学生完成练习后，引导学生对解答方法进行质疑，对其“解法”提问：如何解决它？还有其他解法吗？美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（GeorgePolya,1887~1985）在他的《怎样解题》中指出：“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你的问题。”根据波利亚的“怎样解题”表，可给学生归纳下列提问：未知量是什么？条件有可能满足吗？以前曾见过它吗？能否想出一个相同、相似的熟悉问题？能想出一个更容易、更一般、更特殊类似的问题吗？能解出问题部分吗？用了全部条件吗？是否要考虑辅助问题？能用不同方法得出结果吗？能用这一结果或方法到别的问题上去吗？教学中常这样问学生，也等于教给学生提问的方法，不断提高其“问题”能力。
教师应转变教学观念，在数学教学中努力创设宽松的、自由的、愉快的教学氛围；形成一种民主、平等、和谐的师生关系；要面向全体学生，把握好每一个教学环节；注意和悦地倾听每一位学生的提问，鼓励学生与教师共同探讨问题，让学生品尝提出问题、解决问题后的喜悦，并深刻地体验学习数学不是一种枯燥的劳动。第斯多惠说得好：“一个差的教师奉送真理，一个好的教师教人发现真理。”要能让学生发现真理，没有问题意识是不行的。问题意识是学生开展自主、探究学习的关键，是新课程理念下学生的一种基本素质，问题意识不仅是思维的诱因，也是发现的前提，更是创新的开端。
浅议数学课堂教学中培养学生的创新精神
创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，是民族兴旺的动力。它以发掘人的创新潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨。开展创新教育、培养人的创新精神，提高学生的素质，是当今教育教学所要研究的重大课题，本文结合近年来的教学实践，就如何在数学课堂教学中培养学生的创新精神，谈点粗浅的见解和尝试。
一、鼓励参与，培养主体意识
由于数学教学的本质是数学思维活动的教学，因此要培养学生的数学创新意识，首先必须让学生积极地展开思维，主动地参与教学过程，充分发挥学生在学习中的主体地位，教师必须淡化教师的自我权威中心意识，实现由“师道尊严”向师生民主平等转变，善于倾听不同的言论，鼓励、培养学生的好奇心、探索性，在教与学中倡导相互合作，使学生成为学习的主体，能主动地参与数学学习活动的全过程。
简单地说，教学过程中学生的主体地位指学生应是教学活动的中心，教师、教材、一切教学手段，都应为学生的“学”服务。学生在教学活动中居于主体地位，是整个教学活动的中心，但这并非就是说教师无足轻重，可有可无了，事实上，教师是全部教学活动的组织者，是学生主体地位得以实现的外因。如在复习曲线对称问题时，（1）提出问题：点（x,y）关于点(a，b)的对称点坐标；曲线f（x,y）=0关于点（ab）的对称曲线是什么？由学生思考、学生回答、教师讲解。（2）例1：设抛物y=x2-1上存在关于直线l：x+y=0对称的相异两点，求这两点坐标。师生共同分析点关于直线对称问题一般解法及特殊直线的特殊求法，由学生解答。（3）若改y=x2-1为y=12x2-1抛物线上是否还存在关于直线对称的两点，如何来判定呢？（4）若改y=x2-1为y=ax2-1抛物线若存在直线x+y=0对称的两点，求a的取值范围，与学生一起板演过程，可解得a>34,再探索另一种解法，设垂直于x+y=0的直线为y=x+m代入y=ax2-1后求解指出：解题的关键是利用点关于直线对称的性质，寻找不等式。（5）练习：已知椭圆x24+y23=1试确定m的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线y=4x+m对称，最后小结。
二、创设问题情境，培养问题意识
我们知道，创新能力总是在问题解决中发展起来的，问题解决是创新的土壤，并不一定所有的问题解决都包含有创新，但创新无疑都包含着问题解决。“问题”是数学的心脏，“问题解决”的能力是数学能力的集中体现，传统的做法往往是淡化“问题意识”，教者奉献给学生的是一些经过处理的规则问题和现成的漂亮解法，舍去了对问题的加工处理过程，也舍去了制订解决方案的艰苦历程，学生听起来似乎显得轻松，但数学的能力却未能得到应有的提高。所以要强化“问题意识”，充分展现对问题加工处理过程和解决方案的制订过程，既磨炼了学生的意志品质，又培养了学生解决问题的能力。正是从这一认识出发，我讲课注意挖掘教材中具有某种创新价值的问题，引导学生思维发展。
如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，传统处理方法是给出定理，画好图形，把课本上证明讲解一遍。我们可以作如下设计：
第一步，提供问题：在水平的地面上竖起了一根电线杆，现在请大家想一个办法，检查一下电线杆是否与地面垂直？
第二步，设计解决方案：学生将电线杆抽象为一直线，地面抽象为一平面，根据直线与平面垂直的定义设计方案如下：用一块三角板，让一条直角边贴紧电线杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可以断定电线杆和地面垂直，否则电线杆与地面不垂直。
第三步，问题的发展：教师在肯定方案正确性和可行性基础上，向学生提出新的问题：是否有比这个方案更方便易行的方案呢？如果有一个人没有让三角板旋转一周，而只是检查了两个位置且都和地面贴得好，他就断定电线杆和地面垂直，你们认为正确吗？
第四步，问题的深化：教师要求揭示此问题的实质，并用数学语言加以表述：如果一条直线和平面相交，且和平面内过交点的两直线都垂直，它是否与这个平面垂直？
第五步，设计新问题的解决方案：教师首先让学生利用身边的三角板和铅笔做模型作验证，发现确是垂直的，然后师生共同研究制订理论上的证明方案。
第六步，回到最初问题，给出合理的解答。
三、进行建模训练，培养应用意识
素质教育的目的就是要“培养学生的创新能力与实践能力”，而应用能力的培养是实现创新能力与实践能力的重要途径，对于数学应用，不能仅看作是一种知识的简单应用，而是要站在数学建模的高度来认识，并按数学建模的过程来实施和操作，要体现数学的应用价值，就必须具有建立数学模型的能力。如在复习函数应用题时，选择典型题目，开展专题讲座，让学生进行建模训练，提高学生的建模水平。
例1某商人如将进货单价8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100价，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其售量就减少10件，问他将价格每件定为多少元时才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润。
构建“函数”模型来解决。答案：售出价14元，最大利润360元。
四、改革传统的教学模式，培养学生的创新意识
为把素质教育思想真正落到实处，提高学生的创新意识，改革传统的以教授知识为主的教学模式已迫在眉睫，在数学教学中，必须强化学生的交流意识、合作意识，教师要不断更新教学观念，吸收新知识，运用新方法，只有这样，创新教育思想才能生根开花，结出硕果。
1培养追求新异的好奇心
好奇心是科学发现的巨大动力，是创新意识的显态的表现，如果没有好奇心和求知欲，就不可能产生对社会和人类具有巨大价值的发明和创造，教师的现任之一就是要保护和发展学生的好奇心，激发学生的求知欲。实践表明，教学中充分激发和利用学生的好奇心对提高教学效果是十分有益的，而这样的过程又能使学生的好奇心理得到进一步强化，如用现代教学手段增强新奇感（运用多媒体演示太空星球的运动引入“圆锥曲线”）、运用实际生活中的现象增加趣味性（用打桥牌时对牌的分布的可能性的推测引入“概率”）。
2诱导质疑，挖掘学生的创新潜能
爱因斯坦曾说过：“提出问题比解决问题更重要。”“提出问题”是学生数学学习的组成部分，鼓励学生提问是教会学生学习的实际措施，也是挖掘学生创新潜能的有效手段。在现在的课堂教学中，由于受应试教育思想的影响，课堂上少有学生主动提出“质疑”，发表自己的“意见”，同学之间缺少有价值的“讨论”，师生之间也缺乏“真诚”与“平等”的“对话”。
教学中应提倡学生问问题，诱导他们问问题，鼓励他们大胆提出问题，鸣别人所不鸣，为别人所不为。同时，要求学生在学习过程中，善于独立地思考和分析，表现出不依常规、用新颖的求异思想和方法解答问题。在教学过程中善于培养学生勇于探索的精神，为学生创造良机，鼓励学生对老师、对书本、对课外读物提出质疑，让学生的天赋和才能得到充分的施展。另外，还要给学生提供提问题的时间和空间。因为提出问题首先得发现问题，而发现问题就需要学生有时间和空间去思考，让他有机会发现问题，提出问题。
3鼓励大胆猜想，培养思维的直觉性
乔治·波利亚在《数学的发现》一书中曾指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚证明细节之前你必须猜想出证明的主导思想。”所以，猜想是点燃创造思维的火花，猜想对于创造性思维的产生和发展有着极大的作用。因为科学上许多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才去加以证明或验证。在数学研究里面，“先猜测后证明”几乎是一条规律。
例2求和sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx。
分析：这个和式的结构特点是每项正弦函数的角的变化组成等差数列，可以与
11×2+12×3+…+1n(n+1)=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=nn+1
相类比，它指引我们作出猜想：设法把和式中的每一项也拆成两项之差，使所有中间项恰好相消，从而求出结果。
事实上，若设S=sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx,两边同乘以2sinx2得
2sinx2·S=cosx2-cos(2n+1)x2=2sinnx2·sin(n+1)x2
sinnx2·sin(n+1)x2＝sinx2·S
即S=sinnx2·sin(n+1)2xsinx2至此，只需通过讨论就可得出结论。
由此可见，直觉产生的思维跳跃往往是走向成功的捷径。在培养思想的直觉性的过程中还可以使学生学会“观察（实验、分析）——猜想——证明”的思考方法。
4引入开放题教学
开放题是相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论。也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的，因此，在数学教育中开放题有其特定功能。数学开放题的教学过程是学生主动建构，积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，真正学会“数学地思维”。数学开放题的教学过程也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的开拓精神和创新能力。
如在高一函数图像的复习中，我曾设计下面一个开放题：
例3求过点（0，0），（-1，1），（1，1）三点的函数解析式。
对高一学生而言，本题有许多答案如①y2=x,y=x4……②
y=x23,y=x45……③y=∣x∣,y=∣x2∣等等。
课堂教学是实施创新教育的主渠道，实施素质教育，从教学层面看，也可以说是从传统型教学、改良型教学向创新教学的转变。在数学教学中，教师应解放思想，大胆尝试，积极进行探索和创新，以培养出一大批适应未来发展需求的创新人才。
数学课堂教学中几种关系的思考
教学是课程实施的主要途径。因此，教学改革是新课程改革系统工程中必不可少的一环。教学改革必然涉及多种关系。本文结合自己教学实际谈谈对在课堂教学中处理以下几种关系的思考与理解。
一、“人本”与“文本”
“人本”与“文本”的关系，即师生与教材的关系。按照新的课程理念，就要从学生的人生建构、知识建构和发展需要出发来处理文本。比如说教材，它是教学的凭借，是师生合作交流的平台。从教师的角度讲，要用教材教，而不是教教材，这是与书本中心完全不同的教育理念。课程不再是特定的知识载体，而是老师和学生共同探求新知的过程。教师和学生共同构成课程的有机组成部分，教师可以根据学习者的需要和可能，对教材进行二度加工，让“文本”和“人本”有机地整合，这也是构建和谐的数学课堂教学的重要组成部分。
如《任意角的三角函数》中定义的教学。一位教师是这样处理文本的：
（1）师生共同回忆初中学过的“锐角三角函数”的概念（把角A置于Rt△ABC中）；
（2）角的概念现已推广到任意角，三角函数的概念也能拓展到更一般的情形吗？
（3）上述定义锐角三角函数的方法已不能适用于α为钝角的情形，而前述任意角常放入直角坐标系内进行研究，那么任意的三角函数能否也借助坐标来处理呢？
（4）我们把角α放进坐标系里，用“坐标的方法”来研究α的三角函数值时，面对α如何选择坐标系？如何表示α的四种三角函数值（化归思想）？如何改换三角函数的定义？
比较知，在锐角情形，上述两种表达α的三角函数值的意义是一样的。但“坐标的方法”摆脱了“锐角的束缚”，使角α有了更广阔的活动空间。至此，就自然而然又合乎情理地把角的三角函数概念推广到任意角的情形。这样处理，即从学生已有的认知结构出发，采用建构主义的思想，应用类比、扩展的方法将锐角三角函数的概念扩展到了任意角的三角函数，不仅使学生学习了任意角的三角函数定义，而且使学生学到了数学发现的思想与方法，为学生在以后的学习中将某些概念、公式、定理进行推广奠定了基础。这种根据“人本”之实际充分地挖掘“文本”的潜能，把知识点的掌握转化为探索过程，并把探求的领域一次次地扩大，一次次地深入，符合学生的心理特征和人们的一般认知规律，实现了“人本”与“文本”的有机整合。
二、“预设”与“生成”
教学展开的过程是师生之间、生生之间，在知识、思考、见解和价值取向上多向交流和碰撞的过程，“预设”和“生成”便是这交流和碰撞过程中的一对辩证的对立统一体，两者相依相存。没有高质量的预设就不可能有十分精彩的生成，如果说传统课堂把“生成”看成一种意外收获，那么新课程则把“生成”当成一种追求，如果说传统课堂把处理好预设外的情况看成“教育智慧”，新课程则把“生成”当成彰显课堂生命活力的常态要求，同时新课程又不排斥预设，预设是为了更好的生成。教师应当把课堂营造成精心预设与即时生成相统一的多元发展过程，实现预设与生成的和谐统一。
如课例：《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》第三章第一节《方程的根与函数的零点》一节例1的教学。
例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。改编为：已知函数f(x)=lnx+2x-6。
