53.“一笔画问题”
有这样一个迷宫，只有A1一个出口，里面是全封闭的。你能从A1点出发不重复地走过所有通道，再从A1点出来吗？这实际上是一个古老的数学游戏——“一笔画”问题，即由某些点和线段所组成的各种图形，能不能不重复地由一笔画成。
什么样的图形可以一笔画成？这些图形有没有什么规律呢？下面我们来看一个图形(如图1)，图中任意两点都可以用若干线段把它们连接起来，这样的图形称为是“连通”的。图中的点可分为两类：凡是从这个点出发的线段的数目是奇数的，称为奇点(如A、B点)；凡是偶数的，就称为偶点(如C、D、E、F、G、H点)。虽然图形各式各样，但能够一笔画成的图形却只有两种情况：
1.图形中所有的点都是偶点，就可以从图形的任意一点出发一笔画成；
图1图22.图形中只有两个奇点，可从其中一个奇点出发一笔画成。
图3为什么这两种图形可以一笔画成呢？
图4我们来看第一种情况，图形是连通的，而且没有奇点，如图2。从图上任意一点出发，可以划一条闭回路，如从A1出发，经A2、A5、A6最后回到A1(即图上虚线划出的部分)。现在将这一部分擦去，留下的部分如图3，这个图形仍旧只有偶点。同样可以像上面一样找到一条闭回路，如A6、A7、A3、A6。又因为A6这一点在上一条闭回路中也有，因此，可以将后面的闭回路接到前面的闭回路上去，得到这样一条更大的闭回路：A1、A2、A5、A6、A7、A3、A6、A1。下面把这一条闭回路也擦去，再在留下的部分中找闭回路，再接到上面的闭回路中去。这样下去，可以把整个图形连接成一条闭回路，也就是说把整个图形一笔画成。
现在就能很容易地说明第二种情况了。在图4中，只有A4、A6两个点是奇点，其余都是偶点。我们只要在两个奇点之间添一条线，它们也都变成了偶点，这就成了第一种情况了。于是可以把这个图形一笔画出，并且第一笔画的可以就是添上去的那条虚线。如A6、A4、A2、A1、A6、A5、A4、A3、A2、A6。再把第一笔去掉，就把原来的图形一笔画出了：A4、A2、A1、A6、A5、A4、A3、A2、A6。
到这里，我们可以很容易地解决开头的迷宫问题了。因为里面走道所形成的图形是连通的，而且交叉点全是偶点，所以要不重复地走过所有走道，再回到出发点是可能的。其中一种走法是：A1、B2、B1、C1、C2、D2、D1、E1、E2、F1、F2、E3、E2、D2、D3、C3、C2、B3、B3、C3、C4、D4、D3、E3、E4、F3、F3、E5、E4、D4、D5、D6、E6、E5、D5、C5、C4、B4、B5、B6、C6、C5、B5、A4、A3、B4、B3、A2、A1。
其实，还有很多种走法，你不妨试一试。
54.你知道什么是“周游世界”游戏吗
1859年，英国大数学家哈密顿提出了一个着名的数学游戏——“周游世界”。他把正十二面体(图1)上的20个顶点，看成是当时世界最着名的20个大城市，要求游戏者从某一个城市出发，沿着各条棱前进，把所有的城市无遗漏也不重复地全部通过。那么能找到这样一条路线吗？
图1图2
正十二面体中有12个面，20个顶点，30条棱，又是一个空间图形，所以求解比较困难。在七桥问题中我们已经知道，顶点的位置及边的长短、曲直对问题的解决没有影响。所以我们可以把背后那个面剪破摊平，可以得到如图2所示的图形，这样问题就比较容易了。
由于每个顶点在正十二面体中的地位是相同的，所以可将图2中任何一点作为初始顶点。不妨选1号点，按照图中所示的点的顺序，从1号到20号从里层到外层，就能完成“周游世界”的游戏。
“周游世界”游戏在图论中具有重要的意义，具有这种性质的图被称为哈密顿图。一个图成为哈密顿图的充分必要条件是什么呢？这个问题称为哈密顿问题，是当代图论中尚未解决的重要问题之一。这方面的研究在运筹学、计算机科学以及编码理论中有许多应用。
有兴趣的话，大家可以自己动手试一试，利用足球上的顶点和棱，做一个类似的“周游世界”游戏。
55.怎样学习加、减法的一些速算
１.要明确速算的道理，掌握速算的方法。例如１５４８＋３９７，我们可以按下面的方法去思考：因为３９７接近４００，可以把３９７看做４００去加，就是１５４８＋４００，又因为加上４００后比原数３９７多加了３，所以在算式后面还要减去３，这样才能使得数不变。得：１５４８＋３９７＝１５４８＋４００－３＝１９４５。熟练后，虚线框中的计算过程可省去。
又如，８９７－４９６，因为４９６接近５００，我们可以把４９６看做５００，先用８９７－５００，又因为减去５００比减４９６多减了４，所以还要在算式后面再加上４，这样才能使得数不变。得：８９７－４９６＝８９７－５００＋４＝４０１。
从上面两例可以看出，多加的数要减去，多减的数要加上。
２.多联系生活实际，帮助理解和记忆。在学习过程中，我们要尽量联系生活中的事例，帮助自己理解和巩固所学内容。例如：用两种不同的解答方法解下面一道应用题：“小红妈妈带１７２元钱上街买东西，买一套服装用去８６元，买一双保暖鞋用去１４元，还剩多少元？”
第一种解法：用所带的钱减去买衣服的钱，再减去买鞋的钱：１７２－８６－１４＝８６－１４＝７２（元）。
第二种解法：先求买一套服装和买一双鞋的钱，再从所带的钱里减去买两样东西一共花去的钱：１７２－（８６＋１４）＝１７２－１００＝７２（元）。
从上面两种解法中看出：１７２－８６－１４＝１７２－（８６＋１４）。实例使我们进一步懂得：“从一个数里连续减去几个数，与先把所有减数加在一起，再从被减数里减去所加得的和，所得的结果是相同的。”
３.要养成认真审题的习惯，看清数据特点，尽量使计算简便。例如：３７４５－７４５－１２５，显然是从左往右依次计算较简便。
又如：９１＋５６８＋７０９，如果先把９１＋７０９相加，再加上５６８，就比较简便。
再如：４９７＋３０３，可以先用４９７＋３再加３００，就十分简便。
56.怎样求计算题中的ｘ
中年级时，我们开始学习求计算题中的未知数ｘ。例如：ｘ＋１７＝５３、１５３－ｘ＝９８、４ｘ＝３２等等。
怎样正确地计算这类题呢？概括起来，就是采用“一看、二想、三算、四查”的方法。
“一看”就是看看题目中的“ｘ”表示要求的是什么数。例如：ｘ＋１７＝５３，这道题中“ｘ”表示要求的是“加数”。
“二想”就是想一想根据什么关系式求出题中“ｘ”。
“三算”就是根据关系式列式计算。
“四查”就是检查计算的结果是不是正确。我们可以用求出的ｘ具体数代入原式，看看等号两边是不是相等。例如：ｘ＋１７＝５３，把求出的ｘ＝３６代入原式：３６＋１７＝５３。１５３－ｘ＝９８，把ｘ＝５５代入原式：１５３－５５＝９８。４ｘ＝３２，把求出的ｘ＝８代入原式：４８＝３２。说明三道题的计算是完全正确的。第四步的检查是十分重要的，它可以帮助我们及时发现错误，及时纠正。例如：有一位同学把“ｘ－４８０＝４８０”一题计算成：ｘ－４８０＝４８０，ｘ＝４８０－４８０，ｘ＝０，通过检查发现０－４８０不等于４８０，等号左右两边不等，所以计算错了。
通过“一看、二想、三算、四查”的方法，可以培养同学们认真审题、独立思考和自觉检查验算的好习惯。
57.怎样审应用题
要想正确地解答应用题，首先要认真审题，弄懂题目中每个词语、每个句子的实际含义，找出已知条件和所求问题。具体做法如下：
１.弄清题目的每个词语的含义。
例如：一个文具盒的价格“降了２５元”和“降到２５元”，虽是一字之差，意思完全不一样。“降了２５元”，即比原价少了２５元，若原价是８５元，现在应是８５－２５＝６０（元），而“降到２５元”，即现价是２５元。
又如：①游泳池里有４０个女同学，男同学比女同学多２人。游泳池里有多少个同学？
②游泳池里有４０个女同学，男同学是女同学的２倍。游泳池里有多少个同学？
“多２人”即男同学人数应是女同学人数加２，“是２倍”即男同学人数应是女同学人数乘以２。
２.弄清每个句子的实际含义。
例如：四年级同学栽树１０５棵，五年级同学栽树１２８棵，四年级同学再栽多少棵就和五年级同学栽的同样多？
问话中的“再栽多少棵”，实际上就是求四年级同学比五年级同学少栽的棵数，尽管问法不一样，但实际含义相同。弄清问话的含义，题目就会迎刃而解了。
３.全面理解题意，防止断章取义。
在审题时要把条件和问题联系起来看，不能孤立地理解。如有这样一道题：“商店原来有一些玩具，卖了１８个，还剩６个。又运来５０个，现在有多少个？”根据题意，要求现在有多少个，只要把还剩的６个加上又运来的５０个，即６＋５０＝５６（个），就行了。但有的同学不认真审题，用原来的个数加上又运来的个数，列式为１８＋６＋５０＝７４（个），这样解答显然错了。
４.要看清条件的计量单位与所求计量单位是否一致，不一致的，要统一以后再计算。
例如：王妈妈带１０元钱上街买菜，买鱼用去４元２角，买土豆用去１元３角，买青菜用去８角５分，还剩多少元？
这题可以统一以“元”做单位，然后再算。
58.如何迅速判断商是几位数
要防止商中间或末尾丢掉０，前面已说过一点，就是要确定商是几位数。那么怎样迅速判断商是几位数呢？
我们先观察下面一组除数是两位数的算式：
（１）９２２５÷４５＝２０５
（２）２３６９÷２３＝１０３
（３）３１１８６÷６２＝５０３
（４）１０５３÷２７＝３９
从上面（１）、（２）算式中会发现：当被除数的前两位数大于或等于除数时，商的位数就比被除数的位数少１；从（３）、（４）算式中会发现：当被除数的前两位数比除数小时，商的位数就比被除数的位数少２。这是判断除数是两位数的除法商是几位数的规律。理解和掌握它就能很快判断除数是两位数的除法的商该是几位数了。
再拿除数是三位数的除法来说，如“３７０５０÷２４７”，因为被除数前三位够商１，所以商的最高位应该在百位上，显然商应该是一个三位数，而不是两位数。
其余情况可类推。
59.小数的读、写应注意些什么
小数的读法要注意：
１.要区别整数部分与小数部分读法的不同。整数部分按照整数的读法来读（整数部分是０的读作“零”），小数部分通常顺次读出每一个数位上的数字。例如：８４.８４，读作八十四点八四，不能读成八十四点八十四。
２.小数部分有几个“０”，就要读几个“０”。例如：１.００４５，读作一点零零四五，不能像整数的多位数读法，一个数中间连续有几个“０”却只读一个零。
写小数时要注意：
１.要与读法密切结合，互相参照。整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“０”），小数部分顺次写出每一个数位上的数字。例如：零点八三，写作０.８３，零点零零五四，写作０.００５４。小数中间的零不能少写，也不能多写。
２.小数点要写成圆点，不要写成“，”或“、”，小数点要写在个位右下角，不能写在数字中间。
60.怎样列综合算式
在解答两步或两步以上的应用题时，经常需要把几个分步算式列成综合算式。下面介绍几种列综合算式的方法：
１．代入法。
例如：一个水果店，购进梨子１５００千克，购进的苹果是梨子的２倍，该店共购进梨子、苹果多少千克？
分步算式：（１）１５００２＝３０００（千克）
（２）１５００＋３０００＝４５００（千克）
综合算式：１５００＋１５００２
＝１５００＋３０００
＝４５００（千克）
从上述的过程可明显地看出：分步算式的（２）式中，“３０００”是以（１）式中“１５００２”得到的，因此（２）式中的“３０００”这个数据用（１）式中的“１５００２”来代替就可以了。这种将第一步代入到第二步之中的方法，叫做“代入法”。
有时还要考虑一下运算顺序，想想是否要加括号。例如：海燕洗衣机厂要生产８０００台洗衣机，已经生产了５５００台，剩下的台数，按每天生产１２５台计算，还需要生产多少天？
分步算式：（１）８０００－５５００＝２５００（台）
（２）２５００÷１２５＝２０（天）
综合算式：（８０００－５５００）÷１２５
＝５５００÷１２５
＝２０（天）
这道题根据题意，必须要先求出剩余的台数，即要先算８０００－５５００，因此，在列综合算式时，要添上括号。
２．填数法。
这种列综合算式的方法是先把应用题的中间问题记在心中，再根据题目里已知条件组成算式，然后将中间问题的算式逐步填入，最后看看是否要加括号。
例如：学校图书馆把１２０本《雷锋的故事》和８０本《我们爱科学》平均借给４个班，每个班借多少本？
第一步想：两种图书的总数÷４
