尽管这样大的序数无法“自下而上地叠加出来”，也就是没有直接的表现力，但它们可以通过更小的数之间的抽象的结构来间接地表现出其强度。此法也就是OCF（=ordinal collapsing function）。
比如定义
C(α，β，0)=β
C(α，β，n+1)={γ+δ，ψ_ν(ξ)|γ，δ，ξ∈C(α，β，n)且ξ<α且ν<ω+1}
C(α，β)=∪{C(α，β，n)|n<ω}
ψ_ν(α)= min{β|β?C(α，Ω_ν)}（其中Ω_0=1，对于α>1则Ω_α=阿列夫α）
那么ψ_0(Ω_1)=ε0，ψ_0(Ω_1^2)=ζ0，ψ_0(Ω_1^Ω_1)=Γ0，ψ_0(Ω_1^Ω_1^ω)= SVO，而ε0、ζ0、Γ0、SVO之类都是由ω通过非常复杂的运算得到的结果，现在用阿列夫1的简单运算（比如乘法、乘方）就表示出来了。
这种复杂体现在序数函数不动点上。ω的乘方是加法的不动点，ε数是ω的乘方的不动点，ζ数又是ε数的不动点，φ(3，α)又是ζ数的不动点，φ(4，α)又是φ(3，α)的不动点，……，Γ数又是φ(α，0)的不动点，……每一个层次都是前述层次无法企及的。当这些层次越来越多，就用ψ_0把它归结为阿列夫1的简单运算；反过来，阿列夫1只要做一点点简单的运算，下放到ω的运算上，那都是非常高阶的层次。就好比某些设定里面，上界的一丝空气，放到下界就能变成一块大陆。
而这个ψ函数还可以继续迭代。用阿列夫1的简单运算来表达ω的复杂运算；用阿列夫2的简单运算来表达阿列夫1的复杂运算，从而表达ω的更复杂运算；用阿列夫3的简单运算来表达阿列夫2的复杂运算，放到ω的运算上又变得更加更加复杂……
总之，OCF用大序数、大无穷的简单结构，来表达小序数、小无穷的复杂结构。
不过，上面那种方法并没有真正把阿列夫1的巨大体现出来。ψ函数用到阿列夫1实际上是
虚大了，其实用admissible序数就足以。
admissible序数是让L_α满足KP集合论的序数α。
admissible序数列举起来有“空洞”。比如前ω个admissible序数的尽头，它不是admissible序数。前(第1个admissible序数)个admissible序数的尽头，也不是admissible序数。α是前α个admissible序数的尽头，这样的序数α还不是admissible序数。有一种非常非常巨大的admissible序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个admissible序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫递归不可达序数，既是admissible序数，又是一系列admissible序数的尽头。
递归不可达序数列举起来也有“空洞”。前ω个递归不可达序数的尽头，它不是递归不可达序数，甚至不是admissible序数。前(第1个递归不可达序数)个递归不可达序数的尽头，也不是递归不可达序数。α是前α个递归不可达序数的尽头，这样的序数α还不是递归不可达序数。有一种非常非常巨大的递归不可达序数，大到不论怎么数都数不出来，甚至用上“下一个递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来，它叫2-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一系列递归不可达序数的尽头。
2-递归不可达序数还可以如法炮制。更普遍来看，可以对任何序数α定义α-递归不可达序数，它既是admissible序数，又（对任意β<α）是一系列β-递归不可达序数的尽头。高级的α-递归不可达序数，对于低级而言，那是怎么数都数不出来，甚至用上“下一个（不足α-级的）β-递归不可达序数”“这一系列数的尽头”也数不出来。
这还不算完。α-递归不可达序数同样存在“空洞”。比如首个1-递归不可达序数、2-递归不可达序数、3-递归不可达序数、…的尽头，它不是ω-递归不可达序数，甚至不是admissible序数。α之下有任何（不足α-级的）β-递归不可达序数，这样的α也不是admissible序数。这么看来，α是α-递归不可达序数，这样的序数α就显得无比巨大，它叫超-递归不可达序数，或者记作(1，0)-递归不可达序数。
如法炮制。(1，1)-递归不可达序数，既是admissible序数，又是一系列(1，0)-递归不可达序数的尽头；由于(1，0)-递归不可达序数有很多“空洞”，(1，1)-递归不可达序数就显得很大。更普遍来看，(α，β)-递归不可达序数ρ，既（对任意γ<α）是(γ，ρ)-递归不可达序数，又（对任意γ<β）是一系列(α，γ)-递归不可达序数的尽头。每一个层级对于更低的层级而言总是无比巨大。在此之上还有(1，0，0)-递归不可达序数、(α，β，γ)-递归不可达序数、(α，β，γ，δ)-递归不可达序数等等，像φ函数那样具有超级复杂的结构，而每一个层次的序数的简单运算都可以作为放进OCF里面输出低层次的复杂结构。
那么递归不可达序数这一系列的层次本身，这样复杂的结构，应当能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是递归Mahlo序数。
递归Mahlo序数同样有“空洞”，所以“既是admissible序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数就显得更为巨大。“既是admissible序数，又是XX的尽头”可以反复操作下去，就像递归不可达序数的层次那样。在这些反复操作之上，则是“既是递归Mahlo序数，又是一系列递归Mahlo序数的尽头”的序数。在此基础上继续应用“既是admissible序数，又是XX的尽头”，所有层次之上，则又嵌套了一层“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”。如果反复用“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”的操作得到“超级层次”，那么所有这些超级层次的尽头，则是2-递归Mahlo序数。
α-递归Mahlo序数、(α，β)-递归Mahlo序数、(α，β，γ)-递归Mahlo序数、(α，β，γ，δ)-递归Mahlo序数等等也可以定义出来。2-递归Mahlo序数与3-递归Mahlo序数之间要有“既是admissible序数，又是XX的尽头”“既是递归Mahlo序数，又是XX的尽头”“既是2-递归Mahlo序数，又是XX的尽头”共3种不同等级的层次。而α-递归Mahlo序数与(α+1)-递归Mahlo序数之间则有1+α种。所有这些复杂等级结构之上，能用某个更加无比巨大的序数，放进OCF里，输出得到。这个“更加无比巨大的序数”是Π_3-反射序数。
如果说递归不可达序数靠“层次”，递归Mahlo序数靠“等级”输出“层次”，那么Π_3-反射序数就要靠第3个概念来输出“等级”。Π_3-反射序数之上有Π_4-反射序数，要4个概念来推进。Π_n-反射序数则要n个概念来推进。
所有Π_n-反射序数之上，则是一大类全新的序数概念——稳定序数。
α是β-稳定序数，即L_α是L_β的Σ_1-初等子结构。
最低阶的稳定是(+1)-稳定序数，即α是(α+1)-稳定序数。
再往上，(+2)-稳定序数、(+3)-稳定序数、……每一层都新增ω个“概念”。
稳定序数并不止步于“α是(α+α)-稳定序数”，而是可以无限延伸。“α是(α+α)-稳定序数”也即“α是(α·2)-稳定序数”。继续往上，可以在稳定序数的级别上用乘法、乘方、ε数、ζ数、φ函数、Γ数等等来表达，甚至——
“α是(α之后的下一个admissible序数)-稳定序数”，它放进OCF里可以输出“α是(关于α的复杂表达式)-稳定序数”，这是一个全新的、无可比拟的水平。
甚至还可以继续往上，“α是(α之后的下2个admissible序数)-稳定序数”“α是(α之后的下ω个admissible序数)-稳定序数”“α是(α之后的下一个递归不可达序数)-稳定序数”等等。最后，“α是(α之后的下一个(+1)-稳定序数)-稳定序数”代表L_α是L_β的Σ_1-初等子结构，而L_β又是L_(β+1)的Σ_1-初等子结构。三个结构通过Σ_1-初等子结构环环相扣，形成了长度为2的稳定链。
稳定链可以继续加长。比如长度为ω的稳定链，其顶端称作nonprojectable序数。甚至可以从α出发，形成长度为α的稳定链；从α0出发，经过长度为α0的稳定链，到达α1，又经过长度α1的稳定链，到达α2；从某个序数出发，形成长度为α的稳定链，到达α自身。
稳定链的一种特殊形态，是其顶端α在{β<α|β是α-稳定序数}上具有某种反射或者稳定序数的性质。当它往原本的反射或者稳定序数的性质上“迭代序数自身那么多遍”的时候，稳定序数的层级也真正耗尽了。
而以上所有的层级，全都小于真正的稳定序数——α是稳定序数，即L_α是L的Σ_1-初等子结构。真正的稳定序数，只需一个，它的简单运算，就能在OCF里输出各式各样的稳定序数、稳定链。
这里是当今序数分析的最高水平，在此之上则是无人能及的领域。
β-稳定序数和稳定序数都有不止Σ_1的版本，比如Σ_2、Σ_3等等。在所有Σ_n之上，要用到初等嵌入j:L_(α+η)→L_(β+η)和j:L_(α+η)→L_(ω_1+η)，η每进一步就相当于Σ_n的ω个层级。
ω_1即阿列夫1，在OCF里，大概会输出这些复杂的初等嵌入。
从ω_1出发，可以做同样的操作（从ε数之类，到admissible序数，到稳定链，最后到这些复杂的初等嵌入），然后进入ω_2为准的层级。
需要指出的是，这里的阿列夫1之类并非真正的阿列夫1，而是(阿列夫1)^L——将公式中的量词全部约束到L内所得的定义，即“L中的阿列夫1”。在L里，GCH成立，aleph即beth。
α= beth_α，这种α叫做beth不动点。beth不动点也可以计数，得到beth不动点的不动点。若像φ函数那样延伸，则需要一个很大的基数，来在OCF里输出这些东西。这个基数就是power admissible序数。它就像admissible序数的V版本一般，同样具有许多“空洞”。
这样一来，还可以继续power不可达序数、power Mahlo序数、power反射序数（可以理解为弱化的、不含“任意谓词”的不可描述基数）、power稳定序数等等。后两者不是简单地将L_α改成V_α，而是需要添加一个新谓词Card，表示“是不是L中的基数”，即模型<V_α，∈，Card>。当这些东西到达“power Σ_n稳定”之上时，就到达ZFC的极限；当这些东西到达“power 阿列夫1”时，也就是到达了那个常常被人们浅显地描述、低估的——不可达基数。
不可达基数之上的路，楼主的图便是一个缩影。这个路到达0#，或者初等嵌入j:L→L的时候，出现一个转折。
前面所说的那些基数，都是“L中的基数”。L中可以容纳的基数，最多只到j:L→L，便到了尽头。若是从“外界”看，它们仍然是可数的，小于阿列夫1。
因此，
真正的阿列夫1，可以在这些“L中的基数”之上！真正的阿列夫1，若是放进OCF里，出来的则是L中从ω的简单运算到j:L→L这么一大堆东西的层次。这才是阿列夫1的真正大小。
有了替代公理模式，我们就可以构造形如{(x)| x∈A}这样的集合，通过使用更大的f，就能获得更大的序数和基数。比如ωω=sup{ωn|n∈}；omega-fixed-point ==sup{f(n)|n∈ω}，其中f(0)=ω，f(n+1)=ωf(n)；等等。
但是，有这样一种非常奇怪的基数，从任何比它小的序数或基数出发，不管怎么用序数运算、基数运算，不管怎么用替代公理模式，总还是得不到大于等于它的序数、基数。基于这个奇怪的特性，这类基数就叫做不可达基数（inaccessible cardinal）。
不可达基数定义为不可数的正规强极限基数。下面是这3个条件的含义。
1.不可数
不可数集合定义为势大于?0的集合。反之，可数集合则是势小于等于?0的集合。
2.正规
正规序数的定义基于共尾性（cofinality）。
对于极限序数α，有许多这样的序数序列{αξ}ξ<β(长度为β)，其中任何{αξ<βα=α，且满足sup{αξ|ξ∈β}=α。这种序列称作极限序数α的fundamental sequence，它的最短长度（最小可能的序数β）称作cofinality of α，记作cf α。另外规定cf 0 = 0，后继序数的cofinality为1。
正规序数就是使得cf α=α的序数α。
3.强极限
对于基数α，如果任何比α小的基数β都使得2 β<α（此处乘方为基数运算），则称α为强极限基数。作为对比，极限基数α只要求“任何比α小的基数β都使得β+<α”即可。
0，可数、正规、强极限。1，可数、正规、后继。2，可数、非正规、后继。ω，可数、正规、强极限。ω1，不可数、正规、后继。ω2，不可数、正规、后继。ωω，不可数、非正规、极限。ωω+1，不可数、正规、后继。omega-fixed-point，不可数、非正规、极限。用通常的序数运算、基数运算、替代公理模式得出的基数，三个条件总是不能同时满足，都不是不可达基数。
不可达基数相当巨大。记I为最小的不可达基数，那么I是极限、强极限基数。I还是一个omega-fixed-point——ωI=I。如果记?0=?0，?α+1=2?α，?α=sup{?β|β<α}（对极限序数α），那么仍有?|=|成立。而类似的序数不动点还有很多很多。
ZFC系统是不完备的.选择一条比较自然且能为众多数学家接受的新公理加人ZFC系统，
已成为集合论研究的一个中心问题.而“大基数假定“的研究则是达到这一目标的有效途径之
定义1基数称为弱不可及的(weaklyinaccessible).若是不可数的正则极限基数.定义2基数称为强不可及的(stronglyinaccessible).若是不可数的.正则的，并且V<
若一般连续统假设(GCH)成立.则弱不可性与强不可性是等价的.通常把强不可及称为不
可及.具有某种性质的不可数无穷基数是“大“的.可以用两个标准来衡量:I)这个基数所具有的
性质.使得它至少是不可及的;2)这个基数的存在确实加强了ZFC
因为ZFC中已有无穷公理:存在无穷集(即存在无穷基数).所以大基数假定又称强无穷公
理.
(或，:0rd—ord(oM表示序数类))称为正规的定义3设为无穷基数.函数，:一
(norma1)，若，是递增的(<(a)<，()，连续的(hma，(.)=，(卢)).若，为上的
正规函数.，(口)=口，则称a为，的固定点(finedpoint)
下列两函数是正规函数:
%?，+l=).%=U.(1ima)(1)
其中瓤)=IaI口?1.
:%，+l=2，=U.(1ima)(2)
定义4设为正则不可数基数.C，称C为的封闭无界子集.若1)对每一个y<， c的每一个序列(I<一有c-c(封闭性);2)对每一个.<，存在卢>.使得C- C(无界性)
正规函数与封闭无界集之间的关系为:
定理11)上的正规函数，的值域Ranf是上的封闭无界子集;反之，若C是上的封闭无界子集.则存在上的正规函数，，使得Ranf=C.2)正规函数的固定点集仍为封闭无
显然，有穷多个封闭无界子集的交还是封无界子集.
定义5设D是的子集，D与的每一个封闭无界子集的交不空，则称D为驻集(stationa1
1，
Hausdorff在1908年利用(1)的固定点，定义了弱不可及基数.Tarski在本世纪50年代末详细
研究了三类大基数，他的工作成为大基数研究的里程碑.他提出了不可及基数公理:
Vj(Im()A<)，(3)
其中Ira(x)表示为不可及基数.
因为(1)，(2)的固定点通常是奇异基数，而其正则固定点则是弱(强)不可及的.于是(3)的
自然加强为下列假设:
ord上每一个正规函数都有正则固定点.(4)
定理2若为强不可及基数，则ZFV是全域的累加分层:中的第层.
称为ZFC的白然模型.
定理3(G6第二不完全性定理)若jX(Tram(X)^x}).则zF是不协调的. Trans(X)表示X是传递的.而Tram()，因此.若zFIm(x)，则ZF不协调.可见“存在不可及基数''不能从中推出.从而假定存在不可及基数是加强ZFC的一条无穷公理.而大基数
假定是断言具有某种“特殊性质的不可及基数存在.
定理4上每—个正规函数有固定点骨是正则的且>?.
大基数研究的早期工作利用定理4进行.Mahlo在1911，1913年间定义了一类大基数，
我们现在称它们为马洛(Mahlo)基数.
定义6基数称为弱(强)马洛的骨上每一个正规函数有正则(强不可及)固定点.定理5若是弱(强)马洛的，则是弱(强)不可及的.
由定理12)和定义5，又可用驻集来定义马洛基数
定义7基数是弱马洛的骨比小的正则基数形成的驻集.
若X为任意基数类，令
H(X)=1口?XfXn口是口的驻集t，
则称H为马洛运算，叠代H:
(X)=X，/-/““(X)=H((X)).(X):n(X)，(1ira).)
对角化H运算:
口?/-p(X)骨V口<口.(口?(X))
若X为正则基数类.贝?H(X)为弱马洛基数类.矸(X)为超弱马洛基数类，(矸)(X)为超超弱马洛基数类.
若X为强不可基数类，则H(X)为强马洛基数类.矸(X)为超强马洛基数类，…….近代，提出大基数假设通常有四种方法:
1)普遍化法.把?的一些性质移植到不可敬无穷基数上去来定义大基数. 2)反射法.通常的反射原理说全域y的任何特殊的真命题，总在y的某个前节中为
第4期张宏褡:大基数理论述评3
真.把这一原理推广，考虑高价集论语言中的公式集n和序数a，若V9?n(}9V卢<口(9))，则称口是n一可描述的;若|9?n(}9A|卢<口(9)).剧称口
是不可描述的.
用不可描述性来定义大基数.
3)相似法.因为全域的累加分层V:.是用幂集运算和并运算通过超穷归纳“中立地定义出来的，所以有理由假定存在多个<，?)是彼此相似的，即存在初等嵌入
:(，?)一(，?).在抽初等嵌人下，被移动的最小序数为某种太基数.
4)逻辑法将一种大基数的概念的内涵改变而导出一类新的大基数.
1可测基数
最早研究集合测度的是Lebe:~qlle.若选择公理AC成立，则存在Le~zjLle不可测集合.Ul=a
和Tarzki证明在一个集合上“完全可测“的性质是该集合的“基数性质“.设U是上
任一非主的
完全的超滤，在上定义口值测度:
()=1铮?U，(5)
则是上非平凡的可加测度.现在利用普遍化方法把(5)推广.
定义8基数可测的铮>且上存在非主的完全的超滤(或上存在非平凡的可加测度).
定理6可测基数是强不可及基数.
Tarskl证明了第一个强不可及基数不是可测基数.
设为可测基数，u是上的非主完全超滤，若1墨，『y<iU，则其对角线交?x，= ta<t口?r)i?u，那么我们称u是正规的，非主的，完全超滤.
设U是上非主完全超滤.今以U为模构造的商.令，'g?r
f=g{口<f，(口)=g(口)}?f?g铮t口<ffC口)?g(a)i?u，
=
是一等价关系.利用$eatttrick，令
[f]=tgfg='fAVg(g:，一p(g)?p(gD{，
其中P为秩函数，则医[，】(+l'敝[，]为集.令
Ult?(V)=V/U}[f]ff?Vi，
[，]=-[g]?，='g，[f]?g]?，?.g，
由U的完全性保证了(Ultu(，?')是良基的，称Ultu(为的超幂.根据Mostowski同构引理，可以认为Ultu()是传递的.施归纳于公式的结构可以证明超幂基本定理:定理7对每一个至多有个自由变元的公式口，
LTltu()}9([^].…，[])铮;口<『VI=9(，1(d)，…，，一(口))}?U.
定理8设U是上非主的完全超滤.令:—Uu(们，使得(z)=[C](G表示函数值为的常函数)，则是初等嵌入;若:—M为初等嵌入，则最小被移动的序数为可测基数.
所以可测基数又可用初等嵌人来定义.可测基数的突出性质为:
定理~(Scoottl若存在可测基数，则?L.
定理l0(m1)若为可测基数，U是上的正规非主完全超滤，>，则j口<『>口'}?U;2)若对所有基数口<有2=口.射2=.
设A为任意集.>0为任意自然数.[A]={XAIlXl=}，又设，m为自然数.A 为任意集，，:[A]一m为任一函数，若存在HA使得l厂[H】J=1，则称H为，的齐次集-
已知基数.对任意函数，:[]一一m.都存在H，，fHl=，使得H为，的齐扶集，则具有的这个划分性质记为:一():(m=2时记为一(a)).
最着名的划分定理有:
(?):.定理ll(1~amsey)?一
定理12(~P.a0o)一(?.
现在用普遍化方法定义大基数(weaklycompacteardixxa1).
定义9设为不可效基数，一()，则称为弱紧基数.
定理l3弱紧基数是不可及的.
定理l4可测基数是弱紧的.
利用逻辑法把定义9中齐次集的要求加强，又得一类大基数.
定义1O设为不可数无穷基数，若对每一划分，:[]一2，都存在上的驻集H为，的齐次集，则称为讳基数(ineffableeardir~).定理15讳基数是弱紧基数.
定理16可测基数是讳基数.
弱紧基数，讳基数与可测基数的一个显着的不同特点是它们与可构成性相容，并且有
定理l71)若为弱紧基数，则[是弱紧基数】;2)若为讳基数，则[为讳基数】.令为无穷基数，[】“=U[】一，对任意函数，.[】“一，都存在H，.霄=，使得 t厂[H]“l=1(即对任意，l/}H]f=1)，则记为一()
定义1l设d?.使一()“成立的最小基数记为().称()为划分基数(partition eardlm1).t
(甜)，(十1).(+2)，…(6)
是一严格递增序列.(6)的固定点是一新的大基数.
定义l2若为不可数无穷基数，
则称为蓝姆赛基数(I?eycardim1).
定理l8可测基数是蓝姆赛基数.
相对于L来说.蓝姆赛基数存在则有更强的结果，
定理l9(Rowbottoml若是蓝姆赛基数.<为无穷基数.则l(^)l=.由此可知，这时只有可数多个可构成实数.把(7)式中的结论减弱，又可定义两类大基数.
定义13无穷基数称为罗伯特基数(Rowbo~omcardina1)铮对任意，:[】“一^(<)，都存在H，，fHl=，使得l厂[H]“f?%.
定义l4无穷基数称为琼生基数(Jor~oneardlr*a)~O对任意，:[】“一，都存在H，，lHl=，使得九H](_?.
定理201)蓝姆赛基数是罗伯特基数;2)罗伯特基数是琼生基数
罗伯特基数与模型论中的张猜测相关
定理21为罗伯特基数对所有<.张猜测(.)，(，)成立.
在zF加决定性公理AD系统中，有下列有趣结果:对每一个n(2<<?).是琼生基数，
是罗伯特基数.
3不可描述基数
利用反射原理和高阶集论语言中的公式集.，可以定义大基数.
定义15基数称为由带参数，….的公式可描述的甘《，?)}(，…?)?
而对所有卢<，《，?)}(U1n，…，n)不成立.口被所描述甘对某些?…?[vo，a被带参数u“，的公式所描述.
定义16是瑶一(一，一)不可描述的铮口不能被瑶(，?三)中的任何公式所描述.即 a是?:一(一，一)不可描述的甘为任一(，)公式，，….，?若(，
?)}(，…，)，则存在卢<口，使得《，?)}(n，….n).
定理22是瑶.不可描述的甘是强不可及的.
定理23是珥.不可描述的是弱紧的
定理24是珥.不可描述的甘是马洛基数.
定理25可耐基数是瑶.不可描述的.
定理26若U是上正规超滤，则
{a<fV，?山(口是?不可描述的){?U.
4紧基数
在一阶谓词演算中有紧性定理:若西是一公式集.西的每一有穷子集有模型，则西有模型.
现在考察无穷语言的紧性.设，为二元穷基数.若集论语言中有个个体变元，谓词符号，函数
符号，常数符号至多个，连接词除].^，V，一，一外.还有二无穷连接词:v.((无穷析取).^<.(无穷台取)(口<).相应地有形成规则:若}f{<口}(a<)是台式公式集，则wk.张
^<.仇为台式公式，量词除V，j外，还有二无穷量词Vj(卢<)，相应地形成规则为:若为无穷长公式，则VK.jK(卢<)为台式公式.这时我们记无穷语言关于无穷连接词和无穷量词的语义解释也是通常形式语言语义解释的推广.特别地，有..语
言.一般地说..不一定有如一阶谓词演算类似的紧性.语言的紧性是基数的性质.下面
应用无穷语言的紧性来给出弱紧基数第二个定义.
定义17基数>称为弱紧的，若语言是弱紧的.即若西是.的语句集，f西f?，对西的任一子集西，当f西f<时都有模型，则西有模型.
可以证明这时至少是弱不可及的.
定理27若为强不可及基数，则下列命题等价:1)是弱紧的(定义17);2)一()(定义9);3)有树性质(即任一高为的树，其每一层的基数小于，则有长度为的枝);4)是珥-不可描述的;5)上任意子集u.结构《.?.U)有真的韧等扩充《A，?，).定理28蓝姆赛基数是弱紧基数.
定理29弱紧基数是马洛基数.
利用逻辑法，由弱紧性可导出强紧性.由强紧性可导出超紧性
定义l8设为正则不可散基数.?为任意基数，.为无穷语言.若对.
的任意语句
集西，I西I=，任意西西.I西I<都有模塑，则西有模型，则称有(.).紧性.
基数>0称为强紧基数甘语言&是(，^)一紧的.称强紧基数.若对每—个^?，.
是(.^)紧的(即对每一个^?，是强紧的).
令=tPlf尸I<}，U是上的非主肛完全超滤，若V口<(1P?I?
P}?)，则称u是精细的.
定理30Z)x是强紧的甘只^上存在精细的完全的超滤;2)强紧基数是可测基数.强紧性对可构成性来说，有比可测性更强的结果.
定理3I若存在强紧基数，则对任何A.?L【A].
设U是P上的精细超滤.若对任意函数，:f一^，使得tP?IP)?P}?u.都?存在y<^.使得{P?l，(P)=yI?U，则称u是正规的.
定义19若只^存在非主的，精细的，完全的正规超滤，则称是超紧的，称为超紧基数.若对所有^?，是超紧的.
Scott猜测超紧基数就是强紧基数，Men且s证明了下列定理.从而否定了Scott猜测.
定理32设是最小的可测基数使得它为强紧基数的极限，则不是2“-超繁的.定理33超紧基数是强紧基数.
是超紧的也可以如可测性一样由初等嵌入来定义.
定理34若^>，则只^上存在正规超滤q存在初等嵌入一^彳，使得 V<(()=);，()>;MM.
5可扩基数
由于Ktmen证明了定理:不存在到V自身的非平凡初等嵌^，于是Relnhardt就利用相似
法，考虑把的前节嵌入到更大的前节上去而提出可扩基数的概念.定义20设>0，基数称一可扩的甘存在f和初等嵌入:+一，使得为最小被移动的序数，并且<()<f.称为可扩基数，若对每一个一0，是可扩的.
当<时，f=()，这时可扩性正是相似性，即若:V_一(小为初等嵌人.则.{)对直到(+1)一阶之前的高阶性质无区别.
定理35可扩的充要条件为对每一个>，存在f和初等嵌入:—，使得为最小技移动的序数.
定理36若是1一可扩的.则是可测的.
可扩性与超紧性之间有互相交错的关系.
定理37若是IVl一超紧的，<，则存在上的正规超滤u使得{d<『d是可扩的}?
定理38若是可扩的，+1<则是f+I一超繁的
定理39若是可扩的，则是超紧的
定理40若是超紧的并且是1一可扩的，则存在上的超滤u使得1口<I口是超紧的}
?U.
Magidor发现可扩性是高阶无穷语言的紧性.设:为无穷语言，的阶语言，A为其语句集，若A有模型，则称A可满足.A是可满足的甘任一个AA，『A『<，A可满足.
基数是紧的目:的任意句集=，当=是可满足时=可满足.
定理41z)x可扩甘是seZ紧的;2)是量紧的甘是:.紧的.
各种大基数类之间的包含关系如下:
讳羁譬，马希
可扩超鼙强鼙可?
，董姆赛罗伯特煮生
讳基数与蓝姆赛基数之间无包含关系由下列二定理可以看出:定理I2若是讳基数.则是?{一不可描述的.
定理43最小的蓝姆赛基数是玛.可描述的.
6巨大基数
利用初等嵌入，我们可以定义可爰I基数，超紧基数，可扩基数.所定义的基数越来趣大，实际
上我们已走到了不协调的边缘.现在分析如下.
定义21设为不可及基数，相同语言的模型序列为
(耽fa<，(8)
其中每一个M=(V?.l}，R)(R))，并且口<<口<，(口)?，()<，则称(8)为自然序列.
设为某个初等嵌^.以为最小披移动的序数.令=.对每一个?m.若还在的定义域中，则令+l:()，又若V??(定义)，则=sup{f?}，()=
sopl/(，.)f??}:%.
定义22设?.称为巨大的甘存在初等嵌人:一^以为最小被移动的序
数使得MM.是巨大的甘是1.巨大的.
显然，若是0.巨大的，则是可爰I的.
定理44是.巨大的甘在某个P()上存在完全的正规超滤U和基数序列:^0<…
<^=，使得对每一个i<.{X^fxn?:}?U.
定理45若是巨大的，则存在上的正规超滤u使得当(Mof口<>为自然序列时，存
在y?u，使得，?y存在以口为最小被移动的序数的初等嵌^M一^.
定理46(Kune~)若:—M为初等嵌^，为其最小被移动的序数.剜P()M.由定理46我们不能定义巨大基数.
某种大基数的存在与zFc的相对协调性，具有大基数作用的0'集，大基数与决定性公理的
关系.在力迫扩充中某种大基数存在的条件.大基数在模型论，拓扑学，描述集合论中的应用等.
终极V：V=终极-L的直接推论
(Axiom Icarus set)见证最大基数Icarus的存在性。
(Woodin)见证真类多的Woodin基数。
(L-like)是最大的内模型。
(ADR-like)见证能够和选择公理兼容的最大的类-ADR 公理，并且θ是正则的。
(Ordinal Analysis)拥有最大的证明论序数。[2]（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
(Regularity property)见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）
(Ω- logic)见证Ω猜想成立。
(V=HOD)见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
(Reinhardt)见证ZF+Reinhardt不一致。
(H(λ+))存在非平凡初等嵌入j：Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+))·
(Generic-Multiverse) V是最小的脱殊复宇宙。
(GCH)见证广义连续统假设成立，并且ω1上有一个均匀预饱和理想。
(PFA)见证正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)[3]成立。
PFA+存在一个Woodin基数可以见证，存在见证一个Woodin基数是Woodin基数的极限的内模型。[4]PFA本身可以推出开放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一个比较有用的力迫公理。
(□MP)见证必要最大化原则(Necessary Maximality Principle)成立。
如果在一个弱紧致基数的模型内见证□MP成立可以见证，存在见证一个Woodin基数的内模型并且投影决定性公理PD成立。[5]另一个比较有用的力迫公理。
(UA)见证超幂公理(Ultrapower Axiom)成立。[4][6]
(UBH， CBH)唯一分支假设UBH以及共尾分支假设CBH不成立。
V=终极-L的前置需求
(Supercompact)一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
(Ultrapower Axiom)一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。[6]
(SBH)一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
导读：目前最强的见证存在武丁基数的武丁强极限的内模型中见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证□a对一切基数 a 成立。
如果某个内模型见证一个基数 a 是Π21-亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)，CBH(共尾分支假设)，SBH(策略分支假设)，PFA都可以成立，并破坏□a。
V=终极-L的可能推论
(First-Order) V=终极-L是一个多元一阶算术(Many-Sorted First-Order Logic)集合论。[2]
(finitely axiomatizable)存在V=终极-L的有限公理化。[7]
导读：终极-L本身当然不可能是有限公理化的。但是我们可以这样做：宣告ZF，宣告V=终极-L，宣告存在以上所有条款的最大序数真谓词。（可数传递模型/[公式]-传递模型是不需要的，因为终极-L见证Ω猜想成立）然后寻找这一套东西的保守扩张是有穷公理化的，将这个最终的东西命名为“V=终极-L的理论”。只要V=终极-L确实是多元一阶算术，就可以这样做。
(Limit of supercompact)存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
(AD-Conjecture)对于每一个超紧致基数的极限基数λ，ADλ成立。
导读：I0和Icarus都是极其强大的内模型。第一个ADL(R)的证明使用I0基数的存在性而得以完成，而反过来说，这也证明了I0基数是和ADL(R)相似的类-AD公理。然而，继续向上推广I0会遇到一些疑难：I0本身已经并不是非常像决定性公理，或许继续往上会越来越不像决定性公理。所以在I0和Icarus之间发展出了三种不同的推广方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E层级。而如果AD-Conjecture成立可以终极地避免类似问题：我们在V和Icarus之间建立了绝对性。
(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基数之下的每一个≥ I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。
(V[G])如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω-序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
(Universal Partition)见证普遍分区公理成立。
(Strong Universal Partition)见证强普遍分区公理成立。
(Canonical inner model)终极L是一个典范内模型[8]，并见证地面公理Ground Axiom成立。[6]
V=终极L自身的疑难问题
(LΩ，LΩs，LΩ(*))终极L是否是唯一的。
(Ultrafilter Axiom at λ)如果只有一个终极-L，那么对于每一个超紧致基数的极限基数λ，超滤公理成立，反之不成立。
即使真的存在一个典范的内模型是终极L并且满足“Woodin的完美理论”的所有条款，也不一定只有一个这样的典范内模型。虽然Woodin与Peter Koellner等人认为终极-L几乎没有可能不是唯一的，然而如果内模型计划最终得到了这样的结果的话，终极-L也不会是柏拉图主义所完全满意的那个终极理论而变成了形式主义的又一次伟大胜利。[9]
以下戏仿内模型计划的其中一个挑战理论，内模型假设的形式的猜想，假定了终极L至少具有ω1Ck个这种宏伟意义上的唯一性失败。[2]
(IMH for Ultimate-L)对于每一个一阶语句ψ若位于一些Ⅴ的外模型内那么存在一个终极内模型LΩψ满足ψ。
(Strong lMH for Ultimate-L)对于每一个带有参数（ω1，ω2，）的一阶语句ψ若位于一些Ⅴ的外模型内并且ω1-preserving 和ω2-preserving 那么存在一个终极内模型LΩψ满足ψ。
原版的 IMH 是一个具有最大宽度（通过将所有力迫外模型所增强的语句指认为宇宙内的适当内模型）但是极低的高度（不存在不可达基数）的“矮而最胖”的集合论公理。[10]而相对的终极-L则是一个“最高而瘦”（最大的大基数和CH成立）的集合论公理。虽然不太可能成功，但是这样的一个缝合怪或许是某种意义的最优集合论理论。
(M-Max) ZFC+V=终极L 是否能比ZFG+≥丨carus+MM++更为M-最大？[11]
马丁最大化MM作为一个早年Woodin信奉后来又抛弃的概念，一直都有将MM的弱化（MM++(c)，RFA，OCA等）和集合论局部结构的内模型相互比较强度的论文推出。诚然，终极-L会是一个S-最大(Steel-Maximization)理论，然而有人质疑V=终极L作为是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意义上比MM更强，因为他们认为似乎终极L并不是那么的典范的内模型[11]，并且最终提出了以下猜想。
(INEC)解释不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:
ZFC+V=终极L中不存在关于ZFC+≤ l carus+MM++的M-等价解释。因此，ZFC+≤ l carus+MM++严格意义地比 ZFC+V=终极L 更为M-最大。[11]
绝对无限：不可达基数及其之上的大基数其本质都是对绝对无穷的在“宽度”（表现力）上的可见证的逼近和模拟，因此绝对无穷自然的拥有大基数的全部性质。
绝对无穷Ω如果存在，应该是：
Dedekind的，不可数的，具有滤的形式，具有真类的势，
是世界的，是弱不可达的，强不可达的，Mahlo的，不可描述的，不可言喻的，不可区分的，Ramsey的，
是大基数，是反射论证的，可测的，超可测的，强大的，高大的，Woodin的，
无限谓词的，亚紧致的，是超大基数，强紧致的，超紧致的，
可扩的，Vopenka的，是巨基数，高度跳跃的，阶对阶的，Icatus的。
目前不知道是否有的性质：非良基，不可遗传序数可定义，不可选择，不一致
其中只有“具有真类的势”是描述高度的，其他都是描述宽度的。
相同点：
两者都是预设一个位于集合运算之外仍能无矛盾成立的新基数，也就是所谓的不可达性。理所当然的这是一切无穷公理的通用性质。
宣告这些新基数的一致的公理系统T的有限公理片段都存在可数传递模型。naive地解读，就是，如果你有一个有限的Con(T)，那么你也有Con(T+Con(T+Con(T+…)))。这是绝对无限的反射原理的弱化形式。
公理系统内的有限个句子都是绝对的。这还是绝对无限的反射原理的弱化形式。
任何稍强的大基数都具有反射论证性质。naive地解读，就是支持反射论证的大基数的关键点，在其下方都具有“绝对无限多个”同样性质的大基数。
理想的绝对无限Ω可以naive地看作为终极数学宇宙（柏拉图宇宙/冯洛依曼宇宙）V的基数，普通的[公式]则是自然数集合的基数，而大基数就是反射论证非平凡关键点的基数。反射论证理所当然的还是反射原理的弱化形式。
它们都是V≠L的实例，和V=L（可构造集合宇宙）不相容。
不同点：
绝对无穷曾经有两次直接引入的尝试，但都不怎么成功（第一次是康托尔，被康托尔悖论+罗素悖论+布拉利-福尔蒂悖论三连击败引发第三次数学危机；第二次是Berkeley cardinal伯克利基数，被选择公理AC排斥）；然而大基数的引入是相当成功的。
大基数都居于V=WF（良基集合宇宙）之内，而目前能够勉强运作的绝对无穷的衍生物都是居于V≠WF（非良基集合宇宙）之上并且是V=WF的非保守扩张。
不可达基数及其之上的大基数有着非常重要的运用，比如取消分球悖论，导出ZFC一致性，二阶算术完备，而绝对无穷并没有发现有什么特别的用途，并没有发现有什么特别的用途，并没有发现有什么特别的用途。
绝对无限的衍生物所具有的特异性质：
伯克利基数以及在其之上的基数如果是和ZF一致的将会证否V=HOD和Ω-猜想。并且有可能会引发第四次数学危机推翻第二次数学危机以来的成果：没有选择公理，实分析就和没有地基一样。
如果是朴素意义的作为V的基数的绝对无限Ω，在新基础集合论New Foundations， NF里面是可以存在的。但是，绝对无穷只是“目测”起来很强很大，它在一致性强度和证明论强度看起来可以说并不强，而强大的标准其实是非常哲学的判断，是没有唯一定论的。非要按照康托尔原来的进路去理解绝对无穷/全类/真类其实是很钦定的行为，没啥意思
在NF中的绝对无限Ω如果你对它施加幂集，得出的结果反而会跌落绝对无限的神坛，也就是[公式]。
某种程度来看这是最强的不可达性：任何对绝对无限集的重构结论都会低于绝对无限。
人话地描述这个过程的话，幂集操作乃至于一切集合运算就好像一个平底锅，它接住一个两个一系列集合，就会重构集合里面的元素，重新冶炼这些集合。
而对于绝对无限Ω来说，它里面具有大量的集合元素是不能再施加冶炼的（非康托尔式集合），NF这个汤锅就好像一个筛子丢弃这些元素保持NF的一致性，然后再冶炼，因此Ω的幂集远远不能和Ω相比。如果是一般的集合论比如ZF，无法舍弃这些元素，就会陷入越大的基数会有更大的基数的怪圈，因此Ω不被这些集合论相容。而这个性质刚好也符合我们对绝对无限的直观。
