阿基米德（公元前287-前212年）在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱（就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高）的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容。假设圆柱底面半径为R，我们不难用公式来验算这个结论。圆柱的体积为V圆柱=πR2·2R=2πR3而V球=πR3阿基米德非常重视这个发现，嘱咐别人在他死后，能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。
阿基米德研究数学时聚精会神，可以说是废寝忘食。冬天吃饭时，他常坐在火盆旁，一手端着饭碗，一手在火盆的灰烬里画着几何图形，都忘了吃饭。
有一回，因为一个数学问题没解决，他埋头钻研，一直没空去洗澡，身上很脏，发出一股难闻的气味。家里人硬把他推进浴室。那时候的人有个习惯，洗完澡后要在身上擦香油膏。阿基米德在浴室里洗了好半天都不见出来，家里人感到很奇怪，在门外喊他也不见回音，便推门进去一看，原来他正坐在浴盆旁的凳子上，用手蘸着香油膏在皮肤上划几何图形哩！他研究几何图形时，脸上总是笑呵呵的，嘴里还叽里咕噜，家里人说他像被神附了体一样。
阿基米德为人谦逊，对待科学严肃慎重，他曾说过，他的一切发现别人都会发现，他毫不隐讳自己作品中的错误。他在自己所写的《螺线论》这篇文章中，坦率地承认自己在以前的着作中所犯的某些错误，让读者从中吸取教训。人们非常赞赏他这种高尚的品德。恩格斯夸奖他是对科学作了“精确而有系统研究”的代表人物之一。一位俄国数学家还在着作中写下了赞美他的诗句：
“这儿阿基米德出现了，
那古代的哲学家，
谁也不能和他相比拟，
他的功绩全世界第一。”
数学家巧破杀人案
伽罗华（公元1811-1832年）是法国数学家，十九世纪杰出的数学天才。他生于法国巴黎近郊布伦的一个小村子里，因决斗而卒于巴黎。
鲁柏是伽罗华的好友。一天，伽罗华得知鲁柏被刺的不幸消息，急忙奔赴探询。女看门人告诉伽罗华，警察已勘察过现场，没有发现其它线索，只是看到鲁柏手里紧捏着半块没有吃完的苹果馅饼，令人费解。她认为作案人可能就在公寓内，因为案发前后，她一直在传达室，没有看见有人进公寓来。可是这座四层楼的公寓，每层有15间房，住着100多人，情况比较复杂，这可能是警察到目前还未能破案的原因。
数学家思索着。最后，请女看门人带他到三楼，在314号房门前停了下来，问道：
“这房间是谁住的？”
女看门人答道：
“米塞尔。”
“这人怎样？”
“他爱赌钱，好喝酒，昨天已经搬走了。”
“这个米塞尔就是杀人凶手！”数学家肯定地说。
女看门人非常惊奇，忙问：
“有什么根据？”
数学家分析说：
“鲁柏手里的馅饼就是一条线索。馅饼英语叫Pie，而希腊语Pie就是π，即通常说的圆周率。人们在计算时，常取π的近似值314。鲁柏是一位喜欢数学，善于思考的人，临死时他终于想到用馅饼来暗示凶手所住的房间。”
根据数学家的分析，警方经过侦察，最后逮捕了米塞尔。经审讯，米塞尔承认因赌博输钱，看到鲁柏家里汇来巨款，遂生杀机。
伽罗华从小就受到良好的家庭教育。童年时代，他在母亲的辅导下进行学习。12岁进入中学读书。起初，他努力学习希腊语和拉丁语。后来，他对数学产生了浓厚的兴趣，以惊人的速度读了许多数学着作。19岁时，他的数学天才被他的数学教师慧眼所发现，在老师的指导下，他深入研究了一些数学理论，并取得了划时代意义的成果。
伽罗华在巴黎高等师范学校读书时，因参加政治斗争，公开反对国王制度，揭露了校长在法国七月政变中的两面行为，又得罪了校长。伽罗华被学校开除，并两次入狱。监狱生活严重摧残了他的健康。
1832年，伽罗华出狱后，在一所疗养院医疗，由于政治和爱情的纠葛，他又陷进政敌为他设置的一个陷井，在一次决斗中，他身负重伤，第二天便离开了人世。
伽罗华是一位杰出的数学天才，可惜他在人世间仅活了21个春秋！他的早逝，无疑是世界数学界的一大损失。
地毯与火柴
一个魔术师拿着一块边长为8尺的正方形地毯去找一个地毯匠，要地毯匠把地毯改成长为13尺宽为5尺的长方形地毯。
地毯匠算了一下，说：“你拿来的地毯只有64平方尺，而你要我把它改成65平方尺的长方形地毯，怎么可能呢？我又不象你，会无中生有变魔术。”
魔术师笑了，“我不是为难你，你照我画的办法剪裁拼接，包你做得成。”魔术师拿出一张图给地毯匠，说：“你按我第一张图中的粗线把地毯裁开。然后你再按第二个图就可拼接成一个513的长方形了。”地毯匠横看竖看，始终看不出破绽，但又不敢下剪刀。
这究竟是怎么回事呢？
如果注意到这里涉及的各种图形的外形尺寸主要数据不外乎3、5、8、13这四个数，你就可以发现，这些数正是“斐波拉契数”。原来，斐波拉契数fn满足规律：
fn2－fn-1fn＋1=（-1）n＋1。
魔术师正利用了这一点企图愚弄地毯匠。但如果你仔细画一个大一点的图，你就可以发现，在拼接513长方形中，中间是有空隙的，这个空隙面积恰好等于1平方尺。
现在，大家明白了，这原来是利用斐波拉契数玩的把戏。
那么，如果要问：倘若真按上面的方式，使裁后拼成矩形的面积保持不变，应如何裁呢？拼成矩形长宽又各为多少呢？
设裁成直角边长为x及8的两个直角三角形及上、下底分别为x及8-x的两个梯形，拼成边长为8-x及16－x的矩形。据题意，有（8－x）·（16-x）＝82（取“＋”号时的根＞8，舍去）
个长方形地毯条，再把小长方形按对角线裁开成两个直角三角形，而得到直角梯形。这样才能拼接无误。
如果算出x及8－x的近似值，就可得到答案。
这两个数分别相当地接近3与5。
这个数正是“黄金分割”数。原来，斐波拉契数与黄金分割数有相当密切的关系。
还有一个“火柴游戏”：
有一堆火柴，至少2根，二人轮流从中取，先取的一方可任取，但不允许一次取完。以后取的一方所取火柴数不得超过对方刚才所取火柴的2倍。但每人每次都不能不取。规定取到最后一根者为胜。
如何制胜？有秘诀吗？
如果火柴只有2根，那么，先取者必败。
如果火柴有3根时，先取者败。
如果火柴有4根，先取者可胜。
如果火柴有5根，先取者败。此时先取者第一次取2～4根时，后取者取余下的；先取者取1根时，后取者也只取1根；先取者此时至多取2根，余下的被后取者取完。
如火柴有6根，先取者胜。他只取1根，后取者取1～2根。后取者若取1根时，先取者仍取1根，后取者取1～2根，先取者取余下的，胜。若第二次后取者取2根时，先取者可取余下的，胜。
经过实验，马上知道，若火柴根数是斐波拉契数时，后取者只要掌握窍门必胜；而火柴根数不是斐波拉契数时，先取者只要掌握窍门必胜。
大家可就根数为7、8、9……时设计出取胜的方法验证。这个结论是可以从理论上加以证明的。不过推证起来较为麻烦，这里就从略了。
批注之谜
我们知道，x+y=z是一个三元一次不定方程，它的正整数解有无穷多个。x2+y2=z2是一个三元二次不定方程，它的正整数解也有无穷多个。
在初中平面几何中学过勾股定理，根据这个定理，直角三角形三条边的长就满足这个方程。人们必然要问：x3+y3=z3、x4+y4=z4有没有正整数解呢？一般地说来，xn+yn=zn（n是大于2的整数）有没有正整数解呢？最早提出这个问题的是法国数学家费尔马（1601～1665）。
公元1637年，费尔马经过反复研究，提出了如下的结论：对于方程xn+yn=zn，其中n是大于2的整数，不存在正整数解。这个结论被人们称为“费尔马大定理”。之所以称为“定理”，是因为当时费尔马声称，他已能证明这个结论。他在一本书的空白之处以批注的形式写道：“我已经找到了这个令人惊异的证明，但是书页太窄了，无法把它写出来。”可是，人们此后找遍费尔马的着作，并未能找到批注中所讲的“证明”。
为了解开这个批注之谜，数学家和业余数学爱好者纷纷开展了对这一问题的研究。可是，问题研究了一百多年都没有能够解决。公元1850年、1853年，法兰西科学院两度以二千法郎的奖金悬赏征解，但都失望了。1908年，德国哥廷根科学院又以十万马克巨金悬赏，征求费尔马大定理的“谜底”。
科学发现的荣誉，高额的悬赏，引得大批业余数学爱好者对这一问题进行研究，不少人还声称得到了“证明”，但经过权威数学家的“审查”，这些“证明”均一一被否定。哥廷根科学院不堪审稿的烦扰，一方面把奖金降为七万五千马克，另一方面又以仅接受公开发表的文章为由，打发了一大批“证明”者。但这样做的结果又产生了副作用：社会上又出现了成千种公开发行的所谓“费尔马大定理证明”的小册子，以及上万篇同样性质的文章。当然，这只是“费尔马大定理”证明历史长河中的一股支流，应该充分肯定的还是长期来一些优秀数学家所作出的努力和获得的成果：
欧拉（Euler）证明了n=3，4的情况；
1823年，法国数学家勒让得证明了n=5的情形；
1840年，法国数学家拉梅和勒贝格证明了n=7的情形；
1849年，德国数学家库默尔证明了n=3～100（37、59、67除外）的情形，但其中有错误；
1976年，美国数学家证明了2n1000000的情形。
当然，以上这些数还包括它们的倍数在内。1983年，前联邦德国乌珀塔尔大学29岁的讲师法尔廷斯（Falitings）证明了数学中的“莫德尔猜想”。这个猜想的一个直接推论是，对任何固定的正整数n（n＞3），xn+yn=zn至多只有有限多组互素的正整数解。
接着，希思-布郎又证明了，对“几乎所有”的n，费尔马大定理都是成立的。
1988年3月10日，美国《波士顿环报》报导，日本数学家宫冈在前联邦德国一数学研究所证明了费尔马大定理。可是时隔仅一个月，美国《科学新闻》及其它一些报刊报导，着名数学家们在检验了宫冈的手稿后说，证明在细节上是有问题的。
1993年6月23日，一个令人震惊的消息在全球传开了——350年来悬而未决的费尔马大定理终于被40岁的英国数学家安德鲁·怀尔斯所解决。
怀尔斯现在美国普林斯顿大学工作，他是一位具有世界水平的数论专家。1993年6月21日～23日，他在故乡英国的剑桥大学艾萨克·牛顿数学研究所一连三天以“模形式的椭圆曲线和伽罗瓦表示”为题进行演讲。开始，谁也看不出他有讨论费尔马大定理的意图。最后那天，在演讲的结尾部分，怀尔斯总结说，他证明了由日本学者谷山丰提出的一个猜想。在场的专家们立刻意识到，这意味着：怀尔斯已经证明了费尔马大定理。
人们纷纷举起相机，抢拍下这一历史的镜头。接着是一片经久不息的掌声。成千上万的祝贺电话、邮件象雪片似地飞来，世界各大报纸竞相报导这一消息。
怀尔斯的证明是否正确？这有待数学家们详细的审查。不过，国际数论权威邦别里、里贝特、梅热、阿德勒曼等均对此表示乐观的态度。这是因为怀尔斯研究作风一向严谨细致，而且他的推理是以近30年来诸多数学家的成果为根据，这些根据都是可靠的。
现在看来，费尔马当初的“批注”，如果不是开玩笑的话，那么，他的“证明”一定是有问题的。因为仅用当时数学知识，是根本无法证明这个定理的。不过，开玩笑也好，犯错误也好，费尔马的“批注”毕竟建立了历史的功勋，因为他吹响了攻克费尔马大定理的进军号。
飞矢不动
养由基是我国古代最有名的射手。他射箭的技术非常高超，如果任意在一棵杨树上指定一片树叶，养由基站在百步之外，弯弓搭箭，嗖的一声，这片树叶就被他射穿了。这就是“百步穿杨”的功夫。
有一天，养由基正在表演他的“百步穿杨”绝技，有一个叫芝诺的希腊人走了过来，笑嘻嘻地说：“我今天准保能让你的飞矢不动！”
养由基听了大惑不解，说：“我射出的箭谁都阻挡不住，你怎么能让它飞着飞着突然就不动了呢？”
芝诺神秘兮兮地说：“我说你的箭是根本无法射出的。”
养由基更觉奇怪，“我的弓是最好的弓，箭也是最好的箭，我又是天下无双的射手，怎么可能射不出箭呢？”
芝诺说：“那你就听我慢慢说出其中缘故吧。现在假定你张满了弓，搭上了箭，箭头设为点O，你瞄准了百步之外的杨树叶点A。你的箭最后要射中点A，对吗？”
养由基说：“当然万无一失要射中的！”
“好，你听着，你的箭要射中A，必定要先经过线段OA的中点A1，对吗？”
“对！”
“箭要经过A1，又得先经过线段OA1的中点A2，对吗？”
“是呀！”
“要经过A2，又必须先经过线段OA2的中点A3，这也是对的吧？”
“一点也不错。”
“你想想，OA3还有中点A4，那你的箭又要先经过A4啰”，等养由基回答，芝诺又说了：“照此下去，要经过点An，都必须先经过OAn的中点An+1，这自然是千真万确的，于是A1、A2、A3……这些点一个比一个更靠近点O，而每个线段又总是有它的中点，那么，请问，你的箭最先应该经过哪一个点呢？”
养由基这一下抓头了。“是呀，我的箭最先应该经过哪个点呢？这倒真成问题了。我射箭这么多年了，我还真从来没有想过这个问题呢！”
“是呀！”芝诺这一下可神气起来了，“你既然连你的箭首先通过哪个点都找不到，又怎么能让你的箭依次通过后面的那些点呢？”
养由基放下了弓，沉默不语了。
芝诺洋洋得意起来：“现在你该服了吧。所以我说，你的箭是根本射不出去的，这也就是说：‘飞矢不动’了。”
养由基是中国人，芝诺则是希腊有名的诡辩家，他们当然不会有这番对话，但这个故事却是古代希腊的几个有名的悖论之一。
与这个悖论相似，芝诺还设计了另外一些悖论，“阿其里斯追龟”则又是其中的一个：
据说阿其里斯是跑得非常快的一个人，芝诺却说，阿其里斯追不上乌龟。
假定乌龟在阿其里斯前面10米，而阿其里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿其里斯跑完10米时，乌龟已经前进1米，而当阿其里斯再前进1米时，乌龟又前进了01米，仍在阿其里斯前面，阿其里斯再前进01米，乌龟又前进了001米……如此下去，乌龟永远在阿其里斯前面，所以尽管阿其里斯跑得飞快，也永远追不上乌龟！
