三天后的4月9日，克列尔迟到的信件到达阿贝尔家中，所附柏林大学的聘书中写道：
“尊敬的阿贝尔先生：
本校聘请您为数学教授，望万勿推辞为幸。”
然而，这一切都为时已晚。
阿贝尔的爱情也因他的疾病、早逝而没有得到圆满的结局。
一位至今仍可在数学史上占有里程碑式地位的伟大数学家，不但成果被埋没多年，而且差点客死他乡，最终悲惨地英年早逝于贫困和疾病。这是有关部门对理论研究不太重视造成的，是没有科学的评价体系造成的，也是高斯、勒让德、柯西等“大人物”忽视“小人物”或嫉贤妒能造成的。这幕数学史上最大的悲剧之一给我们的警示是：重视基础科学的研究，建立科学的评价体系、机构；老一辈成名科学家发现、扶持、奖掖后来者、弱者的工作是多么重要！
数学家阿贝尔的不幸
一元一次和一元二次方程的求根公式，中学生都熟悉。一元三次方程的根，稍微复杂一点，也可以用公式表示，一元四次方程的求根公式，16世纪由意大利数学家解决了。但一元五次方程，直到19世纪初期，还是数学难题。到了19世纪20年代，这道难题被一位年仅20岁的数学家破解。他就是阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802～1829，挪威数学家）。
1802年8月5日，阿贝尔出生于挪威芬杜一个小村庄。他的父亲是一位穷牧师，家里兄弟姐妹七个，阿贝尔排行第二。阿贝尔的小学教育基本上是父亲教的；13岁，阿贝尔进入克里斯汀尼亚市的一所教会学校；15岁阿贝尔遇到了年轻数学教师B·M·霍尔波伊，他发掘了阿贝尔的数学才能。
少年时，阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。中学时代，他发现欧拉只证明了二项式定理的有理数指数的情形，于是他提出了二项式定理对一般情形都成立的证明。可见，年轻的阿贝尔在少年时代，就初步涉猎了当时数学研究的尖端领域。阿贝尔中学尚未毕业，就冲入五次方程求根公式的研究中。1821年在一些教授资助下，入奥斯陆大学。在学校里，他几乎全是自学，同时花大量时间作研究。他研究了泛函方程的解法，在数学史上第一个提出了积分方程的解法，这一研究具有重大意义，可是在当时却没有引起数学家的重视。
1823年秋，他一举解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。当作出这一解答时，阿贝尔觉得这个结果很重要，因此为了使更多人知道，他自费印刷他的论文。由于阿贝尔贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有6页的小册子。然后把这些小册子分别寄给外国数学家，包括当时被称为“数学王子”的德国数学家高斯，希望听到一些回音。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。
阿贝尔卓越的成就，就这样被人忽略了。大学毕业后，他申请得到了政府旅行研究资金，到德、法等国做了两年访问研究。
1825年，他去柏林，结识了A·L·克雷尔，两人成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的文章，其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。
1826年阿贝尔到巴黎，撰写了一篇很长的关于超越函数的数学论文，托人转交给复变函数论的创立者柯西，可是，柯西并不重视这项成果，随手丢到角落里去了。阿贝尔的这篇论文，是数学史上的一个重要发现。他天天盼望回音，可是一点音讯也没有，阿贝尔只好又回到柏林。克雷尔为他谋求教授职位，没有成功。
1827年5月底，阿贝尔贫病交迫地回到克里斯汀尼亚。这时，年轻的数学家已经分文皆无了，贫穷潦倒的境遇正在等待着阿贝尔。
后来，阿贝尔找到一份做家庭教师的工作，以此为生。
生活对他太不公平了。无论是高斯还是柯西、泊松等大数学家，只要看过他那卓越的学术研究的人说上一句话，就会使阿贝尔摆脱贫困的窘迫，不至于英年早逝。然而，他们谁也不评论阿贝尔的学术成果。阿贝尔就这样默默无闻地生活在艰苦的境遇中，他的健康受到了严重的损害。
直到阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让得也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。
阿贝尔回到祖国以后不久，在汉斯丁教授的推荐下，担任了一所军事学院的数学讲师，生活境遇稍有改善。
在担任数学教师期间，阿贝尔安心地研究数学理论。他在椭圆函数论方面的研究，达到了可与高斯比肩的水平。他还研究和创立了超越函数的理论，推广了欧拉积分的意义，后世称其为“阿贝尔积分”。
军事学院的教书生活，并未使阿贝尔身体恢复健康。阿贝尔积劳成疾，但他还在拼命研究数学。当他得知法国伟大数学家勒让得称赞他的工作时，高兴地说：“当我看到自己的工作能值得本世纪的大数学家之一的注意，是我一生中最快乐的时刻之一。”
1829年4月6日，一颗本可以发出耀眼光辉的星星在弗鲁兰陨落了，不到27岁的阿贝尔辞别了他心爱的数学。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才寄出。此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年他和C·G·J·雅可比共同获得法国科学院大奖。
阿贝尔虽然只有短暂的26年生命，但他取得的成果，足够以后的数学家忙碌150年。
为了纪念这位杰出的数学家，奥斯陆皇家公园的一座小山前，矗立着阿贝尔的雕像，这座山丘也被命名为“阿贝尔丘”。
波利亚惨遭扼杀
在欧几里得的《几何原本》中，有一条“第五公设”：平面上一直线和两直线相交，当同旁内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧充分延长后一定相交。
第五公设有两大特点引起了人们的注意。首先，《几何原本》中前四个公设语句简短、含义简单，而第五公设则显得语句冗长、内容繁琐，影响了公理的显而易见性。其次，这一公设在欧几里得的几何体系里用得比较迟，直到证明第29个定理时才应用；而且仅用过一次。可见欧几里得对这一公设也多少持怀疑和不满的态度。于是自然引起一种想法：这一公设或许是多余的，或者是可以证明的定理。如果是能够证明的定理，又怎样证明？于是研究第五公设的漫漫长征路就此开始了。
从事这个工作的学者有“一个军团之多”。到了18世纪，已经有一些数学家从否定第五公设出发，颇为深入地展开了讨论。当然，这也是人们“眼前无路想回头”之举——既然不能证明第五公设，不妨尝试否定它。其中以意大利萨开里（1667~1733）和生于瑞士后来移居德国的兰伯特（1728~1777）最为著名。
萨开里于1733年发表的《欧几里得无懈可击》、兰伯特1766年发表的《平行线论》都别出心裁地提出了一系列的新命题，在逻辑上、系统上、理论上完全可以自成一体。循此可以形成一种独立于欧几里得几何的非欧几何体系。然而，这两位谨小慎微、囿于传统的数学家都“近在眼前不识君”，不敢越雷池一步，因而错过了创立非欧几何的大好机会，致使非欧几何的诞生被推迟了几十年。
非欧几何的创立归功于19世纪的数学家们。高斯在1816年发现平行公设根本不能证明后，已基本上确立了这种几何。但遗憾的是，他至死不敢公开他的发现。
高斯在哥廷根大学学习时有一个名叫伏尔冈·波利亚（Wolfgang Bolyai）的同学，后来成了他的好朋友。这位同学也对平行公设有浓厚的兴趣，然而在花费了不少时间仅仅找到几个相似的命题之后，毫无收获，于是这位思想保守的数学家便放弃了这类研究。然而，老波利亚却有一位“不怕虎”的、继承他数学事业的“初生牛犊”——他的儿子约翰·波利亚。
小波利亚1802年12月15日出生在克劳森堡——1918年前属奥匈帝国，即今罗马尼亚布鲁日。
在父亲的熏陶和指点下，酷爱数学的小波利亚13岁就掌握了微积分，中学毕业后于1817年考入维也纳皇家工程学院。1822年毕业后被分配到特梅斯瓦尔要塞任军职，成为奥地利军队中的一名匈牙利军官。奔波、紧张的军旅生活没能泯灭他对数学的酷爱，曾上书要求专门从事数学研究，但未能如愿以偿。1833年，才因工伤退伍。
早在大学期间，小波利亚就继承了父亲对欧氏平行公设研究的热情，醉心于平行公设的证明。有材料表明，那时他就发现证明是不可能的，并找到了通往非欧几何的道路。然而，老波利亚鉴于自己失败的教训，曾多次写信给儿子说：“希望你再不要做克服平行公理的尝试了……”但是，素有“勇敢军官”之称的小波利亚却坚持进行新几何学的研究。在1823年11月3日，他写信给父亲说：“我已经白手起家创造了另一个新奇的世界。”这时他年仅21岁。1825年，他的非欧几何已基本完成，于是请求父亲帮助发表。但父亲并不相信儿子的那套理论，拒绝了儿子的请求。4年过去了，父亲的拒绝态度依然如故，于是他在1829年把自己所创立的理论用德文写成论文《绝对空间的几何》，寄给维也纳工学院的数学教授、他的老师艾克维尔，可惜抄本被遗失了。后来，经过再三请求，在1831年，他的论文才作为附录发表在他父亲的《对青年学生进行初等数学和高等数学入门教育的试验》这一著作的第一卷中，题名为《绝对空间的科学》。
这篇附录的打样及一封信曾于1831年6月寄给高斯，以征求高斯的意见，但不幸又在途中遗失。1832年1月再寄去一份，高斯收到信和附录后非常吃惊。同年2月14日，高斯给老波利亚回信说，小波利亚具有“极高的天才”。但却又说他不能称赞这篇论文，因为“称赞他等于称赞我自己，因为这一研究的所有内容，你的儿子所采用的方法和所达到的一些结果几乎全部和我的在30年～35年前已开始的个人沉思相符合”，并表示“关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是终生不想发表的”，因为“大多数人对那里所讨论的问题抱着不正确的态度”，因而“怕引起某些人的喊声”，“现在，有了老朋友的儿子能把它发表出来，免得它同我一起被湮没，那是使我非常高兴的”。
然而，这位“数学王子”很可能做梦也没料到，他的这封推心置腹的信竟一举扼杀了一颗初露光芒的数坛新星！
原来，高斯虽然对小波利亚予以高度赞赏，但实际上并没有任何支持的实际行动，这已经使小波利亚感到十分失望了。更为悲惨的是，不知情的小波利亚还误以为高斯这位“贪心的巨人”企图剽窃他的成果，或者有意抢夺他创立非欧几何的优先权。为此，他悲愤交加、痛心疾首、郁郁寡欢，严重地阻碍了进一步研究，身体也受到损害。当1848年他看到俄国数学家罗巴切夫斯基（1792~1856）于1840年用德文写的、载有非欧几何成果的小册子《关于平行线理论的几何研究》之后，他更加恼怒，怀疑人人都与他作对，决定抛弃一切数学研究，发誓不再发表任何数学论文。事实上，他于1848年参加了反对哈布斯王朝的斗争后，就主要从事写作，呼吁社会改革，在数学上没有任何新的研究了。
一颗新星就这样过早地被遮蔽了光芒！
小波利亚的不幸和悲剧远远不止这些。就在1837年，有人在莱比锡专门为虚量学说的研究设置了奖金。他也寄送了自己的作品，基本思想与后来英国数学家哈密顿（1805~1865）的虚数表示法即四元数理论一致，然而得到的却是评定委员会否定的答复。他这一工作受到冷遇，和其后哈密顿工作引起的轰动形成了鲜明的对照。
在挫折、悲愤、贫困之中，小波利亚于1860年1月27日因肺炎在马洛斯发沙黑利悄然辞世。
小波利亚的不幸和悲剧给我们许多教训和启示。
小波利亚的悲剧之所以发生，很可能有一些偶然因素，例如，他写给老师艾克维尔的论文抄本被丢失，这无疑少了一次“千里马”被“伯乐”相中的机会；但是，这实际上仅仅是一次“可能”，因为正如我们下面要说的，传统观念太顽固了，即使艾克维尔看到了抄本并能看懂，他也未必予以支持。
必须从必然规律方面去寻找酿成悲剧的原因，并从中吸取教训和得到启示。
酿成悲剧最主要的原因是传统观念太顽固，它严重地束缚着常人的思想，毫不给任何异于欧几里得几何的学说以立锥之地。这不只是对小波利亚如此，对任何人也别无二致。举例来说，1826年罗巴切夫斯基创立非欧几何后，得到的要么是淡漠，要么是攻击嘲笑。说新几何是“笑话”，是“荒唐的”，是“对有数问的数学家的讽刺”，是“伪科学”。连德国著名诗人歌德（1749~1832）在《浮士德》中，也曾对罗氏几何予以嘲讽。而另一种非欧几何——黎曼几何，在1854年由德国数学家黎曼（1826~1866）创立后，也依然遭到被埋没、冷落的厄运。直到他死后50年，爱因斯坦在广义相对论中用到它时，才得到人们的承认。由此可见，要“毁掉传统的信念，破除千百年来的思想习惯”是多么的困难。因此，要能迎着困难上，才能取得科学上的发展和进步，像罗巴切夫斯基和黎曼那样。相反，如果像高斯那样因循保守，其成果只能成为死后的遗物，而科学会因此被推迟多年。此外，除了通常意义下的传统势力以外，宗教、哲学这些传统势力也不可忽视。凶残的教廷势力容不得半点异于欧氏几何的“离经叛道”之说。当时欧洲流行的、在科学界影响很深的康德哲学和黑格尔哲学，都把欧氏几何说成是惟一可能的几何。
酿成小波利亚悲剧的重要原因是“大人物”高斯对待“小人物”的错误态度。高斯的第一个错误态度是忘记了提携“小人物”的任务，是他对小波利亚的不支持态度扼杀了这颗新星。
