六面體內容八 面體其二體比例若何
汪鳳藻
* 圖略
如圖甲乙正六面體 先求作內容八等面體法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四點 作丙己己戊戊丁丁丙四線成丙戊直角四等邊形即內容八面體半錐體 之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二點作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊 辛丁辛己辛丙八線成庚辛丁己八等面體其六角均切六面體之面心欲 明二體之比例命六面體之一邊為甲八面體之一邊為乙以數明之
* 算式略
不等面立三角 求重心其法若何
汪鳳藻
法任以一面為底面 求得其重心點自此點至頂角作線必過立三角重心復取一面如法作之 得二線交點即所求準此自底面取重心線四分之一即重心
今有正圓球三 角垛共十球球徑一尺求垛頂至平面高若干
杜法孟
答曰二尺六 寸三分強
* 圖略
法自上層一球與中 層三球四球心作六線成六等邊形邊與球徑等以一邊為弦半邊為句求 得股為每一線之中垂線又以一邊為弦中垂線三分之二 即分角線為句 求得股為六等邊自尖至底中心之立垂線倍之加球徑為垛頂至平面之 高
如圖子丑辰卯己午 未寅酉申十球子為上層辰丑卯為中層己午未寅酉申為下層試自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六邊形稜六角四平鋪之則面亦四 如壬辛各成一 等邊三角形試以乙丙丁一面為底取乙丙一邊為弦丁丙一邊折半為句 求得乙戊股為底面之中垂線又以甲丙一邊為弦己丙 中垂線三分之二 為句求得甲己股為自尖 至底中心之立垂線即六邊行之高亦即上層球心至中層球心之高亦即 中層球心至層底球心之高故倍之加上下二半徑得垛頂至平面之高
又法以倍球徑為邊 作六等邊形如前法求得立垂線加球徑即得如前圖甲乙邊倍則甲己立 垂線必倍故加球徑即得
又法以每邊自乘三 歸二因開平方即得自尖至底中心之立垂線如前圖戊丙為甲丙線之半 則戊丙方為甲丙方四分之一甲戊方必為甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊線 為甲戊線三分之一則己戊方為甲戊方九分之一甲 己方必為甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每邊自乘三歸二因開平方得立垂線
今有官司依平 方招兵初日方邊四尺以後每日遞加二尺每人日給銀一兩二錢已支銀二 萬六千零四十兩推招了幾日已 招若干兵
黎子祥
答曰共招十 四日
招兵四 千九百五十六名
* 算式略
瓜豆同日發芽 生蔓瓜蔓初日長一尺六寸以後每日所長遞減半豆蔓初日長一寸以後 每日所長遞加半二蔓第幾日相等
蔡錫勇
答曰五日
解曰此即連比例率 數瓜蔓初日所長為末率豆蔓初日所長為首率得若干率數即二蔓相等 日數以代數明之
* 算式略
於此可見未之指數 必比層數減一命層數於天則末率恒為● 即●准代數之理上式可變為囗為首率一之對數等於 故以二之對數 一0三 除瓜蔓初日所長一尺六 寸之對數 四0二一 得四加一得五為相等日 數
有平句有明股 求圓徑
長秀
* 算式略
有邊股有平句 股較求圓徑
廷鐸
* 算式略
有底句有明股 求圓徑
長秀
* 算式略
有底弦較和有 高句股較求圓徑
辛澤賢
* 算式略
有斷句股較有 大弦和和求圓徑
聯印
* 算式略
有明弦有底句 求圓徑
斌衡
* 算式略
有明句有平弦 求圓徑
巴克他訥
* 算式略
有平句股較有 囗弦求圓徑
李逢春
* 算式略
有底弦和較有 囗句弦較求圓徑
左庚
* 算式略
有斷句股較有 囗句弦較求圓徑
韓常泰
* 算式略
有斷句股較有 明弦較較求圓徑
王鎮賢
* 算式略
有大差弦和較 有斷句股較求圓徑
任敬和
* 算式略
有斷句股較有 大弦和和求圓徑
王鍾祥
* 算式略
有囗股弦較有 明句弦較求圓徑
王鎮賢
* 算式略
有虛句股和有 大中垂線求圓徑
賡善
* 算式略
有容方邊有 [囗 ] 句股較求圓徑
王鎮賢
* 算式略
有圓城甲出北 門東行二百步而立乙出南門直行回望見甲與城參相直復斜行至甲處 其行五百六十步求城徑若干
廷俊
答曰二百四 十步
立天元一為半徑倍 之即大弦和較甲行之路等於底句乙共行之路等於底弦明股和底句內 減天元得甲[元]為 大股弦較二底弦明股和內減二底句得 為二明三事和即二大句弦較以 乘大股弦較得 寄左另以大弦和較自之得元 為同數與左相消得二開 方得半徑倍之即全徑
* 算式略
二明股弦較等 於虛弦和較試作圖解
陳壽田
* 圖略
如圖甲乙丙明句股 卯丙午虛句股試自圖心己至切點作己戊線癸午與午戊等丙乙與丙戊 等則丙午虛弦與丙乙午癸和等加卯丙午卯虛句股和得卯乙卯癸和為 虛和和與乙丑等試取丁點令甲丁等於明弦則乙丁為明股弦較夫甲 己與甲午等甲丁甲丙同為明弦以甲己減甲丁得丁己以甲午減甲丙得 丙午為虛弦依顯丁己亦為虛弦復取己子令與丁己等則子丑亦為明股 弦較與乙丁必等丁子必為二虛弦以乙丑虛和和減之得乙丁子丑二 囗之虛弦和較亦即二明股弦較故二明股弦較等於虛弦和較也
虛句囗弦較等 於囗句股較試作圖解
英鐸
* 圖略
如圖子丑虛句丁戊 囗弦以子丑與丑戊囗句相加得子戊為平句以丁戊與地丁囗股相加得 地戊亦為平句試於子戊平句內減去丁戊囗弦餘必等於地丁囗弦再於 地丁囗股內減 [ 丑 戊]囗句 餘即為囗句股較也
大股內減邊弦 等於平句股較試作圖解
陳壽田
* 圖略
如圖戊為圓心甲乙 為大股作丁戊線與丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬為邊句股甲丁為邊 弦丙丁為平句丙戊平股與丙乙等則丁乙即平句股較以甲乙減甲丁得 丁乙即平較故大股減邊弦等於平句股較也
大股內減平句 股較等於邊股平句和試作圖解
懿善
* 圖略
如圖甲乙丙大句股 甲己丁邊句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己邊股丁戊平股己乙等取己 庚如丙戊為平句己乙平股內減己庚平句即庚乙平句股較故甲乙大股 內減庚乙平句股較等於甲己邊股加己庚平句
囗句股和內減 虛股弦較等於囗弦試作圖解
承霖
* 圖略
如圖庚壬丙為半徑 為股之平句股其弦則庚己虛弦己丙囗弦和其股則庚戊虛股戊壬囗股 和其股弦較必為虛股弦較囗股弦較和而丁辛乙辛同為半徑則平股弦 較又等囗句依句股例和較小較相加為句則[虛]虛 股弦較必等囗弦和較囗句股和減囗弦和較 即虛小較故等 於囗弦
明股囗句相乘 等於虛句股積試言其理
王宗福
* 圖略
如圖甲子己大句股 外之丙天丁為虛句股今自圓心作甲己之垂線心地則丙地等丙辰 明句地丁等丁 戊 囗股天辰內減 天丙虛句餘為半虛較和天戊內減天丁虛股餘為半虛較較 緣天辰天戊均為半虛和和故 按較較乘較和等於二直 積則明句之半虛較和乘囗股之半虛較較必等於虛句股積惟明句乘 囗股原等於囗句乘明股故明股囗句相乘等於虛句股積
高股乘平句等 於明股弦和乘囗句弦和試作圖解
胡玉麟
* 圖略
如圖甲乙丙大句股 乙丁容圓方自心至切點作戊己線正交甲丙則辛己戊為高句股戊己庚 為平句股 以半徑為勾半徑為股故 己癸等癸寅己子等子丑 則辛己高股為明句絃和己庚平句即為囗股弦和故明句弦和 高股與囗句弦 和比若明股弦和與囗股弦和 平句比
大差句乘小差 句等於虛句乘大股亦等於邊股乘倍囗股試作圖解
胡玉麟
* 圖略
如圖甲乙丙大句股 乙丁容圓方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圓 心至切點作甲丙正交線辛壬則戊壬辛為高句股辛壬癸為平句股 以半徑為句半徑為股故 壬癸等丙午壬丙即等 丙辰則戊丙底弦減壬丙底句餘戊壬等甲庚庚乙原等戊辰則甲乙大股 即為底弦較和又壬己等己未子壬即等子卯作己申線與丙乙平行作子 酉線與丁丑平行則戊申等戊壬申辰即為底弦和較等申辰之己丑亦為 弦和較子酉癸亦為平句股辛未等丁未則未癸為平股弦較未酉即為 平弦和較等未酉之丁子亦為其弦和較夫寅丁全徑原為二平股內減丁 子平弦和較則子寅大差句即平弦較和也故平絃較和 大差句與底弦 較和 大股比若平弦 和較 虛句與底弦和 較 小差股比
又壬子等子卯寅亥 等寅卯甲壬即等甲亥則壬癸即為邊股弦較壬癸原等癸酉則酉亥即為 邊弦和較等酉亥之子寅亦為其弦和較又壬己原等己未丑辰原等丑未 二壬丙即小差三事和內各減己丙小差弦 [ 餘 ]二己 壬囗股即為小差弦和較故邊弦和較 大差句與小差 弦和較 [ 二囗股 ]比若邊股與 小差股比
弦和較乘弦和 和等於二直積試作圖明其理
汪遠焜
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 以弦句為半徑各作圓引長乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直線則成 甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股較 本形弦和較與 甲丙 [ 小 股] 本形句 之比若丙壬 丙己內減去等丙戊之己壬即得 大小二句股較和 本形二股與甲 丙丙己大小二股和 本形弦和和之 比故弦和較乘弦和和等於二直積
中垂線乘弦等 於圓徑乘半和試作圖明其理
貴榮
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 甲壬句弦較癸丙股弦較壬癸為弦和較方 即圓徑方依乙丁 中垂線平行作甲午丙己二線次依甲丙平行作戊己線聯之則戊丙為中 垂線乘弦移甲乙戊於丙庚辛移丙乙己於甲庚辛戊丙中垂線乘弦必等 於辛乙句股直積除甲癸矩不動外移子癸股弦較乘弦和較於癸丑將 辛寅股弦較乘句弦較改為甲卯弦和較半方則卯丑圓徑乘半和 辰丑弦和較即圓徑 亦等於辛乙句股直積卯 丑與戊丙既各等句股直積則二矩宜無不等所以中垂線乘弦等於容圓 徑乘半和
三事和乘邊線 較等於圓徑乘邊線和試作圖明其理
王鍾祥
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 乙丁中垂線乙己戊己均為方邊自己作乙丁丁丙之垂線己庚己辛成乙 庚己戊辛己二句股形與本句股形同式均以方邊為弦則二形必等夫庚 己等己辛亦等庚丁則乙庚己三事和即等於邊線和而邊線較即等其 弦和較故大三事和與小弦和較 即邊線較相乘 等於小三事和 即邊線和與大 弦和較 即圓徑相未也
句乘弦較較等 於三事和乘股弦較試作圖明其理
貴榮
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 以弦為半徑作丙戊己丁圓次從丙角作丙丁及丙戊二線成丁乙丙及丙 乙戊大小二同式句股形何則試引長丙乙作丙己線丙己正交丁戊各至 圓界戊己弧等於戊丙弧丁己弧等於丁丙弧小形丙角所當戊己弧與 大形丁角所當戊丙弧等小形戊角所當丁丙弧與大形丙角所當丁己弧 等餘二乙角又俱直角所以同式大句 本形句與大句 股和 本形三事和之 比若小句 本形股弦較與 小句股和 本形弦較較之比
句弦和乘弦和 較等於弦較較乘股試作圖明其理
貴榮
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 丁乙為弦和較丁戊為其方戊丙為股弦較戊己為其倍乙己為弦較較甲 丁為句弦較甲己矩為弦較較乘股冪除甲戊矩不動外試將庚辛二股弦 較乘句弦較矩改為戊壬弦和較方次移辛己二股弦較乘弦和較矩補 於壬癸成 一甲癸冪其長即句弦和其闊即弦和較 與原積甲己冪必等
倍股乘股弦較 等於弦和較乘弦較較試作圖明其理
杜法孟
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 丙子為股弦較丙丁為其方丙戊為句丙己為其方戊子為弦和較戊庚丁 磐折形為弦和較乘弦較較丁辛壬磐折形為倍股乘股弦較二形之積等 試各加一丙丁正方則子辛壬為股弦較乘股弦和丙己為句方其積原 等今各減一丙丁正方其積仍等
句弦較乘倍股 弦和等於弦較和自乘試作圖明其理
貴榮
* 圖略
如圖甲乙丙句股形 依弦作戊丙己半圓甲為圓心從形心作三分角線及三垂線復從丙作丙 戊線成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例
一率 小句股較 本 形句弦較
二率 倍小股本形弦較和
三率 大句股較 本形弦較和
四率 倍大股本形倍股弦和
