当存在单一折扣率时，某种存货单元的单位价值v发生如下变化：
v＝v0≤Q＜Qb
v（1－d）Qb≤Q
式中：Qb——享受折扣的订货批量数量界限；
d——折扣率；
我们再来看单位保存成本C1。如前所述，保存成本主要包括存货占用资金的利息、保险费和失效及损失费用，这些费用实际上是与平均存货的价值成正比的。设比例系数为r，则年保存成本可表示为：
CIQ/2＝rvQ/2，即CI＝rv（9.5）
为了确定存在折扣时的最佳订货批量，我们引入全部存货成本的概念和表达式。所谓全部存货成本，记作TIC，就是全部库存成本与存货成本之和，即：
TIC（Q）＝rvQ/2＋CTD/Q＋Dv（9.6）
当Q≥Qb时，扣除折扣率的全部存货成本为：
TIC（Q）＝rv（1－d）Q/2＋CTD/Q＋Dv（1－d）（9.7）
按推导EOQ的同样的方法，可以求出考虑折扣因素d时的EOQ（d）公式，注意，式（9.7）中的Dv（1－d）项与Q无关，故在求导时被略去。于是有：
EOQ（d）＝[2DCT/rv（1－d）]1/2＝[2DCT/CI（1－d）]1/2（9.8）
当存在折扣因素时，订货批量的决策实际上是通过比较不同批量下的全部存货成本，从中选取使全部存货成本最低的订货批量。其选择步骤如下：
（1）按式（9.8）计算存在折扣率条件下的订货批量EOQ（d）；
（2）比较EOQ（d）和Qb。
若EOQ（d）≥Qb，则EOQ（d）为最佳订货批量。
若EOQ（d）＜Qb，则转到步骤3。
（3）分别计算全部存货成本TIC（EOQ）
TIC（EOQ）＝（2DCTCI）1/2＋Dv
1）若TIC（EOQ）≤TIC（Qb），则最佳订货批量为不考虑折扣率的EOQ；
2）若TIC（EOQ）＞TIC（Qb），则最佳订货批量为折扣订货批量Qb。
当存在多档折扣率时，可仿照上述步骤分档求解最佳订货批量。
4.考虑非同时补充存货的情况
我们现在考虑放宽推导EOQ时的另一个重要假设，即补充订货不是一次到货，而是以一定的速度m逐步补充订货，这时的存货变化情况犹如锯齿形。与前面推导EOQ时的不同之处仅在于平均库存水平不再是Q/2，而是现在的Q（1－D/m）/2。这时的全部库存成本为：
TRC（Q）＝CIQ（1－D/m）/2＋CTD/Q
相应的最佳订货批量修正为：
FEOQ＝[2DCT/CI（1－D/m）]1/2＝EOQ[1（1－Dm）]1/2（9.9）
这相当于在原有的EOQ上乘上了一个修正系数。我们注意到，当D/m很小时，这种情况等价于同时补充存货的情况（对于生产系统是生产率大大高于需求率），这时的FEOQ→EOQ。但是当D/m→1.0时，由式（9.9）可以看出，此时的FEOQ→∞。可以想象，这相当于需求率与生产率吻合，生产系统连续不断地生产某种产品以满足需求。实际中还存在第三种情况，即D/m＞1.0，例如D/m＝1.3。这时可以固定一部分生产设备进行连续生产，而将余下的部分，比如0.3m安排批量生产。
物流系统中仓储管理的实践表明，即使是应用ABC分类法和EOQ这样简单的方法，都会取得显着的成效。
9.3 时变和随机需求下的库存控制
9.3.1 时变需求下的库存控制
在上节推导EOQ时，假定需求是不随时间变化的，现在放宽这个假定，考虑需求随时间变化情况下的库存控制问题。这里所说的时变需求，是指在一个期间内，需求保持恒定；而在一个期间转到另一个期间时，需求发生变化。这种已知的、时变的需求属于从属性需求，这种需求模式在实际中有广泛的应用背景，例如：
①在多级制造系统中，生产作业计划将最终产品按零件表展开成各级制造要求，对每一级制造阶段来说，上一级制造阶段的要求，就是一种确定性的、随时间变化的需求。
正是在这个意义上，物料需求计划（MRP）方法，也可以看做是一种处理从属性的时变需求的库存控制方法。
②与顾客签订了全年的供货合同，按规定时间供货，但每次供货的数量可能不一样。
③对某种产品或存货单元的需求具有已知的季节性变化特征。
④对某种产品或存货单元的需求具有已知的增长趋势。
⑤设备预防维修的备件供应，一旦维修作业计划制定出来，备件的需求时间和数量（还包括品种规格）就确定下来了。
我们已经指出，确定从属性时变需求的订货批量的方法，不同于确定性恒定需求的订货批量方法，前者要比后者复杂。H.M.瓦格纳（H.M.Wagner）和T.M.惠廷（T.M.Whitin）于1958年提出了一种基于动态规划方法的求解时变需求下的订货批量最优化方法，称为瓦格纳-惠廷方法。但由于方法比较复杂，实际中很少应用。此后，一些管理研究者提出了一些启发式的解法，由于这些方法比较简单，得出的结果在许多情况下接近最优解，故得到普遍的应用。下面我们介绍其中最有代表性的也是应用较广的两种方法，它们是：西尔弗-米尔启发式方法和部分期间平衡法。
为了便于说明方法的效果，我们先从下面的一个实例入手，给出应用EOQ的结果，然后再应用启发式方法寻求更好的解答。
1.典型的随时间变化的需求模式
这里假定忽略交货提前期。求解的方法是，处在第一个月开始时，通过计算累计的每月需求我们注意到，EOQ＝164，介于84～214之间，由于更靠近214，故利用EOQ的强壮性，将第一次的订货取作214（单位）。在第五个月开始时，由于EOQ在154与154＋129＝283之间更接近154，故第二次订货取作154（单位）。确定第六个月的订货量的方法与第五个月的方法类似。在第七个月开始时，由于164在88、88＋52＝140和88＋52＋124＝264之间更接近140，故7月初的订货量取作140，余类推。最后得到：
总订货成本＝8×54＝432.0（元）
总保存成本＝528×0.4＝211.2（元）
总库存成本＝432.0＋211.2＝643.2（元）
2.西尔弗-米尔启发式方法
如果采用动态规划方法求解例9.3，最后得到的是总库存成本为501.2元，远低于EOQ法，可见EOQ法对处理需求随时间变化的库存控制问题，结果通常不能令人满意。
但从实用的角度来看，动态规划方法虽然能够求出最优解，却因其算法和理论过于复杂而很难为实际管理人员所掌握。为此，一些学者提出多种实用方法，最有代表性的要数加拿大作业管理学家E.A.西尔弗（E.A.Silver）和H.C.米尔（H.C.Meal）提出的启发式方法，简称为S－M法。我们下面就用此法来重新求解例9.3。
S-M法采用期间平均总库存成本作为判别函数，它是期间数T的函数，计作TRCU（T），其定义为：
TRCU（T）=（订货成本＋T个期间的全部保存成本）/期间数T
＝［CT＋钞CI（i－1）D（i）］/T（9.10）
式中：D（i）——第i个区间的需求量，i＝1，2，…，T。
所要求解的订货批量，应使得期间平均总库存成本最小化。
S-M法的求解步骤如下：
（1）当T＝1时，例如在例9.4中，在第一个月开始时，如果忽略该区间上的保存成本，则：
TRCU（1）＝CT/1＝CT
（2）当T＝2时，保存成本为CID（2），因此有：
TRCU（2）＝［CT＋CID（2）］/2
（3）当T＝3时，有：
TRCU（3）＝［CT＋CID（2）＋2CID（3）］/3
依此类推，直到首次满足下述判别准则时为止，TRCU（T＋1）＞TRCU（T）
然后令订货量Q＝钞D（i）。（i＝1，2，…，T）。从T＋1期间开始，重新令T＝1，重复上述过程，直到计划期末。
【例9.4】仍采用例9.3给出的成本数据和需求数据，仍假定总保存成本根据期末存货计算，忽略第一期保存成本，应用S-M法的求解过程如下：
解：将例9.3的数据代入，得到：
T＝1，TRCU（1）＝CT＝54
T＝2，TRCU（2）＝［CT＋CID（2）］/2＝（54＋0.4×62）/2＝39.40
T＝3，TRCU（3）＝［CT＋CID（2）＋2CID（3）］/3
＝（54＋0.4×62＋2×0.4×12）/3＝29.40
T＝4，TRCU（4）＝［CT＋CID（2）＋2CID（3）＋3CID（4）］/4
＝（54＋0.4×62＋2×0.4×12＋3×0.4×130）/4＝61.10
由于TRCU（4）＞TRCU（3），故使订货量
Q1＝D（i）＝10＋62＋12＝84（单位） （i＝1，2，3）
然后，对于第四个月，重新令T＝1，重复上述过程。
大量实践表明，多数情况下，S-M法的计算结果与最优化方法的计算结果非常接近，而S-M法更简单实用，很受实际物流管理和作业计划人员的欢迎，无论是手算还是在计算机上实现，工作量都不大，故得到广泛应用。
3.部分期间平衡法
部分期间平衡法（part‐period balancing，PPB），是选取订货批量，使之覆盖这样的期间，在此期间上，全部保存成本低于全部订货成本，一旦前者超过后者，就转到下一个期间上重新确定新的订货批量。以此类推，直到计划的终点。一般来说，采用部分期间平衡法得出的订货批量方案，其全部库存成本要高于采用S-M法得出的结果。尽管如此，由于部分期间平衡法提出的较早，且较简便，故其应用更为广泛。
9.3.2 随机需求下的库存控制
如前所述，由于独立性需求是由市场决定的，是随机的，故独立性需求的库存控制，实质上是随机需求下的库存控制问题。
随机需求下的库存控制有两种基本的库存控制策略即连续检查库存控制系统（或简称为连续检查系统），以及定期检查库存控制系统（或简称为定期检查系统）。下面我们分别对这两种系统进行讨论。
