这两则悖论都是似是而非的，由于时间与空间都是连续的，但芝诺却故意把它们分割成不连续的一系列点和一段段的时间，这就导致了错误的发生，但在当时，却确实使人难以解释得清。但这些悖论却迫使人们对数学的基础理论进行研究，直到十九世纪，德国数学家康托建立无穷集论后，这些问题才得到了圆满解决。
百枚钱币鼓士气
狄青，是北宋仁宗时期有名的大将，开始，他只是防守陕西保安（现志丹县）的一名士兵。当时，西夏多次打败宋军，后来，狄青主动要求担任先锋出战。他披头散发，带上一个狰狞的面具，带头冲入敌阵，把敌人打败。由于狄青屡立战功，被提升为将军。
后来，范仲俺召见了狄青，勉励他认真读书，从此狄青刻苦读书，精研兵法。以后打仗更有勇有谋，终因战功显赫被提升为掌管全国军事的枢密使。
这时，南方少数民族的领袖侬智高自立政权，进攻现广西一带地方，占领了大片土地，打了不少胜仗，北宋朝野震动。宋仁宗派狄青前往征讨，狄青为了克服兵将们畏敌情绪，想出了一个办法。
他立了一个神坛，当着全体将士的面向上苍祷告：“如果这次上天保佑，一定能打胜仗，那么，我把手中的一百枚铜钱扔到坛前地上时，钱面（不铸文字的一面）一定全部朝上。”说完，在众目睽睽之下，他把100枚钱全部扔下，结果这100枚钱竟全部朝上。于是全军欢呼，震天动地。狄青命左右取来100枚大钉把钱全部钉在地上，任士兵观看，并说：“待破敌凯旋，再来感谢神灵。”
将士们都认定肯定有神灵护佑，所以在战斗中以一当百，奋勇无敌，果然连战皆捷，迅速平定了侬智高的叛乱。
为什么兵士们认为100枚钱全部朝上就一定受到神灵护佑呢？
当我们扔下1枚钱时，钱面可能朝上，也可能朝下，有两种不同结果。
全部朝上，这几乎是不可能的事。而这种可能性微乎其微的事竟然发生了，将士们自然认为是有神灵护佑啰。
这种可能性的计算实际上就是被称为“概率”的一门学科。在现代数学中，概率论是非常有用的，这门学科在现代生产、生活及军事等各个领域中都有广泛的应用。
在概率论的发展过程中，有很多知名的数学家都做过掷钱币的实验，他们反复掷一枚钱币，计算正面出现的次数，结果发现，正面出现的可能很有道理，这就是概率论的“等可能事件”这一内容的实验依据。
现在我们再来看一看，狄青带着部队凯旋回来的情况吧。当狄青命令把100枚钉子拔起时，他的僚属们发现，原来，这些钱币都是狄青特制的，两面都只铸了正面！也就是说，一百枚钱全部朝上是个必然事件。狄青只是利用了人们的思维定势，利用了人们敬畏鬼神的迷信心理，机智地采用偷梁换柱的手法，骗过了他的部下，鼓舞了士气，赢得了胜利。
勇敢的叛逆者
数学史上，曾经有许多伟大的数学家因为他们的思想还不能被当时的人们理解，从而被人们嘲讽辱骂的。康托就是一例，他因为说“整数与偶数一样多”，而被人骂成是“疯子”，他的老师克朗涅克宣布不承认康托是他的学生。
康托激烈地与辱骂他的人争论，自己的精神也受到巨大的刺激，终于不堪忍受，精神崩溃，病死于萨克逊州的一所精神病医院，但他的理论并没有因歧视和咒骂而消亡。如今，他的理论已成为现代数学的基础。
罗巴契夫斯基（1792-1856）是俄国数学家。在他之前，人们研究欧几里得的“平行公设”已经有两千多年了。欧几里得在他的《几何原本》中提出了“平行公设”，即：“同平面两直线与第三直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。”这个公设通常被表述为其等价形式：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。”后世数学家认为这个公设是可以证明的，因此认为不应把它列为公设。于是很多人都设法去证明它，但结果都没能证明。
高斯、罗马契夫斯基和匈牙利的数学家波约几乎同时发现这个公设的独立性，从而可以从抛弃这个公设另以别的结论替代而得出其它的几何学。
高斯虽然是“数学王子”，但他却害怕被人骂做疯子，所以始终不敢发表他的看法，波约把他的想法发表了，但在听说高斯早已有此想法，而自己的想法又没有得到进一步承认时，他也消沉了。只有罗巴契夫斯基挺身而出，发表了自己的研究成果成为一位勇敢的“叛逆者”。在他受到别人的责难与辱骂时，他勇敢地为之战斗，后来，他连教书的权力都被剥夺，生活陷入极端困境，他仍不折不挠，抗争到底，坚信自己的意见是正确的。
现在，他创立的罗巴契夫斯基几何已得到了世界的公认，并成为广义相对论的几何支柱。在罗氏几何学中，过直线外一点可以作不止一条直线与已知直线平行，三角形的三个内角和小于180°……
可以用一个例子来形象地说明：
画一个圆及一条与圆相交的直线l，圆内还有一个不在已知直线上的点A，过点A而与直线l在已知圆内不相交的线有许多条，如果点A与直线l不动，让圆的半径增大一些，这时，在已知圆内与l不相交的直线仍有许多条。如果让圆的半径继续增大，则过A而与l在已知圆内不相交的直线始终不止一条。当圆的半径大到要多大有多大时，可以想象，过A而与直线l在这无限大的圆内不相交的直线仍有不止一条。
这个例子在形象上给了罗氏几何的相应公理作了说明。
在罗氏非欧几何之后，又有好几个人根据不同的公理系统推出了好几种非欧几何。其中“黎曼几何”因为在大地测量上获得应用，也同样受到了重视。
在科学的道路上是决没有平坦大道的，只有那些不畏艰辛、奋力攀登的人才有可能攀上高峰。
麻团的价格
麻团是许多人喜欢吃的点心。食堂计算麻团的成本，50克重的一个麻团所需的油费是1角钱，现在要问，100克重的麻团需要多少油钱？是否应收2角钱？答案是否定的。
50克与100克重的麻团大小不同，但形状一样，都是球体，是相似体。设50克重麻团的“半径”为r1，100克重麻团的“半径”为r2。根据相似体的性质，麻团的重量是与它们的体积成正比，而体积又和它们的半径立方之比成正比的。
用油量与麻团的表面积有关。面积越大，用油量越大。再根据相似体的性质，两个相似体表面积与它们半径的平方成正比。
所以收2角钱太多了。
现在我们再换一个问题：一个50克重的鸡蛋壳重5克，那么一个新品种100克重的大鸡蛋壳多重？用类似的方法可以计算出，大鸡蛋壳的重量只有小鸡蛋壳重量的16倍。所以买鸡蛋还是买大的好。
由上面计算给我们如下的启发：
大颗粒粮食的出米率要高：
大冬瓜，南瓜削去的皮较少；
千粒重的黄豆、芝麻、花生的出油率高；
大的鱼虾的鳞壳少。
公鸡蛋
从前有一个国王，暴虐任性。一次，他对一位大臣说：
“我吃的鸡蛋都是母鸡生的，现在想尝尝公鸡蛋的滋味，命令你三天内把公鸡蛋找来，我将重赏你；如果三天内找不到公鸡蛋，我就要在第四天的早晨处死你。”
大臣知道厄运将至，但又不敢公开违抗，只有悲伤地离开了朝廷。
三天过去了，大臣无法找到公鸡蛋。最后的一个夜晚，他显得异常烦躁。大臣的小儿子是一个很聪明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大祸临头了。便问道：
“爸爸有什么烦闷的事呢？”
“你小孩子家，我讲了又有什么用？”大臣有气无力地回答。
“不，爸爸！告诉我吧，或许我能为你分忧。”少年紧握爸爸的双手，使劲地摇晃着。
大臣深情地望着自己的孩子，终于说出了事情的原委。少年沉思了一会，劝爸爸不要着急，他有办法逢凶化吉。
第四天的一早，少年代替大臣上了朝。
“你爸爸怎么不来呢？”国王问道。
“启禀国王，我爸爸在家生孩子。”少年不慌不忙地回答。
少年的回答引起国王和大臣们一阵哄笑。继而，国王生气了：
“胡说！男人怎么会生孩子？”
“是的，国王。男人是不能生孩子的，正如公鸡不能下蛋一样。”少年抓住时机，一句话说得国王张口结舌，无言相对，最后只好赦免了大臣。
生活中有很多现象是类似的。我们常常根据两个类似系统的某一系统中某一公认为正确的判断，来对另一系统作出类似的判断，这种方法叫做类比。“公鸡是不会生蛋的”，这是公认的事实，可是国王却违背了这个真理。“公鸡不能生蛋”与“男人不能生孩子”是类似的两个现象。为了证实“公鸡不能生蛋”是正确的，就用“男人不能生孩子”这一公认的事实来类比，从而达到否定国王谬论的目的。
类比的方法在数学中有广泛的应用。平面上三条直线可以围成一个三角形，空间四个平面可以围成一个内面体（三棱锥）。三角形与四面体是两个类似的几何图形，它们之间可以类比。我们从三角形已有性质出发，可以推测四面体是否也有类似的性质。
三角形有3个顶点，四面体有4个顶点；
三角形有3条边，四面体有4个面；
三角形有3个角，四面体有6个二面角。
任何一个三角形都有一个内切圆，任何一个四面体是否也必有一个内切球（与四面体四个面相切的球）？答案是肯定的。
任何一个三角形总有一个外接圆，任何一个四面体是否必有一个外接球（即过四个顶点的球）？答案也是肯定的。
天文学家开普勒曾说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”数学家拉普拉斯也说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”让我们在日常生活和数学发现中，更好地发挥类比这个工具的作用吧！
踏雪擒狼
爱因斯坦是本世纪一位卓越的物理学家，被人们誉为“物理学的教皇”。
公元1879年，爱因斯坦诞生在德国。十岁时，他就进了中学。当时，德国处于军国主义的统治下，学校教育也军事化，教师就象军官，动不动就罚学生站，还用戒尺打人。课堂上把一些无穷无尽的死知识硬往学生头脑里塞。小爱因斯坦对这种军营式的生活非常厌烦，他甚至逃学了。
一天，爱因斯坦又到工程师雅谷布那儿去玩，工程师很喜欢这位聪明伶俐的少年。
“叔叔，代数学了有什么用呢？”爱因斯坦面露愁容，突然发问。
这奇怪的问题吸引了雅谷布，他注视着爱因斯坦，一会儿，微笑着说：
“坐下吧！让我来讲个故事给你听。”
听说要讲故事，爱因斯坦很高兴，习惯地坐在工程师的身旁。
“这是一个偏僻的山村。这些日子村里闹狼，弄得鸡犬不宁。一些禽畜被拖走，连三岁的小彼得都被咬伤了。人们恨之入骨，几次进山搜捕，都没有找到狼的踪迹。
“初冬，下了一场不大的早雪，可能是饿极了，一条贪婪凶残的大灰狼又闯进村子，被人们发现后怆惶逃跑。村里的猎手埃基伯拉拿起猎枪，沿着狼的足迹，踏雪追踪。
“翻过村后的山凹，足印一直伸向后山的树丛，在山腰怪石中消失了。
“‘啊，有洞！’埃基伯拉警惕地握紧手中猎枪，一步一步地逼近洞口。
“‘呜……’洞内发出阵阵吼声。这是大灰狼向猎人示威。
“‘砰！’一枪射向洞内。
“‘嗖！’一声，大灰狼突然从洞中冲出，夺路而逃。
“‘砰！’又是一枪，正好击中大灰狼的后腿。
“大灰狼倒下了，被埃基伯拉用绳子死死捆住，一点也动弹不得。
“大灰狼被捉住了，大家深深地感谢埃基伯拉，赞扬他为民除害，做了一件好事。”
猎枪，大灰狼，勇敢的猎人，踏雪追踪，这一切对爱因斯坦来说是多么有吸引力呀！他们比代数课里那些枯燥无味的式子要有趣的多了！然而代数到底有什么用呢？爱因斯坦感到工程师并没有回答他的问题。
“我们代数里也有‘大灰狼’”，雅谷布又继续讲了起来。
“方程里的未知数x就是我们要逮的‘大灰狼’”。雅谷布伸出右手食指向前方指了一下，似乎‘大灰狼’就在那里。
“捉大灰狼不容易，解方程也不简单。去分母，脱括号，移项，合并同类项……可是当你经过一番努力，求出方程的解以后，你就会感到有一种说不出的满足和愉快，正好象猎人逮住大灰狼时的心情一样。”
雅谷布站了起来，在屋内踱了几步，转过身来，微弯下腰，面向爱因斯坦，殷切地叮咛：
“方程是代数学的主要内容之一，它是解决应用问题的有力武器。爱因斯坦，希望你象猎人一样，勇敢地拿起这杆‘枪’，去学习，去战斗吧！”
雅谷布的故事萌发了爱因斯坦对代数的兴趣，他的智慧之窗打开了。从此，在雅谷布的指导下，他开始兴趣融融地自学起初等数学来，后来还刻苦自学了高等数学，并利用数学这门工具最后成为世界上卓越的物理学家。
数学家的记忆力
我们在日常生活和学习中，每天都要接触大量的事物，其中有些容易记得，有些不容易记得，这是什么原因呢？原来记忆是和注意密切相关的。有些事物虽然经常见面，但未引起思想上的注意，所以过目而忘。反之，在反复观察，研究某一事物过程中，予以高度注意，就容易记得。
我国着名数学家吴文俊教授，整天忙于研究数学，就连自己的生日都记不得。一天，一位客人来拜访他，见面就说：
“听您夫人讲，今天是您的60大寿，特来表示祝贺！”
吴教授听了，若无其事地说：
“噢，是吗？我倒忘记了！”
客人感到迷惑不解，心想：“这位数学家恐怕是老糊涂了，不然怎么连自己的生日都忘了呢？”可是，后来客人发现并非如此，当他俩谈到吴教授所研究的用机器证明几何问题时，客人指着教授所设计的一台机器问道：
“这台机器是什么时候安装好的？”
“去年12月6日。”教授不假思索的回答。
“您在研究用机器证明几何问题方面有哪些进展？”客人又问。
“大的进展谈不上。今年1月11日以前，我为计算机编了300多道‘命令’的程序，完成了第一步准备工作。”教授继续回答。
这时，客人十分惊讶地问道：
“吴教授，您自己的生日都记不住，但这几个日子却记得很清楚，这是什么原因？”
吴教授爽朗地笑了：
“我从来不记那些无意义的数字。在我看来，生日，早一天，晚一天，有什么要紧？所以，我的生日，爱人的生日，孩子们的生日，我一概不记，但是有些数字就非记不可，也很容易记。例如，年底，当然是12月；而6正好是12的一半。年初，自然是1月，而1月11日，排成阿拉伯数字是111，三个1连排，很好记。”
爱因斯坦的电话号码是24361。别人问他怎样记住这个数据的，他回答说：
“两打，再加上19的平方。”
波修（1730-1814）是一本着名的数学和流体力学教程的编写者，他的一位朋友得知他病危的消息后，特地赶到他家去看他。
“病人快咽气了！”医生说。
“他已经不能讲话了！”亲人们呼唤半天，不见一点反应。
“别着急，”客人说：“我有一个办法。”
他走到奄奄一息的波修床前，大声问：
“12的平方是多少？”
“144！”数学家低声回答，说完这个数字，他就停止了呼吸。
学习数学需要一丝不苟
我们常听到同学说：
“老师，我这题只错了一个符号，怎么算全错？”或者说：“小数点错了一位，为什么扣那么多分？”
