（3）令z=12x-π6，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的周期是2π，由于z＋2π=12x-π6＋2π=12（x＋4π）-π6，所以自变量x只要并且至少要增加到x-4π，函数值才能重复取得，即T=4π是能使等式2sin12（x＋T）-π6=2sin12x-π6成立的最小正数，从而函数y=2sin12x-π6，x∈R的周期是4π。
而f（x）=2sin12x-π6=2sin12x-π6＋2π=2sin12（x＋4π）-π6=f（x＋4π）
∴T=4π
师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin（αx＋φ），x∈R及函数y=Acos（αx＋φ），x∈R（其中A，a，φ为常数，且A≠0，ψ＞0）的周期？
生：f（x）=Asin（αx＋φ）=Asin（αx＋φ＋2π）=Asinx＋2πa＋φ=fx＋2πa∴T=2πa。
同理可求得y=Acos（αx＋φ）的周期T=2πa。
例2求证：
（1）y=cos2x＋sin2x的周期为π；（2）y=sin4x＋cos4x的周期为π2；（3）y=|sinx|＋|cosx|的周期为π2。
分析：依据周期函数定义f（x＋T）=f（x）证明。
证明：（1）f（x＋π）=cos2（x＋π）＋sin2（x＋π）
=cos（2x＋2π）＋sin（2x＋2π）
=cos2x＋sin2x=f（x）
∴f（x）的周期为π。
（2）fx＋π2=sin4x＋π2＋cos4x＋π2
=cos4x＋sin4x=f（x）
∴f（x）的周期为π2。
（3）fx＋π2=sinx＋π2＋cosx＋π2
=|cosx|＋|sinx|=f（x）
∴f（x）的周期为π2。
演练反馈
（1）函数y=sin2x＋π3的最小正周期为A．2πB．4πC．πD．π2
（2）y=2cos22x＋π3的周期是
（3）求y=sinπ3-2x＋sin2x的最小正周期。
【参考答案】
（1）C；（2）π2y=cos22x＋π3=1＋cos4x＋2π3
∴T=2π4=π2
（3）欲求y=sinπ3-2x＋sin2x的周期，一般是把三角函数f（x）化成易求周期的函数y=Asin（αx＋φ）＋b或y=Acos（αx＋φ）＋b的形式，然后用公式T=2πa求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数。
由y=sinπ3-2x＋sin2x=2sinπ6cosπ6-2x=cos2x-π6
T=2π2=π
【总结提炼】
（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期。
（2）设y=f（x），x∈R。若T为y=f（x）的周期，则必有：①R为无限集，②x∈Rx＋T∈R；③f（x＋T）=f（x）在R上恒成立。
（3）只有y=Asin（αx＋φ）或y=Acos（αx＋φ）型的三角函数周期才可用公式T=2π|a|，不具有此形式，不能套用。
如y=sin2x，就不能说它的周期为T=2π1=2π。
板书设计
课题例2
1周期函数定义
两点注意：y=Asin（αx＋φ）的周期T=2π|a|思考问题①T≠0
②f（x＋T）=f（x）练习反馈
2最小正周期定义总结提炼
例1
思考题：设f（x）是定义在（-∞，＋∞）上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x∈[2，3］时，f（x）=x，求x∈[-2，0］上的表达式【参考答案】f（x）=x＋4，x∈[-2，-1］-x＋2，x∈[-1，0］【习题精选】一、选择题
1函数y=1-sinx，x∈[0，2π］的大致图像是2下列叙述中正确的个数为
①作正弦、余弦函数图像时，单位圆的半径长与x轴上的单位可以不一致。
②y=sinx，x∈[0，2π］的图像关于点P（π，0）成中心对称图形。
③y=cosx，x∈[0，2π］的图像关于直线x=π成轴对称图形。
④正弦、余弦函数y=sinx、y=cosx的图像不超出两直线y=-1、y=1所夹的范围。
A．1B．2C．3D．4
3使sinx≤cosx成立的x的一个区间是A．-3π4，π4
B．-π2，π2
C．-π4，3π4
D．0，π
4函数y=3cos（25x-π6）的最小正周期是A．2π5B．5π2C．2πD．5π
5若f（x）sinx是周期为x的奇函数，则f（x）π可以是A．sinxB．cosxC．sin2xD．cos2x6函数f（x）=1＋sinx-cosx1＋cosx＋sinx是A．奇函数B．偶函数
C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数
7若函数y=2cosx（0≤x≤2π）的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为A．4B．8C．2πD．4π
8如果x∈[0，2π］，则函数y=sinx＋-cosx的定义域为A．[0，π］B．π2，32π
C．π2，π
D．32π，2π
9y=sinx-|sinx|的值域是
A．[-1，0］B．[0，1］C．[-1，1］D．[-2，0］10在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x＋π3）、y=cos（2x＋2π3）中，最小正周期为π的函数的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个
11已知函数f（x）=sin（k10x＋π3）（其中k≠0），当自变量x在任何两个整数之间（包括整数本身）变化时，至少会有一个周期，则最小的正整数k是A．60B．61C．62D．63
12若x∈（0，π），则函数y=1＋cosx-1-cosx的值域是A．[0，2］B．[0，2］C．[0，2］D．[0，2］二、填空题13函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是。
14函数y=3cos12x-π3的增区间是。
15若f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2-sinx，则x＜0时，f（x）=。
16函数y=3（2＋cosx）（5-cosx）的最大值为，最小值为。
三、解答题
17求函数y=1-cosx2sinx-1＋lg（2cosx＋2）的定义域。
18已知函数y=a-bsin（4x-π3）（b＞0）的最大值为5，最小值为1.求函数y=-2bsinxa＋5的值域。
19求函数y=2sinx-cos2x1＋sinx的最大值及此时x的值。
20设a∈0，π2，A=（cosa）sinα，B=（seca）tanα试比较A与B的大小。
21已知函数f（x）=log12|sinx-cosx|。
（1）求出它的定义域和值域；（2）指出它的单调区间；（3）判定它的奇偶性；（4）求出它的周期。
【参考答案】
一、选择题
1B2C3A4D5B6D7D8C9D10C11D12B二、填空题13π144kπ-43πAkπ＋23π（k∈Z）。
15-x2-sinx1612，14，三、解答题17要使函数有定义，就必须有：
1-cosx2sinx-1≥0，2cosx＋2＞0，∴sinx＞12或cosx=1cosx＞-22
∴x=2kπ或2kπ＋π6＜x＜2kπ＋5π6，2kπ-34π＜x＜2kπ＋34π（k∈Z）
∴x=2kπ或2kπ＋π6＜x＜2kπ＋3π4，k∈Z。
故函数的定义域是
x|x=2kπ或2kπ＋π6＜x＜2kπ＋3π4，k∈Z。
18由题设知a-b=1a＋b=5∴a=3b=2
∴y=-2bsinxa＋5即y=-4sinx3＋5
故当sinx3=-1时，该函数有最大值-4（-1）＋5=9；当sinx3=1时该函数有最小值为-4＋5=1∴所求函数的值域为[1，9］。
19令t=sinx＋1，t∈（0，2），则y=sin2x＋2sinx-1sinx＋1=（sinx＋1）2-2sinx＋1=t-2t，而函数y=t-2t在（0，2）上是增函数。
∴当t=2，即sinx=1时，y取最大值为1，此时x=2kπ＋π2，k∈Z。
20由a∈0，π2得sina＜tana。又seca＞1，∴（seca）sina，＜（seca）tana即（cosa）-sina＜（seca）tana，即A＜B。
21（1）这是由y=log12t，t=|sinx-cosx|复合而成的函数。
它的定义域应满足：sinx-cosx≠0，即2sinx-π4≠0，x-π4≠kπ，x≠kπ＋π4（k∈Z），故定义域为x|x∈R但x≠kπ＋π4，k∈Z。
又sinx-cosx=2sinπ-π4，∴0＜sinx-cosx≤2，根据y=log12t，t∈（0，＋∞）是减函数，∴log12sinx-sinx≥log122，故函数值域为-12，＋∞。
（2）t=sinx-cosx=2sinx-π4，它的图像是由y=2sinx的图像向右平移π4而得到的，而y=2sinx的单调递增区间是kπ，kπ＋π2（k∈Z），递减区间是kπ-π2，kπ（k∈Z），所以t=2sinx-π4的单调递增区间是kπ＋π4，kπ＋34π（k∈Z），递减区间是kπ-π4，kπ＋π4（k∈Z），又因为y=log12t，t∈（0，＋∞）是减函数，所以原函数的单递减区间是kπ-π4，kπ＋π4，递减区间是kπ＋π4，kπ＋34π（k∈Z），（注意x=kπ＋π4时，t=sinx-cosx=0，所以应将此值舍去）。
（3）由于定义域不关于原点对称，所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数。
（4）由于y=sinx的周期为π（根据其图像判断），故原函数的周期为π。
