运动”。所以我们往往引用单位圆来讨论。进一步扩展为数值函数，即以任意实数为自变量的三角函数时，它所联系的具体对象就更为广泛，包括了所有相应的周期运动。
由此可见，数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相对性。
中学生尤其是低年级中学生对具体对象的直观性有很强的依赖性，或者说中学生抽象思维有一定的局限性。事实上，引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发。若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；若不以多位数乘除法作为实例，强行引入多项式乘除法的分离系数法，学生会难以理解而步履维艰。
理解、掌握抽象的概念时，往往有片面性，或者说不善于抓住其实质，只限于举出具体实例。比如，把无理数仅理解为2，3，5，…之类的数。又如，对点到直线的距离的概念，用于钝角三角形时，往往难以理解该三角形中锐角顶点到对边的距离。再如，学过函数概念之后，常常把分段函数的表达式认作两个函数或者认为不是函数。
这些事实表面上看似乎是举一反三灵活运用的能力不强的问题，但实质上是抽象概念与具体对象割裂的问题。也就是说，教学要从具体对象人手，适时地上升为抽象理论，然后又及时地把它概括到更丰富、更广泛的具体对象上去，学生就会逐渐突破其抽象思维不强的局限性，从而适应数学概念的抽象性，并逐步提高抽象思维的能力。
第二，由教学过程与认识过程的共同性和特殊性规律所决定。
教学过程就是学生认识与掌握知识的过程，教学过程与认识过程基本上一致的，教学过程不过是前人对知识认识过程的快速的、科学的重演。因此，教学过程必须以科学的认识论为基础。
列宁在阐明科学的认识过程时说：“从生动的直观到抽象的思维，从抽象思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证的途径。”毛泽东在《实践论》中也具体地论述了认识过程，他说：“认识的过程，第一步，是开始接触外界事情，属于感觉的阶段。第二步，是综合感觉的材料加以整理和改造，属于概念、判断和推理的阶段。只有感觉的材料十分丰富(不是零碎不全)和符合实际(不是错觉)，才能根据这样的材料造出正确的概念和论理来。”教育心理学的实验表明，理性知识不能离开感性知识而凭空产生，理性知识的形成，必须具有感性知识的基础。因此，数学教学是引导学生认识、掌握抽象的数学知识，但决不能只把教学建立在单纯抽象的概念和言语上，而是建立在学生具体感知和抽象思维统一的基础上，才符合科学的、辩证唯物主义的认识论原理。
