同角三角函数的基本关系式
【教学目标】
（1）掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系；（2）会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式；应用同角三角函数关系，化简三角式（求值）；并能证明简单的三角恒等式；（3）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力。
（4）通过同角三角函数的基本关系学习，提示事物之间的普通联系规律，培养学生辩证唯物主义观点。
【教学建议】
重点、难点分析
重点是三个公式的推导和应用。
（1）已知a的三角函数值中的一个，表示它的其他三角函数值；三解函数的定义同角三角函数的三个基本关系式：sin2α＋cos2α=1sinαcosα=tanαtanαctgα=1
两类基本应用
（2）化简三角函数式；
（3）证明简单的三角恒等式。
难点是公式的应用。
（1）利用a的某一三角函数值求a的其他三角函数值；（2）三角恒等式的证明，证明恒等式可从左向右，也可从右向左，等价变形；（3）接受切化弦的思想，及恒等变形中等价转化的思想；（4）化简是最基本的解题思想，结果要求最简形式。
【教学建议】
（1）在应用平方关系时，其结果不唯一，注意根据角所在的象限来取舍；（2）在学习中必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下都能使用公式；（3）注意公式的等价变形和常用数值：sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α；sinα=cosα·tanα；cosα=sinαtanα；（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα；1-sin2α=|cosα|。
（4）证明恒等式要注意等价变形，不能随意扩大和缩小范围；（5）化简要尽量使结果只存在一个角，尽量使根式下，分母上不含有三角函数，其结果还要依题意而定。
【教学设计方案】
同角三角函数的基本关系式
教学目标
1掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系。
2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式。
教学重点
理解并掌握同角三角函数关系式。
教学难点
已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；教学用具直尺、投影仪。
教学步骤
设置情境
图1
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化。
探索研究
（1）复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角a的六个三角函数是如何定义的呢？
在a的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角a的六个三角函数的值是：sina=yr；cosa=xr；tana=yx；ctga=xy；seca=rx；csca=ry；（2）推导同角三角函数关系式观察tana=yx及ctga=xy，当a≠kπ＋π2（k∈Z）时，有何关系？
当a≠kπ且a≠kπ＋π2（k∈Z）时、sina、cosa及tana有没有商数关系？
通过计算发现tana与ctga互为倒数
∵tana·ctga=yx·xy=1
由于tana=yx=yrxr=sinacosa，这些三角函数中还存在平方关系，请计算sin2a＋cos2a的值。
由三角函数定义我们可以看到：sin2a＋cos2a=
yr2＋xr2
=y2＋x2r2=r2r2=1
∴sin2a＋cos2a=1，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：①平方关系：sin2a＋cos2a=1
②商数关系：tana=sinacosa
③倒数关系：tana·ctga=1
即同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角a的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）。上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当a取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中a≠kπ＋π2（k∈Z），在第三个式中，a的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的。其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件。
（3）同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值。
例1已知sina=45，且a是第二象限角，求cosa，tana，ctga的值。
解：因为sina=45且a为第二象限角所以cosa=-1-sin2a=-1-452=-35
tana=sinacosa=45-35=-43
ctga=1tana=-34
例2已知cosα=-817，求sinα，tanα的值。
解：∵cosα＜0，且cosα≠-1，∴α是第二或第三象限角。
如果α是第二象限角，那么
sinα=1-cos2α=1-（-817）2=1517
tanα=sinαsinα=1517×（-178）=-158
如果α是第三象限角，那么sina=-1517，α=158。
说明：本题没有具体指出a是第几象限角，则必须由cosa的函数值决定a可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论。
例3已知tana为非零实数，用tana表示sina，cosa。
解：因为sin2a＋cos2a=1，所以sin2a=1-cos2a又因为sinacosa=tana，所以tan2a=sin2acos2a=1-cos2acos2a=1cos2a-1
于是1cos2a=1＋tan2a∴cos2a=11＋tan2a由tana为非零实数，可知角a的终边不在坐标轴上，考虑tana的符号分第一、第四象限及第二、第三象限，从而：cosα=11＋tan2α，当α为第一、第四象限，-11＋tan2α，当α为第二、第三象限；sina=ctga·tana=11＋tan2α，当α为第一、第四象限角，-11＋tan2α，当α为第二、第三象限角；在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明。
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4
例4化简下列各式：
（1）1-sin2100°；（2）1-2sin20°cos20°。
解：（1）1-sin2100°（2）1-2sin20°cos20°=cos2100°=（sin20°-cos20°）2
=|cos100°|=cos20°-sin20°演练反馈（1）已知：cosa=-513，求a的其他各三角函数值。
（2）已知tana=-158，求sina，cosa。
（3）化简：1-2sin10°cos10°cos10°-1-sin280°解答：（1）解：∵cosa=-513＜0，所以a是第二、第三象限的角。
如果a是第二象限的角，则：
sina=1-cos2a=1--5132=1213
tana=sinacosa=1213×-135=-125
ctga=1tana=-512
又seca=1cosa=-135csca=1sina=1312
如果a是第三象限的角，那么
sina=-1312tana=125seca=-135
ctga=512csca=-1312
（2）解：∵tana=-158＜0∴a是第二或第四象限的角例3的求法可知当a是第二象限时cosa=-11＋tan2a=
-11＋-1582=-817
sina=cosa·tana=-817
-158=1517
当a是第四象限时
cosa=11＋tan2a=
11＋-1582
=817
sina=cosa·tana=817-158=-1517
（3）解：原式=sin210°-2sin10°cos10°＋cos210°cos10°-|cos80°|=|sin10°-cos10°|cos10°-cos80°=cos10°-sin10°cos10°-sin10°=1
【本课小结】
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此sin2a＋cos2β≠1，tana≠sinβcosγ……
（2）诸如tana=sinacosa，tana·ctga=1，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义。
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论。
课时作业
1已知sina=45，a∈（0，π），则tana等于A．43B．34C．±43D．±43
2若sinθsecθ=12，则tanθ＋ctgθ的值是A．-2B．2C．±2D．12
3化简（1＋tan2θ）cos2θ
4化简1＋sina1-sina-
1-sina1＋sina，其中a为第二象限角。
5已知tana=2，求sina＋cosasina-cosa的值。
6已知a是三角形的内角，sina＋cosa=15，求tana值。
【参考答案】
1D；2B；31；4-2tana；53；6-43
注：4略解：原式=
（1＋sina）2cos2a-（1-sina）2cos2a=1＋sina-（1-sina）|cosa|=
2sina|cosa
∵a在第二象限
∴cosa＜0
∴2sina|cosa|=2sina-cosa=-2tana。
6略解：
由sina＋cosa=15，平方得，1＋2sinacosa=125，∴2sinacosa=-2425＜0
∵a是三角形内角
∴只有cosa＜0
∴π2＜a＜π，sina-cosa＞0
由sina-cosa
=（sina＋cosa）2
=1-2sinacosa
=1＋2425=75
及sina-cosa=75，联立，得：sina=45，cosa=-35，∴tana=sinacosa=-43
【习题精选】
一、选择题
1已知sina=m（|m|＜1），π2＜a＜3π2，那么tana=。
A．m1-m2
B．-m1-m2
C．±m1-m2
D．±1-m2m
2已知tana=3，π＜a＜3π2，那么cosa-sina的值是。
A．-1＋32
B．-1＋32
C．1-32
D．1＋32
3若θ为锐角且cosθ-secθ=-2，则cosθ＋cecθ的值为。
A．22B．6
C．6D．4
4若角a的终边落在直线x＋y=0上，则sina1-sin2a＋1-cos2acosa的值等于。
A．2B．－2C．－2或2D．0
5已知sinθ=m-3m＋5，cosθ=4-2mm＋5，其中π2＜θ＜π，则实数m的取值范围是。
A．3＜m＜9B．-5＜m＜9
C．m=0或m=8D．m=8
二、填空题
6若θ是锐角，sinθ-cosθ=12，则sin3θ-cos3θ=。
7设ctgx=2，则2cosx-4sinx5cosx＋3sinx=，3sin2x-4cos2x=。
8已知tana=2aba2-b2，
其中a＞b＞0，a∈0，π2，则sina=。
9已知cosa1＋sina=-12，则cosasina-1=。
10y=1cosa1＋tan2a＋2tanasec2a-1的值域为。
三、解答题
11已知sina=m2-1m2＋1（m＞1），求cosa与tana的值。
12已知tana-ctga=14，求tan3a-ctg3a的值。
13已知sina＋cosasina-cosa=2，求sinacosa的值。
14（1）若3sina＋5cosa2sina-7cosa=111，求tana；（2）若tana=3，求sin2a-sinacosa＋2cos2a的值。
15若1＋tana1-tana=3＋22，求（sina＋cosa）2-1ctga-sinacosa的值。
16求证：（1）tan2a-ctg2asin2a-cos2a=sec2a＋csc2a；（2）设f（n）=cos2a＋sinna（n∈N＋），则2f（6）-3f（4）＋1=0。
【参考答案】
一、选择题
1B2B3A4D5D
二、填空题
6111670，-135
82aba2＋b2
9210-3，-1，1，3
三、解答题
11a为第一象限时，cosa=2mm2＋1，tana=m2-12m；a为第二象限时，cosa=-2mm2＋1，tana=1-m22m。
124964。13310。
14（1）－2；（2）45。
151提示：求出tanθ=22后代入求值。
16（1）提示：证明左边＝右边；（2）略。
