在这一节课里，你学习的反函数就是我表演猜牌魔术的理论根据。（全班同学都带着好奇开始了这堂课的学习）
案例9魔术的奥秘
朱华斌
数学教学既是一门科学又是一种艺术，而数学新课如何引入才能调动学生的积极性，这直接关系到课堂教学效果的优劣。“知之者不如好之者，好知者不如乐之者”，在新课的引入中如果能寓趣味于其中，就可以激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心和求知欲。下面介绍一个我在教学过程中的具体实例。
在学习函数与反函数的关系这个内容时，当我走进教室后，取出了事先准备好的一副扑克牌，学生一见，马上开始骚动。当听说我要表演一个小魔术，学生立刻来了兴趣，一个个抬头望向我，课堂也安静了下来。我从牌中取出6张（不含王牌，也不含牌号相同的），然后翻过来打乱，让六位学生每人在我手中抽取一张，并嘱咐记住所摸的牌号，牌号规定：A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数为准。然后我让他们按如下方法进行计算，将自己的牌号数乘以2加3后再乘5，再减去25，把计算结果告诉我，当我一一把六位学生手中的牌猜出后，下面一片啧啧称奇声。于是我就宣布这节课的正题，就是要和大家一起在今天的学习中破解这个小魔术的奥秘。在接下来的上课过程中，我发现学生听的特别得用心，这样，利用上课开始时的三，五分钟时间，通过一个小魔术，把学生的学习积极性调动了起来，从而取得了非常良好的效果，达到了预期的教学目标。
【魔术破解】
借助函数与它的反函数之间的关系可以破解此魔术。
设牌号数为x，则按我说的计算方法可以得函数y=5（2x+3）－25
即y=10x－10（1）由题意知，定义域为{1，2，3，…，13}，
则可求得值域为{0，10，20，…，120}
求（1）的反函数可得：x=f-1(y)=110y+1（2）
其中y{0，10，20，…，120}，x∈{1，2，3，…，13}
当学生把函数值y告诉我后，我很快就从反函数式（2）中求得对应的x值，即为牌号数。比如，某学生告诉我他算出的结果是100，则x=11，即他拿的牌是J。
案例10赚大钱的方法
葛晓荣
现在随着信息技术的发展，学生的阅读量及阅读面均大大地增加，他们的思想方法，思维方式，对事物的观点、看法都呈多元化的趋势。因此，要找一个新颖、能吸引每个学生且能产生较好教学效果的引入不是一件轻松的事。有时候，需要教师认真动脑，对一些现成的引入进行改编，甚至进行原创。
案例背景分析
以数列章节的引入为例。教材上给出了一个国际象棋发明者与印度国王的小故事，从而来激发学生的兴趣。原本这是一个不错的引入，但随着这个引入被反复地使用，而且在教材之外，许多地方也能找到这个小故事。这样，这个引入就显得不够新颖了。很有可能当你绘声绘色地描述这个故事的时候，下面有些学生心里冒出两个字——老土！这样引入就达不到预期的效果了。另外，对这个引入，有些学生可能不感兴趣：拿得出拿不出管我什么事，不就是个传说嘛！而且从知识点来分析，教材上的引入给出的是一个等比数列求和问题，从数列的开头到等比数列求和，教学时间间隔比较长，这也会削弱引入的效果。所以在实际教学中，我没有采用这个引入，而是自己创作了一个引入。教材上的引入，让感兴趣的同学自己去看。
案例实录
师：请同学们把门窗都关好。
学生很疑惑，纷纷问为什么。
师：因为今天我有一件很秘密的事要跟大家讲，希望大家不要把事情传出去。
一听“秘密的事情”，学生们都很来劲，马上关好门窗，提起精神，准备听一听“秘密的事情”。
师：最近我发现了一个可以赚大钱的方法，但由于本金不够，需要向大家集资。当然，这个集资是完全自愿的，而且我的回报是非常丰厚的。你只要第一天投资1元钱，我就会回报给你100元；第二天投资2元钱，我会回报给你200元；第三天投资4元钱，我会回报给你300元；第四天投资8元钱，我就会回报给你400元；……这样，一个月之后，你就不需要投资了，而我会将所有的回报一次性付给你们。你们有没有人愿意投资的？
（板书：1，2，4，8，……，100，200，300，400，……）
学生们半信半疑，有些拿出笔来算，有些则问：那你到底有什么方法赚大钱？
师：那再给你们透露一些秘密吧！彩票大家都知道吧？
众学生点头。
师：每注最高奖金多少？
生：500万。
师：我现在研究出一个方法，可以每期都中500万！你们说能不赚大钱吗？
生：你的这个方法能不能教给我们？
师：那不能告诉你们，让你们投资就已经很不错了，不要得寸进尺！
学生们有些犹豫，还有一些说：你让我们投资的钱是翻上去的，这个长得很快的！
（由于之前跟学生们介绍过一张纸对折多少次可以超过珠穆朗玛峰的问题，学生有了一点印象，知道“翻上去，长得很快的”。让他们上钩有难度了！还得加把劲。）
师：罢了，罢了！为了显示我的诚意，我再亏一点：你们只要第一天投资1分钱！第二天2分；第三天4分，第四天8分，……，而我的回报不变。这样，长得再快，也长不了多少吧！再说我们仅以一个月30天为限。当然你们现在身上不会有1分钱的，等到凑成整的再付给我好了。这么样，如果这样你们都不肯投资的话，那就算了。
过了几秒钟，终于有5位学生举手，表示愿意照我提出的方案进行投资。
师：好，合同我们就不签了，其他每个同学都是证人。到时，如果我不付给这五位同学钱，或他们不付给我钱，你们可都要作证的！好了，现在我们开始上新课。
……
自我评析
这个引入因为是原创的，所以就显得比较新颖。一开始故作神秘，引发了学生的好奇心。接着提出投资方案，跟每个人都有关系，学生的关注程度显然就比较高。参与投资的一位同学为了搞清这个问题，课后马上自学了整个章节，得到了结论：“老师，我们亏大了，你可真是找到了一个赚大钱的好方法！”另外，该引入中既有等比数列求和问题，又有等差数列求和问题，比教材上的引入多涵盖了一个知识点，而且与接下去的教学联系更加密切。而针对现在社会上骗术越来越多，越来越“高”。在该引入中，教师扮演了“骗子”这一角色。这样，一方面让学生感受到数学的实用性（学了这一章后，类似这样的骗局就不会上当了），另一方面教导学生遇事多思考，不要贪小便宜。
当然，这个引入也有不足之处：一些细节还需要深加工，应变能力还不是很强，课堂上花费的时间相对也比较长。希望广大同行多提宝贵意见和修改建议，以帮助我改进它。
案例11儿歌童谣与数列
金建明
学生童趣未泯，利用数字化的儿歌童谣有效地辅助教学，迎合了学生的心理特征。我采用了一则儿歌《青蛙》，展开高一数学第三章“数列”的课堂教学。
师：同学们，你们在小时候都唱过儿歌，我这儿有一则儿歌想请一个同学来唱一下。(投影仪显示)
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2声跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水。
(学生踊跃举手，一学生照以上内容唱了一下)
师：下面怎么唱？如何接着唱？
生：4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿，扑通4声跳下水。
师：这位同学唱得对吗？
生：(齐声)对！
师：我想大家都会唱，但是青蛙很多很多，唱得完吗？
生：唱不完。
师：那怎么办？讨论一下。
生：只要把规律讲清楚就行。
师：什么规律？
生：嘴的张数与青蛙数相等，眼睛数是青蛙数的两倍，腿数是青蛙数的4倍……
师：能不能换一种方式表示，比如用字母呢？
生：有n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水。
师：由以上我们得到几列数：
青蛙：1，2，3，4，……，n；嘴：1，2，3，4，……，n；
眼睛：2，4，6，8，……，2n；腿：4，8，12，16，……，4n。
像上面的例子中，按一定次序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第二项，……，第n项。从而开始了数列的教学。
案例12谁拿的钱多
王元真
许多学生在学习数学时会觉得数学抽象难懂、枯燥乏味，不像物理、化学那样贴近生活、实用性强，事实上，数学是一门基础学科，来源于生活，应用于生活，只要我们用心去观察，生活中处处有数学。教师作为课堂的组织者与引导者，要善于运用生活中的问题激发学生的学习兴趣，让课堂活跃起来。下面是我在引入“等比数列”概念时的一个课堂片断：
问题一：同学们都向父母要过零花钱，假如小王每天向父母要1元，那么一个月内小王每天拿到的零花钱的金额构成一个什么数列？（复习学过的等差数列的定义）
问题二：小李在一个月的第一天向父母拿1元钱，第二天拿2元，第三天拿3元，…，第n天拿n元，…，那么这个月（共31天）的最后一天拿到几元？这个月共拿到几元？（复习等差数列的通项公式与求和公式）
问题三：小张在一个月的第一天向父母拿1分钱，第二天拿2分，第三天拿4分，第四天拿8分，…，请同学们思考，按照这样的规律，第五天拿到多少钱？第六天呢？第n天呢？（引出等比数列的定义，并用定义归纳出等比数列的通项公式）
问题四：请同学们想一想：在一个月内，是小李拿到的钱多，还是小张拿到的钱多？
对于这个问题，大家都很有兴趣，教室里立刻议论开了，分组讨论片刻后，各组代表发言，“小李拿到的金额成等差数列，首项是1元，公差是1元，起点高，递增比较慢；而小张拿到的金额成等比数列，首项是0.01元，公比是2，起点底，递增比较快”——这是大家共同的结论，至于总金额谁多，意见并不是很统一。我引导大家，小张拿得多或者小李拿得多，目前大家只是猜测，猜测需要科学证明，虽然我们还没学等比数列的求和公式，但可以用通项公式计算小张在这个月的最后一天那到多少钱。（引导学生养成“归纳——猜测——证明”的思考习惯，提高思维的严密性）
大家运用公式求出了第31项：a31=0.01×230=0.01×10243＞0.01×10003=107（要求学生在没有计算机的情况下学会近似计算）比一千万还多，这个结果大得惊人，已经远远超出另一个数列的和，真是“不算不知道，一算吓一跳”！这还只是第31天的金额，仅仅一天，就成了千万富翁！！此时，同学们都很激动，趁热打铁，我引导学生总结：等比数列的公比大于1时，其递增速度比较快，其通项公式从函数的角度看，是常数与指数函数的积，而底数大于1的指数函数，随着自变量的增大，其递增速度将越来越大于一次函数（等差数列的通项公式是关于n的一次函数）。
随后，我请学生谈谈生活中等比数列的例子，学生的课外知识也挺丰富，学生甲讲了古印度国王奖励国际象棋发明者时，发明者提出在国际象棋的64个格子内分别放1，2，4，8，…，颗麦子，使得国王轻易答应后发现无法办到而招来杀身之祸的故事；学生乙讲了兰州拉面馆内的数学问题：拉拉面的师傅只需将一长块的面拉长、对折，再拉长、对折，…，10次后，就会得到1024根面条！
通过这些实例，使学生们理解了等比数列的定义，体会了生活中的数学。
案例13趣在情境中
李红宇
一堂具有教学艺术魅力的好课犹如一支婉转悠扬的乐曲，“引子”扣人心弦，“主旋律”引人入胜，“终曲”余音绕梁。其中“引子”起着关键性的作用。设计一个好的情境性问题，是体现导课艺术的一个方面。
以一堂“等比数列的起始课”为例，谈谈我在导入时的情境设计。
课前材料准备：正方形纸、剪刀。
取一张正方形纸对折，再对折成正方形，然后在折叠着的角上剪一刀，此时就在纸中间剪出一个洞。
试问：如照上面的方法，对折10次后，在折叠着的角上剪一刀，能剪出多少个洞？
这是一个实际问题，在情境操作中，学生通过实践会发现折叠的次数多了以后，要想数出上面的洞数并非易事，学生感到新奇有趣，产生了非揭开“奥秘”不可的强烈探求欲望，这种欲望促使学生去找寻洞数的规律，从而发现洞数组成等比数列，顺畅自然地展开了本课题的教学。
这一情境的设置能拨动学生心弦，立疑激趣，促成学生学习情绪的高涨，激发了学习的主观能动性。
案例14张明的钱数
蔡丽萍
大家都知道“兴趣是最好的老师”，孔子也曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”由此可见，培养学生的学习兴趣，让学生在愉快的气氛中学习，是调动学生学习积极性，提高学习质量的至关重要的条件，也是减轻学生过重负担的根本措施。导人新课是一节课的重要环节，俗话说“良好的开端是成功的一半”。好的导入能集中学生的注意力，引起学生的认知冲突，打破学生的心理平衡，使学生很快进入学习状态。为此，我经常从教材的特点出发，通过讲述生动的小故事，或提出一个激起思维的数学问题等方法导入新课。
案例：在学等比数列求和时我用以下例子作引子：张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：”好吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”王勇听了，立刻答应下来心想：这太简单了。没想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
很多学生的想法和王勇一样，觉得这太简单。为什么会后悔呢？数字最能说明问题，于是都积极地投入到结果的计算中去了。迫切想知道结果的愿望，激起了学生强烈的求知欲。
分析：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共给３０天，每天所给的钱数依次为：1，2，22，33，…，229。它是以１为首项公比是２的等比数列，张明要求的总钱数为：(单位：分）1+2+22+23+…+229。怎么求？自然引出所学内容。由于设计了恰当的问题情景，这种创设既靠近教学内容，又属学生生活中熟悉的、生动有趣、难易适中，并能自行研讨的问题情境，让学生置身于问题之中，从矛盾和现象中提出问题，进而利用已有知识去探索解决，促进了思维水平的提高。
总之，在新课引入教师最好要为学生提供有“生命”的材料，为学生“提问”创造条件，激活学生的数学问题意识。数学课程标准中指出：“人人学有价值的数学”。有价值的数学从某种意义上说就是要学有用的数学，学生有了学习欲望，才能积极投入地学。与其“把马拉来让它饮水，不如让他口渴”。
案例15精彩三分钟，精神一节课
沈灿萍
