若将集中力、集中力偶的作用点及分布荷载的起点和终点处两侧的截面称为控制面，则这些控制面即为剪力和弯矩方程的定义区间的端点。根据控制面间的情况，决定应分几段建立剪力和弯矩方程。
例6.5图621所示为一外伸梁。自由端受集中力F的作用，试建立此梁的剪力和弯矩方程。
解(1)计算支反力。
(2)确定控制面。
根据控制确定基本原则，注意到支反力FRA、FRB也是集中力，11，22，33，44截面均为控制面，其中22和33处左、右两侧的截面均与支座B无限接近，其坐标值均为2l。
(3)分段建立剪力和弯矩方程。
根据题意可在11和22截面之间，33和44截面之间，分段建立剪力和弯矩方程。
建立FQ-x坐标系如图621(a)所示。
在11和22截面之间(即0x2l)，从位置为x的截面处将梁截开，取左段为研究对象，并设FQ(x)、M1(x)均为正方向，如图621(b)所示。
在33和44截面之间(2lx3l)，从位置为x的截面处将梁截开，取左段为研究对象，并设FQ2(x)、M2(x)为正方向，如图621(c)所示。
将FRA、FRB的值代入平衡方程。
建立这一段梁的剪力和弯矩方程时，若以右段梁为对象，也可得到同样的结果，且运算更加简便，请读者自己练习。
由此可知，建立剪力和弯矩方程的一般步骤如下：
(1)根据受力情况(包括约束反力)确定其控制面，并由此确定剪力和弯矩方程的区间端点和分段数；(2)以梁的左段为坐标原点，沿轴线向右建立FQx坐标系；(3)分段建立剪力和弯矩方程，在每一分段内都要取位置为x的任意截面，从这一截面处将全梁截为两部分；(4)以截开后的一段为研究对象，并按正方向标出截面处的剪力FQ(x)和弯矩M(x)，然后由平衡方程ΣFy=0和ΣMC=0求得剪力和弯矩方程，同时标明剪力和弯矩方程的适用范围，即x的变化区间。
6.5弯曲应力
6.5.1纯弯曲时的正应力
设在梁的轴向对称面内，作用有大小相等、方向相反的力偶，由其构成纯弯曲。这时梁的横截面上只有弯矩，因而只有与弯矩相关的正应力。像研究扭转一样，从综合几何、物理和静力等3方面关系入手，研究纯弯曲时的正应力。
1.变形几何关系
弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图622。以梁横截面的对称轴为y轴且向下为正；以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时被认为是通过原点的横截面的法线。根据平面假设定理，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d，并仍保持为平面。这就使距中性层为y的纤维bb的长度变为(ρ+y)d，这里ρ为中性层的曲率半径。纤维bb的原长为dx，且bb=dx=OO。因为变形前、后中性层的纤维OO的长度不变，故有。
根据前面学习知道，纤维bb的应变为。
式(619)可知，轴向纤维的应变与它到中性轴的距离成正比。
2.物理关系因为轴向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知。
式(621)表明，任意轴向纤维的正应力与中性层的曲率半径成反比；在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
3.静力关系
横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力系(参考图622，在图中只画出了力系中的一个微内力σdA)。这一力系只可能简化成3个内力分量，即平行于x轴的轴力FN，对于y轴和z轴的力偶矩My和Mz。其计算公式分别是。
横截面上的内力应与截面左侧的外力平衡。在纯弯曲的情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶Mz。由于内、外力必须满足平衡方程Σx=0和ΣMy=0，故有FN=0和My=0，即。
这样，横截面上的内力系最终只归结为一个力偶矩Mz，它也就是弯矩M，即是梁轴线变形后的曲率。
6.5.2纯弯曲正应力公式的应用与推广
1.关于公式的应用
由于在推导公式的过程中有平面弯曲和线弹性弯曲的限制，因此在应用公式时不能超出这些条件。根据6.5.1节的公式推导过程知道，无论是对称截面，还是非对称截面，在公式应用时都必须附加以下条件：
(1)对于有对称轴的实心截面，荷载必须作用在轴向对称平面内，并垂直于梁的轴线；(2)对于非对称截面，荷载必须作用在梁的形心主轴平面内，并垂直于梁的轴线。
2.公式的应用与推广(1)推广到横弯曲。
横梁弯曲时，梁的横截面上既有弯矩又有剪力，因而截面上同时存在着正应力和切应力。而切应力沿截面的高度非均匀分布，这样的切应力将使截面产生翘曲变形；因而平面假设不再成立。所以，将纯弯曲应力和变形公式推广到横弯曲，这会带来一定的误差。但是，这种误差和梁截面的高度h与长度l的比值h/l成比例。所以，对于细长梁，其h/l值很小，采用纯弯曲公式所引起的误差便很小。弹性力学的精确计算结果表明，对于承受集中荷载的简支梁，当h/l0.2时，最大应力的误差小于3%；当h/l=1时，误差增加到60%；对于承受均布荷载的简支梁，当h/l0.2时，误差小于1%。
(2)推广到具有初曲率的曲梁。
对于具有初曲率的曲梁，平面的假设依然成立。但是，由于两相邻截面间各层纤维的原长不等，因此线性分布应变表达式(619)将不再成立。将直线梁的应力和变形公式应用于曲梁时是有误差的。误差的大小和截面的高度与初曲率之比有关。当这个比值远小于1时，应用直梁的公式具有足够的精确度。曲梁的精确度计算结果表明，当截面的高度与初曲率之比小于0.2时，应用直梁的公式计算的误差不超过7%；当截面的高度与初曲率之比等于0.5时，误差增加到17%；当截面的高度与初曲率之比等于1时，误差达到52%。此外，当截面的高度与初曲率之比很小时，在应用直梁的变形公式时，公式(624)应改为。
6.6强度条件及应用
在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力σ和弯曲切应力τ。最大正应力σ发生在距中性轴最远的地方，而该处的切应力为0；最大切应力通常发生在中性轴上，而该处的正应力却为0。因此，进行梁的强度计算时，可分别考虑正应力σ和弯曲切应力τ。
梁的弯曲正应力强度条件为。
对于等截面梁，抗弯截面模量Wz为常数，因此式(626)变为。
式(626)和(627)适用于抗拉和抗压相同的材料，而对抗拉和抗压不同的材料则要求。
式中，分别为材料的拉、压许用应力。
梁的弯曲切应力强度条件为。
对于等截面梁，其最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面处，一般位于该截面的中性轴上。
对于短跨度的梁、薄壁梁或承受剪力较大的梁，应进行切应力强度校核。
例6.6螺栓压板夹紧装置如图623(a)所示。已知板长3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]=140Mpa。试计算压板传给工件的最大许用压紧力。
解压板的简化如图623(b)所示。由梁的外伸部分BC可以求得截面B的弯矩为MB=Fa，又知A、C截面上弯矩等于0，从而作弯矩图如图623(c)所示。
由题意可知，最大弯矩在截面B上，且。
根据截面B的尺寸可得。
由强度条件可得所以压板的最大压紧力不应超过3000N。
6.7弯曲变形
6.7.1工程上的弯曲变形
工程上对某些受弯杆件除有强度要求外，往往还有刚度的要求，即要求其变形不能过大，否则构件同样不能正常工作。例如，若车床上的主轴变形过大，如图624所示，这将直接影响齿轮的啮合和轴承的配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低使用寿命，造成工件加工精度误差；如果吊车梁的形变过大，将使梁上的小车行走困难，出现不稳等现象。
如果其变形超出极限，则可能造成事故。
弯曲虽然有害，但也有其有利的一面。如汽车上的弓形钢板可以起到减振和缓冲的特有作用，以保持汽车具有良好的运行状态，达到安全行驶的目的，如图625所示。如图626所示弹簧扳手，要有明显的弯曲变形，才能使测得的力矩更为准确。
在研究问题时，所遇到的梁弯曲时的内力为剪力和弯矩。一般细长梁的弯曲变形主要由弯矩引起；剪力对变形的影响很小，可以略去不计。在今后研究的具体实例中，如果没有特殊说明，皆指由弯矩引起的形变。
6.7.2曲线方程
