曼福特在代数几何学中的另一重大贡献是代数曲面理论。在解析几何学中，我们碰到过球面、椭球面、双曲面、抛物面等等最简单的代数曲面，这些都是实代数曲面，也就是三维实欧氏空间中坐标（X，Y，Z）满足一定代数方程的曲面，比如球面方程是X2＋Y2＋Z2=r2，其中所有变元都取实数值。如果我们考虑n维复数空间（也就是以n个复数为坐标）中一组代数方程的公共零点，那就是代数簇；如果局部看来是复二维（实四维）的，则是代数曲面。1961年，曼福特证明代数曲面与代数曲线和高维代数簇有一个不同之处是，代数曲面如有一点具有一个邻域，它在一一连续映射之下是实四维空间的一个领域的象，则这点也具有一个邻域是复二维空间的一个领域的一一解析映射之下的象。对于其他维数这是不成立的。曼福特对代数曲面的分类也做出了巨大成绩。
曼福特还对有300年历史的著名猜想——费尔马大定理有过贡献。费尔马是近代数论之父，他在考虑勾股定理X2＋Y2=Z2时，猜想不定方程Xn＋Yn=Zn当n≥3时没有非零的正整数解。当时他以为自己证出来了，但是没有写下来。三百年过去了，经过许多大数学家的努力，除了部分结果，这个“定理”
仍属没有解决的问题。曼福特虽然并没有能完全证明这个猜想，但是，他证明Xn＋Yn=Zn，n≥3要是有解的话，也是极为稀少的。假设（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），……（Xm，Ym，Zm）是Xn十Yn=Zn的解，我们不妨把这些解按Z的大小顺序排列，小的排在前面，大的排在后面，也就是Z1≤Z2≤…≤Zm。于是曼福特证明第m个解Zm大得不得了，即Zm＞1010acm＋b，其中a（＞0），b均为常数，就连前面几个Zm也要有几十位上百位，这说明费尔马方程有解的可能性是非常之小的。
曼福特不太注意仪表，长头发，大胡子，他在讲演时喜欢挥动左手，右手握着拳头，浑身充满了力量，显示出非凡的精力。他的著作很多，写得清楚干净，但是过于简洁，有时不容易理解。同他接触过的人，都深深地受到他深刻的思想的影响。
费弗曼
1978年还不满30岁的费弗曼荣获菲尔兹奖时，谁也没有觉得意外。早在十年前，费弗曼就以“神童”、“天才”、“早熟的数学家”而著称于世了。
查理斯·费弗曼1949年4月18日出生于美国首都华盛顿。他的父亲是位经济学家，发现自己刚上小学的儿子具有数学才能，真是又惊又喜。当时小费弗曼对中学的数学早已不在话下了，提出要学微积分。“好吧，微积分爸爸还能教”。十岁的费弗曼以惊人的速度学会了大学的微积分，达到一般人数学知识的极限。不久爸爸就送他到华盛顿附近的马里兰大学听课，1963年，马里兰大学同意他正式入学，可是刚上了三个星期课，洪梅尔教授就发现他对课程内容早已掌握，就说：“你在这里听课简直是浪费时间，到高年级去听课吧！”过了三年，他正式从马里兰大学毕业，这时他学的数学知识早已超过一般大学毕业生。接着，他就到美国著名高等学府普林斯顿大学念研究生，只用两年就获得博士学位，还不满20岁。他当了一年讲师之后，1971年，芝加哥大学就聘请他当正教授，1974年，他又被聘请到普林斯顿大学当正教授，年纪这么轻的正教授在美国大学300年历史上是没有先例的。
1978年8月费弗曼获菲尔兹奖时，他已不是头一次得奖了。早在1971年，他22岁时，就荣获过国际性的撒拉姆奖，撒拉姆奖是奖给世界上在三角级数、抽象调和分析等方面取得最新重要成果的人，他至今仍是该奖最年轻的获奖者。从1976年起，美国新建立一种奖给有前途的年轻科学家的华特曼奖。这个奖每年评一次，每次一人，奖金数额150000美元，同诺贝尔奖金不相上下。这个奖的评奖范围并不限于数学专业，数理化天地生统统在内，因此，获奖者不仅要和同行业的专家竞争，而且还要同其他专业的优秀专家比试高低，可见要获得这个奖是多么不容易。在第一次评奖时，费弗曼就众望所归，首先得到华特曼奖，由此可见，这位20多岁的年轻数学家在美国是多么出名了。
费弗曼的主要工作是所谓古典分析。二次大战之后，菲尔兹奖的大部分获奖者是和拓扑学和代数几何学这些热门学科有关。而古典分析是门老学科，长期以来进展不大，只剩下一些谁也啃不动的难题。只有崭新的概念、方法、思想才能使它恢复新的活力，费弗曼正是给古典分析带来新的冲击的人。
古典分析的起点是微积分，研究的对象是函数的解析性质。古典的函数表示法一般有两种，一种是殿开成幂级数，一种是展开成三角级数。展开成幂级数虽然方便，但对一般函数来说，不是级数不收敛，就是级数虽收敛却不收敛到这函数本身。19世纪初，法国数学家傅里叶把函数展开成正弦函数和余弦函数的级数和，这大大推动了分析的研究与应用。所以三角级数也称为傅里叶级数。傅里叶级数的一个重要问题是收敛问题：如果函数f连续，什么时候三角级数几乎处处收敛到f本身？一直到1966年，瑞典数学家卡尔松才证明，如果f的平方是可以积分的，则f的三角级数几乎处处收敛。第二年，美国数学家洪特把这个结果推广到P次可积函数（P＞1）。这个漂亮的结果使大家又瞩目于这个奄奄一息的古典分析，从此这个分支又热闹起来，出现了许多深刻的结果。正是在这个古典分析的复兴时期，费弗曼开始自己的研究工作。从1970年起，他就开始把卡尔松等人的结果推广到多变量情形，也找到一些反例。1973年，他还给卡尔松结果一个简单的证明。这个过程中，他发现三角级数收敛问题与奇异积分算子这两个互不相关的领域有着密切的内在关系，由此推动了整个领域的大发展。
这种意想不到的联系是数学家最卓越的创造。费弗曼的成就远不止这一点。另外一个突出的成就，是他发现哈代空间H1与有界平均振动函数空间BMO的对偶关系。在复变函数论中最重要的函数是单位圆内的全纯函数，如果这些函数在单位圆周上是可积的，则这些函数组成一个空间，称为哈代空间。
1961年，有人从另外角度发现了BMO。而这两个空间之间没有料到的这种简单的关系，则是1971年费弗曼发现的。
费弗曼在偏微分方程方面也有巨大的贡献。1973年他给出非退化线性偏微分方程局部可解性的一个既充分又必要的条件，他和他的学生的工作使得这类方程的问题圆满解决。他在多复变函数论方面也有重要贡献。他在1974年证明：一个具有光滑边界的严格伪凸区域到另外一个的双全纯映射可以光滑地延拓到边界上。许多数学家尝试证明都没有成功，因为多复变的区域和单复变情况不同，两个单连通区域不一定双全纯等价，这样单复变的方法不能够应用。费弗曼独创的新方法解决了这个问题。
奎伦
身材不高，但外表温和，话语不多的奎伦，总给人一种害羞的感觉。他喜欢一个人独自潜心研究，往往一直要等文章发表出来，人们才知道他那想象力丰富的头脑里又产生出什么新产品。
奎伦的生活经历很简单。他于1940年4月22日出生在美国新泽西州奥林治。大学毕业之后，他在哈佛大学跟着著名数学家鲍特作博士论文。鲍特是位有着广泛兴趣的拓扑学家，他指导奎伦用微分几何学方法来解决微分方程问题。奎伦的这篇博士论文虽然与他以后得奖的工作——代数学与拓扑学关系不大，但由此可以看出他的研究不仅深刻而且非常广博。我们可以把他后来的主要工作简单地总结成几类：
1同伦理论；
2复配边理论与形式群理论；
3K理论中亚当斯猜想的解决；
4同调代数——有限群的上同调论；
5代数K理论；
6塞尔猜想的证明。
这些理论都是20世纪50年代至60年代发展起来的尖端，有数十位数学家因为这个或那个贡献而获菲尔兹奖或其他奖。往往问题到奎伦手中时，已经是多少名家都啃不动的难题。但是，奎伦才华出众，他敢于解难题，又善于解难题，比如他在1970年解决亚当斯猜想及1976年解决塞尔猜想就博得一致好评。当然，数学家的能力主要表现在能不能解题，特别是能不能解那些困难的、有名的大问题。可是，解题往往只反映数学家的技巧及匠心，大数学家的功力一般在他们能够开拓新领域，建立新理论，提出新概念，创造新方法，把数学提高一步使之更加系统化。而奎伦正是建立系统理论的能手。他的工作显示出独特的创造性、概念的丰富性以及技巧高明出众。特别是他能把拓扑和代数两方面非常巧妙地结合在一起，这是他超过许多专家的地方。
这首先表现在他把拓扑学方法应用在代数方面。拓扑学研究一般图形，通过一些数学以及代数上的群、环来反映拓扑空间的性质。不同拓扑空间的同调群、上同调环、同伦群之间的差别就反映出拓扑空间的差别。这个方法在拓扑学方面取得了巨大成功，于是有人就用这一套方法来研究代数学的对象，比如群、环、域等等。我们对于每一个对象，比如说有限群，也可以定义它的模p上同调五。然后利用这个不同调环来研究有限群的性质，这就是同调代数的方法。有人猜想：模p上同调环的维数与这个有限群的最大交换p子群的阶数是相等的。这个猜想说起来容易，做起来难，许多人都没有研究出来。问题到了奎伦手中，他不像一般人用代数方法搞代数，而是巧妙地把代数问题变成更一般的拓扑问题，然后再利用强有力的拓扑方法加以解决，就这样完全解决了这个猜想。铎芒小试成功之后，他进一步扩大战果，用拓外方法解决一系列大家最感兴趣的一类群——有限域上的典型群的问题。他得到许多漂亮的结果之后，反过来，又用这些代数结果去解决拓扑学的重要猜想，在这么广大的领域里，他真说得上是来去从容，左右逢源啊。
奎伦用代数结果证明的拓扑学猜想就是K理论中的著名难题——亚当斯猜想。原来格罗登迪克、提雅等人创造了K理论之后，亚当斯用它解决球面上的向量场问题。他发现格罗登迪克群上有些运算作用在它上面，称为Ψ运算，它与向量丛的拓扑性质有关。于是1965年，亚当斯提出大胆猜想，Ψ运算的代数性质与向量丛的拓扑性质有着某种定量关系，他用拓扑方法解决这个猜想的最简单的情形，但是，无法深入下去。奎伦知道在这个时候不能去钻死牛角尖，顺水推舟，把自己的群表示论结果用在上面，一下子干净利落地解决了问题。
他解决的塞尔猜想也是如此，1955年，塞尔就提出：多项式环上的射影模一定是自由模。这个问题如此简单明了，许多人都跃跃欲试。它多次被列入数学家要解决的首要问题名单里，但是大家认为完全解决的希望十分渺茫。不料，奎伦一举完全解决整个问题，他的证明只用了几页，直截了当，简单清楚，使数学界大为震惊。大家对奎伦的才能不能不深为叹服。有趣的是，长期以来摘这个问题的前苏联数学家苏斯林最后也通过另一途径到达顶峰。
奎伦不仅能强攻猜想，解决难题，还能发展概念建立学科体系。这两种能力在一个数学家身上很难兼而有之。奎伦不仅能把零零碎碎得到解决的大猜想一下子拿下来，而且能把零碎碎的理论一下子统一成一个理论体系。代数K理论就是其中之一。
K理论是先在代数几何中，后在代数拓扑学中发展起来的，可是对于一般的环，比如所有整数的集合，很难建立起一个系统的K理论。对于零维，这倒不难，一维就有不止一种K理论，二维就更加复杂了，它们互不相干，没有统一的定义。至于高维，始终找不到一个合适的定义来统一所有的结果。
奎伦在1970年，再次显示出他非凡的才能，他又把代数归结成拓扑，给高维K理论一个同伦的定义，并且证明它符合已知所有定义和结果。这样一来，他又不仅把以前所有零散结果在自己的定义下统一起来，而且对于一些具体的对象计算出具体的结果。这样他出色地完成了代数K理论的创建工作，从此以后，代数K理论成为当代的大热门。
20世纪60年代末，奎伦担任了麻省理工学院的教授，后来在为美国国家科学院院士。他对于新一代代数学家和拓扑学家有着不可忽视的影响。他的论文内容丰富，清楚易懂，富有启发性。无论是他的学生还是他的读者都可以从他那里看到一个丰富多彩的数学世界。
