①A类点（位于抛物线内部），过该点作与抛物线相交只有一个公共点的直线有且仅有一条。此时该直线应平行于抛物线的对称轴。如，过点(1，4)，则所求直线为x=1。
②B类点（位于抛物线上），过该点作与抛物线相交只有一个公共点的直线有两条。以(1，1)为例，由y=x2，利用求导可知(1，1)点处的切线斜率为f′(1)=2，即只有一条切线y=2x-1；同时过该点可做于对称轴平行的直线x=1也满足要求。所以过抛物线上的点，可以做与抛物线相交只有一个公共点的直线有两条。
③C类点（位于抛物线外部），过该点可以作三条与抛物线相交仅有一个公共点的直线。以(2，0)为例，一条平行于抛物线对称轴，即x=2；另两条为切线，设斜率为k，联立y=k(x-2)
y=x2，得x2-kx+2k=0，令△=0，解得：k=0或8。所以过抛物线外一点，可以做与抛物线有一个公共点的直线有三条。
【点拨】：经计算可知，此时的问题与上面双曲线问题也恰有相似，即有一个公共点未必一定相切。首先应该考虑点的位置，并结合抛物线对称轴去研究此类问题。抓住导数以及直线平行于对称轴这两个关键。
关于过定点的直线与圆锥曲线有一个公共点的问题，经常在考试中出现，而且上述后两种情况更是学生易出错的。通过整堂课的讲解，使这个问题得以一般化，并且点拨了从“曲线的特点——点的位置——针对各类点的通法”这一普遍的解题规律，使学生更充分的了解了问题的解决方法和深度，对我们学生进一步掌握圆锥曲线大有益处。
案例10有关抛物线的十个定理
顾建伟
抛物线有关的几何最值问题，在高中数学教学中经常碰到，在教学中我通过归纳总得到了十个有趣的结论。现用定理形式叙述如下：
定理1、抛物线的所有焦半径中，以过顶点的焦半径为最短。
定理2、抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通径为最短。
定理3、设A(a，0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点，(x，y)是抛物线上的动点，则
MA|min=|a
p(2a-p)
定理4、设A(a，b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点，F是焦点，M是抛物线上的动点，则(|MA|+|MF|)min=a+p2
定理5、设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦，分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M，则三角形ABM的面积的最小值为p2
定理6、过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则三角形OAB的面积的最小值为4p2。
定理7、抛物线的y2=2px(p＞0)内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2
定理8、设AB是抛物线的焦点弦，准线与抛物线对称轴的交点为M，则∠ABM的最大值为π2
定理9、设AB是抛物线y=ax2(a＞0)的长为m的动弦，则
I.当m≥1a（通径长）时，AB的中点M到x轴的距离的最小值为2ma-14a；
II.当m＜1a（通径长）时，AB的中点M到x轴的距离的最小值为am24；
定理10、设AB是抛物线y2=2px的焦点弦，O为坐标原点，则三角形OAB的面积的最小值为p22。
案例11秀枝一株，嫁接成林
李红宇
人教版《立体几何》（必修）中有这样一道习题：从一个正方体中，如图49那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥Ａ－BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
此题，大多数同学会这样思考：
设正方体的棱长为2a，它的体积可通过求任意一个面（如面BCD）的面积和这个面上的高来完成，于是体积比可求。仅停留在这个层面来认识这道题，不免有些遗憾。其实，这是一道可用来培养学生发散思维，归纳体积的计算方法，同时引导学生复习立体几何有关性质及掌握处理立体几何有关问题的方法与技巧的好题。
点拨１：除以上方法外此题还有其他的解法吗？
灵活的学生会想到：设正方形的棱长为a，由正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积得VA-BCD=a3-4×16a3=a33∴VA-BCDV正方体=13a3a3=13
归纳：比较先后两种解法的优劣，指出计算体积的两大基本方法：直接法和间接法。
点拨２：回到直接法中去，问：求面BCD上的商除直接运用勾股定理外，还有其他方法吗？图50
连接AC1，凭直接思维可能会有什么特殊的线面关系出现？
(AC1⊥面BCD)
接着问：这时怎么求面BCD上的高？
∵AC1＝3a，学生会想到先求三棱锥C1-BCD的高后再作差。
由三棱锥C1-BCD是正三棱锥，可用直接法通过勾股定理求高。
再问：这高是否有其他的求法呢？继续引导：由VC-BC1D可求，Ｓ△BCD可求，则面BCD上的G高如何求？学生会想到VC-BC1D=VC1-BCD列方程，求面BCD上的高。
归纳：如一个三棱锥的体积可求，且某一面的面积可求，则这个面上的高（本质：点到面的距离）可求。这种求高（或距离）的方法叫体积法。
点拨３：如图51，把正四面体ABCD移出，画成标准图形。
提问：能否不通过求高而求出它的体积呢？
引导：正四面体ABCD的每一个面都是正三角形，现取BD的中点为O，连AO，CO，会有什么结论出现？
学生讨论得出：
①BD⊥面AOC；②△AOC是等腰三角形且面积可求；
③截面AOC把正四面体分割成两个全等的三棱锥，OB与OD是它们的高。
归纳：当直接求几何体的体积比较困难时，可经过某些特征的点和线适当作截面，把原几何体切割成几个体积易求的几何体，这种求体积的方法叫切割法。
综上所述，通过对一道简单课本习题的点拨，深入浅出地把计算体积的基本方法归纳了出来直接法、间接法作差、切割、补形，深化了课堂教学内容，做到了知识规律的条理化。
案例12二项式的展开
李芳
二项式定理第一课时的教学片段如下：
提问学生“对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？”学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1)项了，但唯独二项式系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用a0n，a1m…ann来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+Cnnbn，现在的问题就是要找Crn的表达形式。为此我们要采用抽象分析法来化简计算，揭示本质，也就是把与研究无关的字母放在一边，把其中二项式系数抽象出来，我们就可以在纯粹状态下研究它的计算与变化的规律了。我们把(a+b)，(a+b)2，(a+b)3的二项式系数分离出来就是(1，1)；(1，2，1)；(1，3，3，1)；而由3(a+b)的展开二项式系数求(a+b)4展开二项式系数的算式简化如下133114641，这种简化之后的算式能清楚地反映出从(a+b)n－1的二项式系数到(a+b)n二项式系数的递推规律，把从n=1到n=5的计算过程写出来就是。
再请大家仔细观察一下，将二项式系数编排一下，可以得到二项式展开二项式系数的最简算式：顺势引入美学机制，在最顶上添上1，这个算式就成了一个正三角形，我们称它杨辉三角形，类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现。
接着与学生一起归纳，猜想(a+b)n各项二项式系数为C0n，C1n，…，Cnn，由同学们观察不难验证发现C0n=1，C23=1+2，C24=1+2+3，a25=10对我们有，提问“对1，3，6，10这个数列同学们是否熟悉？”
学生：它是自然数前n项和组成的数列。老师：所以我们有C22=1，C23=1+2，C24=1+2+3，C25=1+2+3+4。于是我们猜想C2n=1+2+3+…(n－1)=n(n-1)2，大家根据C0n=1，C1n=n，a2n=n(n-1)2联想一下它与什么一致。
学生：组合数。
老师：对了，所以有理由再猜一次：arn=Crn，由此我得到(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-r+…+Cnnbn。最后用组合知识证明并推广。
这节课在点拨二项式展开的规律时有条有理，学生也积极的参与探索过程，收到了较好的教学效果。
案例13个别点处的导数
倪晓熠
一、案例背景
\[展示幻灯片：练习3\]函数y=13有没有单调区间？
师：y=13又称为什么函数？
生1：常数函数。
师：它的图象是什么，单调区间是什么？
生1：一条直线，平行于X轴的。
生2：没有单调区间。
师：那么y=13在整个定义域的导数符号怎样？
生：在整个定义域上都有y′=0
师：（点评规律）函数y=f(x)在某个区间内恒有y′=0，那么在这个区间上这个函数是常数函数。常数函数无单调区间。
\[展示幻灯片：练习4\]
对于区间（a，b）内的一点x0，下列说法正确的是（）
A若f′(x0)=0，则f(x)在(a，b)内不是增函数
B若f′(x0)=0，则f(x)在(a，b)内不是减函数
C若f′(x0)=0，则f(x)在(a，b)内既不是增函数也不是减函数
D以上都不正确
生：（非常兴奋，根据前一练习的规律，脱口而出）选C。
（少数学生则犹豫不定，不敢回答）
师：（停顿片刻）对吗？仅靠这一点的导数符号就可以判断了？
生：（很多学生这才如梦方醒）要在整个区间上讨论的。
师：（点评规律）函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判断，而不是用一点处的导数符号来判别一个区间上的性质。
师：对A、B、C选项，能否给出反例呢？就是说某一点f′(x0)=0，函数在区间上还是具有单调性。
生3（一位思路相当活跃的学生）：y=x3，（又不太自信）（其他学生思考并动手画图，有的已经点头表示赞同）
师：（点评）有的可导函数在某区间内的个别点处的导数为0，但不影响其单调性，（多媒体展示：y=x3的图象）。
二、案例反思
美国心理学家布鲁纳提出的学习理论——发现说，否认学习是被动地形成刺激—反应之间直接的联结，认为学习应当是主动地形成或重组认知结构的过程。他强调学生学习知识的过程是一个发现过程。
很多规律性的知识点都是比较抽象的，如果一味地灌输给学生，学生只会象背古文一样把它一字一句地记住，而在实际应用中他们可能心有满腹经纶，而无用武之地。按照认识—实践说，这些规律性的知识点都反映在数学应用当中，我们何不以应用为船舵，让学生在浩瀚的知识海洋中自我探索呢？规律性的知识就象是指南针，教师只需把它们由浅入深、循序渐进的呈现，这是一种愉快且有效的学习过程。
