刘焯（554～610），字士元。信都昌亭（今河北冀县）人。天文学家。
刘焯出身于一个小官吏的家庭，他的父亲刘洽曾为郡功曹，家境并不富裕。刘焯自幼受到良好的教育，曾先后学《诗》于同郡的刘轨思，受《左传》于广平（今河北鸡泽）的郭懋，问《礼》于阜城（今河北阜城）的熊安生。刘焯天资聪敏，深沉好思，三处受业皆未满期便辞别老师另求新知。随后，刘焯得知武强（今河北武强）的刘智海家中有大量藏书，便与好友刘炫结伴就读于刘智海家，闭户读书，十年不出，虽衣食不继，仍自得其乐。这十年苦读，使刘焯成为饱学之士，遂以儒学知名，为州博士。
约隋文帝开皇三年（583），冀州刺史赵煲聘刘焯为冀州从事。不久又举秀才，到京都长安（今西安）与著作郎王劭同修国史，兼参议律历之事。这时刘焯已年近40，虽官微位卑，还是积极参加了这时的历法论争。这一年，他献上了经苦心钻研和实测而得的、自信能够会通古今、符允经传、稽于庶类、信而有征的新历法。可是，开皇四年（584）隋文帝却决定颁用其宠臣张宾所献的开皇历，这大大出乎刘焯的意料，他即与当时著名的天文学家刘孝孙一起反对张宾之历，指出该历不用岁差法、定朔法等六条重大失误。他们据理力争，批评多切中要害，表现了极大的坚持真理的勇气和很高的天文学素养。但是，事与愿违，刘孝孙却因此被扣上非毁天历、率意迁怪的大帽子，刘焯也被加上妄相扶证，惑乱时人的罪名，这对于刘焯不啻是一个沉重的打击，也给他的仕途蒙上了浓暗的阴影。虽然如此，得以与刘孝孙交往与共事，这对于刘焯历算研究的长进必获益匪浅。
在刘焯参加的第一次历争失败以后，刘焯被调到门下省，以待顾问。随后不久被授予员外将军之职。后与诸儒于秘书省考订儒家经典，并曾一度返回故乡，任功曹之职。开皇六年（公元586年）刘焯复返京师，奉命与刘炫等共同考订由洛阳运到长安的石经，以补正石经中磨损的部分，可见刘焯对儒家经典深有研究，而且在当时颇孚众望。其后，刘焯在国子监与群儒共论古今经籍。每论难蜂起，刘焯以其精博，众不能屈。开皇十年（590），刘焯因在国子监举行的祭奠先圣先师的典礼上，与群儒辩难，深挫诸儒，为一些人所妒恨，遂有奏章上呈，谤其非是，刘焯即被革职为民。当然，这只是这一事件的直接原因，而深层的背景大约应是7年前历争中惑乱时人的罪名。
于是，刘焯只得回到故里，专以教授、著述为务，孜孜不倦，前后达10余年。一方面他继续研究儒家经典，匡正讹误，阐发新义，著有《五经述议》一书；一方面他又着力研习《九章算术》、《周髀》、《七曜历书》等10余部历算名著，莫不究其根本，穷其秘奥，把天文历算的研究引向深入，著有《稽极》10卷、《历书》10卷。《稽极》是关于前代历家同异的比较研究成果，因其书早佚，我们无由知其详。而《历书》的主要内容即是刘焯后来上呈的皇极历。在研究、著述的同时，刘焯还从事大量的教育工作，天下名儒后进，质疑受业，不远千里而至者，不可胜数。
刘焯虽身居乡里，他对于当时历算界的动态及进展却十分关心和了解，并多次参与改革历法的争论。
开皇十四年（594），张宾开皇历推验日食多疏远，隋文帝遂令张胄玄、袁充等参定新术。刘焯闻讯，便在刘孝孙历法的基础上，增损改进，献上了《七曜新术》以备选用（此时刘孝孙已去世）。可是，该术与张胄玄之法，颇相乖爽，而张胄玄和袁充皆有宠于隋文帝，二人通力排斥之，刘焯只好作罢。这是刘焯参与的第二次历争，也以失败告终。
开皇二十年（600），皇太子杨广征天下历算之士，咸集于东宫，共议历法之事。刘焯也在被征召之列，这回他献上了经数十年研究的皇极历，并驳正张胄玄历法的错误。由于皇极历精当新奇，驳文有理有据，颇得杨广的称赞。可是，杨广这时刚刚定为太子，立足未稳，且张胄玄仍是隋文帝的宠臣，故不敢妄自改作历法，遂以皇极历未获考验为由搁置不用。对于刘焯也仅任以太学博士之职。这时刘焯已年近花甲，本想这回可以实现历法改革的愿望，并主持天文历法的工作，可是历法未被采用，仕途无由升迁，身体状况又欠佳，遂以健康原因自动罢归乡里。这是刘焯参与历争的第三次挫折。
就在这次罢归以后不久，发生了刘焯一生中最为悲惨的事件。在这一事件中，刘焯的挚友刘炫同时受难，使事件更具悲剧色彩。二刘均以聪明博学称著于世，被废的皇太子杨勇欲召而用之。隋文帝得知此事，便敕令二刘入川事蜀王杨秀，这大约是隋文帝和新立太子杨广惧怕满腹经纶、且精于天算之学的二刘见用于杨勇，将有碍于他们的政治安排，而作出的迅速果断的决定。可能由于二刘均已年老不愿背井离乡而入川，也可能他们对杨秀有什么成见，皆拖延不往，杨秀闻而大怒，便派人将二刘披枷带锁押解至成都，将刘焯充军，令刘炫为门卫，以羞辱之。稍后才又令二刘作典校书籍的工作。这样二位通儒大才却因为与他们无关的政治斗争，蒙受了如此巨大的冤屈，不能不令人悲愤与哀伤。
仁寿二年底（603年初），二刘获准返回京师，刘焯又与诸儒一起修订礼、律，并任以云骑尉之职。虽然经过这样一番大周折，刘焯仍继续进行历法的研究，坚持必须改历的主张。
仁寿四年（604）刘焯又上书皇太子杨广，一方面实事求是地指出张胄玄历法有可取之处；另一方面又尖锐地指出张胄玄历法中有不少内容系取自刘孝孙历法和他在开皇三年所献的历法，并指出张胄玄历法大小失误536条，还以交食等古今天象对张胄玄历法进行验算，发现其乖舛44条。最后，刘焯提出了要与张胄玄当面辩论，和通过实际检验以判别历法优劣的要求。这些都表现了刘焯极大的自信和实事求是的科学精神。同年，刘焯还上呈论律吕之书，这是关于音律学的研究成果。
大业元年（605）隋炀帝杨广登基后，令刘焯与张胄玄两相辩论。张胄玄以皇极历在推求月朔时以定朔法为算，势必出现连续三个大月或连续三个小月的状况，不符合传统的月朔安排方法为由，责难皇极历非是；刘焯则据理力争，以驳张胄玄历，双方互相驳难，是非不决。这当是刘焯参加的第四次历争受挫。同年，刘焯还作论浑天之说上呈，提出了以实测来检验夏至日影长差一寸，两地相距千里的说法的重要建议。
在仁寿、大业之交，是刘焯对天文历法的研究达到炉火纯青的年代，但他的历法是否被采用依然悬而未决，他的重要建议未被采纳，他对音律学的研究心得不被重视，这对于刘焯的打击是十分沉重的，作为对这极不公正的现实的一种抗议，刘焯又罢归故里，以待历史的判决。
大业四年（608），张胄玄历推算日食失验，隋炀帝召见刘焯，欲改行皇极历。可是，其时袁充正得到隋炀帝的宠信，他与张胄玄一起力排皇极历，遂使隋炀帝犹豫不决，欲行又止。大业六年（610），刘焯去世，改历之议猝然而止。这是刘焯参与的第五次历争。
自开皇三年到大业六年的20余年里，在刘焯参与的五次历争中，第四次主要由于落后的传统观念作祟而导致失败，其余四次则明显地受人际关系和政治因素的影响，而并不以历法自身的优劣为断，即刘焯五次都是光荣的失败者，他也因此遭受了不少磨难，但刘焯则不折不挠，奋争不息，至死不渝，为历法的进步奉献了毕生的心血。在刘焯的皇极历中颇多创新，术士咸称其妙，对后世历法产生过相当大的影响，历史将不会忘记这位多灾多难、几被埋没的天文学家的业绩。
在皇极历中，刘焯给出了一批十分精确的天文数据：在刘焯以前各历法所取近点月长度值的误差多在5秒左右，甚至有达10余秒者，而刘焯取其值为2712552263日，误差仅0.8秒，精度远超前人，而且与后世历法相比较，该值的精度亦属上乘。对于月亮每日平均行度，刘焯取13.36879度，与之相应的恒星月长度则为27.321675日，误差为1.3秒，它较前代诸历法（误差多为5秒左右）的精度也高得多。他取食年长度为346.619338日，误差为24秒，其精度也是前所未及的，后世也只有唐末的崇玄历（误差15秒）和北宋末的纪元历（误差7秒）超过了它。刘焯还最早提出了黄道岁差的概念和具体数值，这一概念是从他的先辈所发明的赤道岁差概念引申出来的。在计算太阳行度时，计入黄道岁差的影响，较以赤道岁差入算要科学和合理得多，这大约便是刘焯阐明和采用黄道岁差概念的出发点。刘焯所用的黄道岁差值为1年差609.546644度，这相当于76.53年差1度。与该值相应的赤道岁差值为83.5年差1度，这个数值的精度比前代各家都要高，而且对唐代以及北宋若干历法产生很大的影响。对于其他一系列天文数据，皇极历也各取新值，其精度也大都与前代历法持平。
关于天文表格的编制，皇极历也有所改良或创新。如对于月亮运动不均匀改正数值表（月离表）的定量分析表明：其月亮过近地点时间的误差为0.47日，达到了历史上较高的精度；其月亮每日实行度的测算误差为9.4′，精度高于前代各历法（误差在10.5′至27.1′不等），以后也只有唐末崇玄历的精度（误差为7.0′）超过了它。可见皇极历的月离表是历代最优秀的历表之一。皇极历是我国古代现存最早的给出完整的太阳运动不均匀改正数值表（日躔表）的历法，它很可能受到北齐张子信、刘孝孙等人有关方法的影响。对该表的定量分析显示：二十四节气太阳实行度分与平行度分之差的测算误差为25.2′；因太阳运动不均匀而加于平朔的日分改正值的误差为3.4刻，到唐一行大衍历以后的日躔表才从总体上超过这一水平。可是，皇极历的日躔表存在三个大缺欠：一是它以二分和二至时太阳的盈缩度相同；二是对二分前2个节气太阳盈缩度的测算存在较大的误差；三是对太阳中心差极值的测算也偏大。这些都极大地损害了对太阳运动不均匀性的整体规律的描述，也降低了日躔表的整体精度。在皇极历中，对二十四节气昼夜漏刻长度、昏旦中星度及月亮入交去黄道（即求月亮极黄纬）等表格也作了重新测算，其精度仅保持在前代的水平上。
崭新的数学方法的发明和应用，是皇极历的又一重大特色。其新法主要有等间距二次差内插法、等差级数法和坐标变换法三种。
这就是皇极历计算定朔的方法，是我国古代最早同时虑及日、月运动不均匀对真正合朔时刻影响的定朔法，在我国古代历法史上占有很重要的地位。此外，以上四处所用等间距二次差内插法，对于有关天文量计算精度的提高，无疑起了良好的作用，因为它们能较好地反映这些天文量变化的客观状况，所以，该法同时在数学和天文学史上都有重要的意义。它和定朔法一起也都对后世历法产生了深远的影响。
其六，对于日应食不食和不应食而食术，刘焯也进行了十分认真的讨论。他列出了9种日应食不食和7种日不应食而食的判据，每一种判据又均与朔时月亮去交度分、所值节气和距午正时刻三要素相关。分析表明刘焯所列16种判据都定性地与月亮视差对日食影响的原理相符合，这是对张子信当年发现的极重要的补充和发展。
其七，刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为月亮在黄道南、北二种情况，每一种情况又分为交食发生在观测者的正南、正东、正西、东南和西南前后等7种不同的方向时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终了的方位等内容。这是我国古代对交食亏起方位所作的最详尽的描述。
刘焯的这一整套交食推算法的创立，标志着我国古代的交食研究进入了一个崭新的时代。与此具有同样划时代意义的发明，是他所创立的五星位置计算的新方法。欲求任一时日（A）五星的黄道宿度，刘焯创立了以下5个步骤：
第一，求出历元到A的积日数，减去五星伏日数的一半，其差数以五星会合周期除之，所得余数（B）是为A与最临近的一次五星晨始见东方时刻（平见日）间的时距。由于五星会合周期实际上是相当数量的实测五星会合时间的平均值，故由之算得的平见日（A-B），可以认为是以五星和太阳均作匀速运动为基础求得的。又以积日数除以回归年长度，所得余数（C）则为所求年冬至夜半与A的时距，由此亦可知A所值的节气。
第二，求五星运动不均匀引起的改正值。在皇极历中给出了因所处节气不同，五星平见日或超前、或滞后的时间改正表。以c为引数，依一次差内插法则可由这些表格算得相应的改正值（l0）。
第四，求定见日五星所在黄道宿度（R）。皇极历以历元年冬至夜半时太阳位于黄道虚宿一度，由此后推积年（自历元到所求年的年数）乘以黄道岁差度，可得所求年冬至夜半时太阳所在黄道宿度（R）。
第五，求所求时日五星所在黄道宿度（I）。
在皇极历以前各历法的五星动态表，均由五星晨见始，依次列出前顺、留、逆、留、后顺、伏等动态所经的日数和所行的度数，它们均与这些动态所值的节气无关。皇极历的木、土二星动态表与前相仿，而对火、金和水三星的动态表则作了重大的改进：对于前顺和后顺2个动态时段，均依它们所值的节气不同，给出了不同的运动速率，这实际上就是虑及了这三个行星运动不均匀性的影响。此外，在皇极历的五星动态表中，对各不同动态时段的运动状况，还首次采用了等差级数的描述方法，这当然要比前代各历的匀速运动描述法更切合五星运动的实际状况。如对于火星后顺时段，其术日：“初日万六千六十九，日益疾百一十分，六十一日行二十五度，分万五千四百九”，其分母即“气日法四万六千六百四十四”（《隋书·律历志》）。正与术合。因此推知，皇极历采用了等差级数的求和公式。
最后我们还要提及刘焯在大业元年提出的一项重要的科学建议。刘焯是一位浑天家，他以为盖天说据以推算天地大小的夏至时日“影千里差一寸”这一基本数据是错误的。他指出“寸差千里”的说法没有可靠的典籍依据，这是从一位经学家的立场予以否定的。他又指出“今交、爱之州，表北无影，计无万里，南过戴日，是千里一寸，非其实差”，就是说交、爱二州与地中阳城的距离均不及万里，而夏至时二州日影长度为零，阳城日影长度为一尺五寸，所以应是约六百里日影差一寸，这里从一般人都承认的阳城与交、爱二州的实际距离和影长的事实予以驳斥。更重要的是，刘焯提出了进行检验的具体实测方案：“请一水工，并解算术式，取河南、北平地之所，可量数百里，南北使正。审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影。得其差率，里即可知。”（《隋书·天文志》）这一方案从测量地点的选择，水平测量和时间量度器具和方法的选定，到日影长度的测量必须异地同时进行等要求，考虑相当周密，同时也是十分合理的和可行的。刘焯原本希望通过这一实测来彻底揭示“寸差千里”的谬误，并作为改良浑天说的基础。可惜，他的这一科学建议未被及时采纳，直到百余年以后，唐代的南宫说一行等人才将其付诸实施，进而取得十分重要的科学成果。
综上所述，刘焯的皇极历在一系列天文数据的测算、天文表格的编制、数学方法（特别是等间距二次差内插法和等差级数法）、定朔法、交食推算法以及五星位置计算法等方面，均取得了杰出的成就，它们或以精湛称著，或以立新见长，从而把历法向数学化、精密化和合理化的方向推进了一大步。皇极历的出现标志着我国古代历法已经进入了完全成熟的时期。可是，皇极历作为一代名历而未被正式颁用，它的作者刘焯作为一代天文学大师也命运多舛，这种极不公正的历史现象，不应该让它重演。
