令a＝3c，那么4|c，3|\\b。由（32）得：-z3＝6c（9c2＋3b2）＝18c（3c2＋b2）（38）
这里18c与3c2＋b2互素，3c2＋b2是奇数，且不是3的倍数。
于是18c，3c2＋b2都是整数的立方：18c＝r3
3c2＋b2＝S3（39）
其中s是奇数。同情形Ⅰ一样，s＝u2＋3v2，其中整数u，v使b＝u（u2-9v2）
c＝3v（u2-v2）（40）
于是u是奇数，v是偶数，v≠0（u，v）＝1，且2v，u＋v，u-v两两互素，从而得：r33-2v（u＋v）（u-v）（41）
2v＝-l3
u＋v＝m3
u-v＝-n3（42）
因此，
l3＋m3＋n3＝0，其中l，m，n是非零的整数，l是偶数。最后，|z|3＝18|c|（3c2＋b2）
＝54|v（u2-v2）|（3c2＋b2）
＝7|l|3|u2-v2|（3c2＋b2）
≥27|l|3＞|l|3
这与|z|的最小选择矛盾。
三、高斯的证明
首先，我们介绍一些代数的基础知识。
我们把经常用到的几种数集用字母表示：
z表示全体整数的集。
Q表示全体有理数的集。
R表示全体实数的集。
C表示全体复数的集。
设A＝｛a，b，c，…｝。我们称a，b，c，…是A的元素。如果a是集A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集A的元素，就说a不属于A，记作A。
设A，B是两个集。如果A的每一个元素都是B的元素，那么就说A是B的子集，记作AB。如果集A与B的元素完全一样，就说集A，B相等，记作A＝B；否则，就说集A，B不相等，记作A≠B。当AB，A≠B时，叫A是B的真子集，记作A≠B。显然，zQRC。
下面讲解数环和数域。定义设S是C的一个非空子集。如果对于S中任意两个数a，b，a＋b，a-b，ab都在S内，那么就说S是一个数环。
例如，数集z，Q，R，C都是数环。
定义设F是一个数环。如果
（Ⅰ）F含有一个不等于零的数；
（Ⅱ）若a，b∈F，且b≠0，则ab∈F，那么就说F是一个数域。
例如，数集Q，R，C都是数域，但z不是数域。
由于研究不定方程的需要，人们讨论了一些特殊的复数：Q（i）＝｛a＋bi|a，b∈Q｝z（i）＝｛a＋bi|a，b∈z｝
对于复数加法和乘法，Q（i）是一个数域，z（i）是一个数环。z（i）中的复数叫复整数。为了区别起见，我们把通常的整数叫做有理整数。
显然，zz（i），QQ（i），z（i）Q（i）。
我们需要Q（i）中复整数具有有理整数一些性质，特别是唯一分解定理成立。为此，需要建立复整数的整除、互素和素数等概念。
设α，β∈Q（i），β≠0。如果存在r∈Q（i），使得α＝βγ，则说β整除α，记作β|α；否则，说β不整除α，记作β|\\α。
整除1的复整数叫做单位数。显然，在Q（i）中仅有±1，±i整除1。
设复整数a＝a＋bi。我们把a-＝a-bi叫做a的共轭数，N（a）＝a-a＝a2＋b2叫做a的范数。易知：N（a）=0；a=01；a是单位数a2＞b2＞1，其他设ε是Q（i）的单位数。如果复整数α，β满足α＝βε，那么就说α与β相结合（或相伴），记作α～β。
例如，因为3＋2i＝（2-3i）i，所以3＋2i～2-3i，对N（a）＞1的a的任何分解式α＝βγ，都得出N（β）＝0，或N（γ）＝1，就说α是Q（i）的素数，常以π表示。
唯一分解定理设N（α）＞1。如果
α＝π1π2；…πr＝π1′π2′…πs′，（r≥1，s≥1）则有r＝s，且πi～πi′，i＝1，2，…，r。
众所周知，i是二次多项式x2＋1的根，而且x2＋1在有理数域上不能分解为两个一次多项式的乘积，我们把x2＋1称做在Q上不可约，i叫做二次代数整数，Q（i）叫做i添加到Q上的一个二次扩张，或高斯数域。
一般地，如果d是一个无平方因子的有理整数，则称Q（d）为二次域。d=-3时，Q（d）是二次域，它有六个单位数：±1，±12（1--3）。我们证明，Q（1--3）中素因数唯一分解定理成立。
中素因数唯一分解定理成立。
设α，β，γ∈Q（-3）。如果γ|a-β，则说α，β对模γ同余，记作α≡β（modγ）。
现在我们转向高斯的证明。我们已经知道，为了证明：x3＋y3＋z3＝0
没有非零的整数解，欧拉不得不使用比较复杂的方法。然而，使用复整数的知识，高斯简单明了地证明更一般的方程α3＋β3＋γ3＝0
没有不全为零的代数整数解。就是说，欧拉的证明是高斯证明的特例。这个问题说明，证明较普遍的定理比证明特殊的情况来得容易，这种现象在数学里是常见的。
高斯使用α＋型复数，这里，a，b是有理整数，=12（-1＋-3）是1的三次原根。
如果η是方程xn-1＝0的根，就说η是一个n次单位根。n＝3时，就说η是一个三次单位根。三个三次单位根为：ζ=12（-1＋-3），η=12（-1--3）和1。由于ζ2=η，3=1，所以称是一个三次单位原根。
令A={a＋b|a，b∈Z，12（-1＋-3）｝用近世代数语言来说，A是一个环，即二次域Q-3的代数整数环。A的单位数是±1，±ζ，±ζ2，们全是单位根。
因为在二次域Q-3中素因数唯一分解定理成立，求A的元素的最大公因数是可能的，在可以相差一个单位数倍数意义下是唯一确定的。A的元素叫做互素的，如果它们的最大公因数是单位数。
起着重要作用的元素是λ=1-ζ=12（3--3）。λ是素元且3～λ2。
我们注意，由于3～λ2，如果α≡β（modλ），那么α3≡β3（modλ3）。
模λ恰好存在三个同余类，即0，1和-1三类。
在高斯证明中，下列同余式是必需的：
引理如果α∈A且λ|\\α，那么
α3≡±1（modλ4）。
这个证明是简单的。下面是高斯的定理：
定理方程
x3＋y3＋z3＝0（43）
没有不全为零的代数整数解α，β，γ∈A。
注代数整数的意义，参见第四部分。
证明假设定理不真，不失一般，约去最大公因数，存在互素的α，β，γ，使α3＋β3＋γ3＝0。从此得出α，β，γ也两两互素。因此可以假设λ|\\α，λ|\\β。
情形：1λ|\\γ。
因此，α，β，γ在同余类1或-1里。于是α≡±1（modλ），因此α3≡±1（modλ3）。类似地，β3≡±1（modλ3），γ3≡±1（modλ3）。
于是
0＝α3＋β3＋γ3≡±1±1±1（modλ3）符号的组合给出±1或±3。显然0≡/±1（modλ3）；如果0≡±3（modλ3），那么λ3|±3～±λ2，因而λ|±1，λ是单位数，矛盾。
情形：2λ|γ。
令γ＝λnδ，其中n≥1，λ|\\δ，δ∈A，因此α3＋β3＋λ3nδ3＝0（44）
其中α，β，δ∈A，n≥1。
于是，满足下列性质（Pn）：存在α，β，δ∈A使λ|\\α，λ|\\β，λ|\\δ，α，β互素，α，β，δ是下列方程的解：x3＋y3＋wλ3nz3＝0（45）
其中w是单位数（在（44）中，w＝1）。
证明的思想如下：指出如果（Pn）被满足，那么n≥2且（Pn-1）也被满足。重复这个过程，最后（P1）被满足，这是个矛盾。这只不过是无穷递降法的一种形式（关于指数n）。
于是，证明还剩下两步。
第一步。如果（Pn）被满足。那么n≥2。
因为λ|\\α，λ|\\β，根据引理α3≡±1（modλ4），β3≡±1（modλ4），并且±1±1≡-wλ3nδ3（modλ4），其中λ|\\δ。因为λ|\\±2，左边必为0，因此3n≥4，得n≥2。
第二步。如果（Pn）被满足，那么（Pn-1）也被满足。
根据假设：
-wλ3nδ3＝α3＋β3＝（α＋β）（α＋ζβ）
（α＋ζ2β）（46）
素元λ必整除右边因子中的一个。因为1≡ζ≡ζ2（modλ），所以α＋β≡α＋ζβ≡α＋ζ2β（modλ），因此λ整除每一个因子。于是α＋βλ，α＋ζβλ，α＋ζ2βλ。并且ωλ3（n-1）δ3=α＋βλ·α＋βζ2λ·α＋ζ2βλ（47）
从n≥2（由第一步）λ整除右边因子中的一个。容易看出α＋β，α＋ζβ，α＋ζ2β模λ2两两不同余。因此λ仅整除（47）式右边因子中的一个。例如λ整除（α＋β）／λ（其他情形是类似的，用ζβ或ζ2β代替β是允许的）。
于是λ3（n-1）整除（α＋β）／λ。因此α＋β＝λ3n-2k1
α＋ζβ＝λk2
α＋ζ2β＝λk3（48）
其中k1，k2，k3∈A，λ不整除k1，k2，k3。
（48）中的三式边边相乘，得
-wδ3＝k1k2k3（49）
容易看出k1，k2，k3是两两互素的。因为环A有唯一分解，k1，k2，k3与立方数有关k1=η131k2=η232k3=η333（50）
其中ηi是单位数，φ2∈A（i＝1，2，3），φ1，φ2，φ3两两互素，λ不整除φ1，φ2，φ3。于是从1＋ζ＋ζ2＝0，得α＋β=λ3n＋2η1φ31α＋ζβ=λη2φ32α＋ζ2β=λη3φ33（51）
0＝（α＋β）＋ζ（α＋ζβ）＋ζ2（α＋ζ2β）
=λ3n＋2η1φ11＋ζλη2φ32＋ζ2λη3φ33
于是，
φ32＋τφ33＋τ′λ3（n-1）φ31=0（52）
这里τ，τ′是单位数，φ1，φ2，φ3∈A不是λ的倍数，并且φ2，φ3互素。
如果τ＝1，那么φ2，φ3，φ1是下列方程的解x3＋y3＋τ′λ3（n-1）z3＝0（53）
如果τ＝-1，那么φ2，-φ3，φ1是（53）的解。
余下指出τ≠±ζ±ζ2。实际上，因为n≥2，φ32τφ33≡0（mod）λ2（54）
但根据引理
φ32≡±（modλ4）
φ32≡±（modλ4）
因此，±1±τ≡0（modλ2）
然而±1±ζ≡0（modλ2）和±1±ζ2≡0（modλ2）。于是τ≠±ζ，±ζ2，这就建立性质（Pn-1）。
另外一些三次或六次方程用类似的方法可以得到解决。
下列方程没有非零的整数解：
x3＋4y3＝1（55）
x6-27y6＝2z3（56）
16x6-27y6＝z3（57）
x3＋y3＝3z3（58）
