(一)阿拉伯数学综述
阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学。
通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学。在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外。他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等。他们大都是伊斯兰教徒。讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学。上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人。
公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活。当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断。由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望。伊斯兰教的创始人穆罕默德，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商。公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教。后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那。他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒——穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来。伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量。
阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量。在“与异教斗争”的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教。不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国。我国历史上称之为大食国。由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食。东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦。
公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地。13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征。13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国。蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教。到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国——帖木耳国。12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点。
在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教。同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具。这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样。阿拉伯人和其他民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化。当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一。
8世纪中叶至9世纪初，出现了几位热心提倡科学的哈利发：曼苏尔，阿伦·赖世德，马蒙等。在他们的大力支持和鼓励下，设立学校、图书馆和观象台。在东阿拉伯形成了以巴格达为首的学术中心。哈利发马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”。这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台。在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文。哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究。就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期。阿拉伯的数学研究就从这里开始。
从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期。由于阿拉伯人能够控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作。欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯、海伦、托勒密、丢番图以及婆罗摩笈多等著名学者的数学和天文学著作都被译成阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证、勘误、增补和注释。这样一来，大量的古代科学遗产获得了新生。已经荒废了几个世纪的古代学者的著作又重新成为人们手头的教材。当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来。
在上述漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期。阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法。他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学。他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩。
阿拉伯人引进了印度数字及其记数法，利用古代数学方法广泛地解决了一系列计算，特别是天文计算问题。他们的近似计算达到了很高的精确度。在代数学方面，他们建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的几何解法，并把代数学明确地定义为“解方程的科学”。他们的工作为代数学的发展提供了方向。在三角学方面，他们引进了几种新的三角函数，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函数表。更重要的是，三角学通过他们的工作开始脱离天文学而独立。阿拉伯人为证明欧几里得第五公设作过多次尝试，推进了平行线理论的研究。
阿拉伯的数学著作具有自己的风格。许多著作十分注意证明的论据，材料的系统安排和叙述的清晰性。大量书籍中都会见到具有东方民族特点的丰富有趣的例题和习题，这些问题往往具有十分新颖的实际内容。
(二)阿拉伯算术的发展
阿拉伯人原来只有数词，没有数字。在征服埃及、叙利亚等国后不久，阿拉伯人就使用了希腊字母记数法。9世纪初，开始出现阿拉伯字母记数法。公元773年(另一说771年)，一位印度学者把印度天文学名著《悉檀多》带到阿拔斯王朝哈利发曼苏尔的宫廷中。不久，这部著作被译成阿拉伯文。印度数字、位值记数法和算术运算就这样传到阿拉伯国家。
大约在825年，花拉子模写了第一部阿拉伯语的算术书。关于花拉子模的传记材料，很少流传下来。现在只知道他是一个拜火教徒的后裔，早年在家乡花拉子模接受初等教育后到中亚细亚古城默夫继续深造。当时阿拔斯王朝哈利发哈伦·赖世德的儿子马蒙任东部地区的总督，住在默夫，他在那里召见过已经远近闻名的花拉子模。813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，花拉子模作为杰出的科学家被聘请去首都巴格达工作，并成为智慧馆学术工作的主要领导人之一。在此期间，花拉子模创作了许多重要的、举世闻名的科学著作，包括数学、天文学、地理和历史等许多领域。
花拉子模的算术著作只有译本流传下来。现在唯一能够见到的，是14世纪中叶翻译的拉丁文手稿，现保存在剑桥大学图书馆。译文没有标题，以“Dixit Algoritmi”开头，中断在一个乘法例题之中。后来，这部译本就定名为“Algoritmi denumero indorum”，其中Algoritmi本来是花拉子模的拉丁文译名，可是被人们理解为印度的读数法，后来它竟演变成表示任何系统或计算程序的“算法”的专业术语algorithm。
花拉子模在他的著作中讲述了印度人利用九个数字和零号的记数法，阐明了十进位值制的原理，引进了零的记号——形似字母“O”的小圆圈。13世纪的欧洲普遍用“小圆圈”或称“暗码”表示零号。“暗码”这一术语一直使用到18世纪末。在15至16世纪，单词ciffra开始有表示数字0，1，2，…，9的符号的涵义，它来源于阿拉伯文as－sifr，后者是梵文中零的名称Snya即“空的”的译文。在欧洲中世纪，拉丁语单词nulle——“一无所有的”“空的”——在一些欧洲语言中以不同形式表示零。
关于整数的四则运算，花拉子模着重讲述了加法如何进位和减法如何借位。他定义乘法为重复相加，除法为重复相减，并通过例子2326×214和4648÷324加以详细说明。所有运算都从最高位开始进行，乘除法必需记熟乘法表(即九九歌)，运算结果要用“弃9法”，有时也用“弃11法”进行验算。运算过程中要特别注意零的性质和零号的使用方法。
据原始资料记载，当时的算术运算，是在木板上撒上一些沙子或灰土，然后用削尖的木棍在沙土上画出数字来。这是由于当时的羊皮纸过于昂贵。对于较小的数字，工商业者用手指进行计算。是否利用了石子或任何形式的象征性的算盘，还无据可查。
花拉子模的算术著作问世后，许多阿拉伯算术书的作者都以它为依据。印度数字和十进位值制记数法也开始被人们接受。在不同地区出现了东阿拉伯数字(埃及、叙利亚、伊朗等国)和西阿拉伯数字(比利牛斯半岛)。
但是，十进位值制记数法在阿拉伯国家的普及经历了相当长的时期。在整个中世纪这种记数法也没有完全代替其他形式的记数法。许多人仍然使用“词句记数法”。例如，艾布瓦发的《算》和凯拉吉的《算术全书》都是十分重要的算术文献，这两本书中都没有使用新记数法。还有一些著作中同时使用两种记数法。一些历史学家推测，在当时可能存在两种相互排斥的学派：印度的和希腊的。新记数法虽然是从阿拉伯国家传入欧洲的，但在那里却很快地得到应用和巩固。而欧洲人还把这种从阿拉伯国家传入的印度数字称为“阿拉伯数字”。
花拉子模的算术著作中专门讲述了分数理论。拉丁语“分数”一词fractiones是阿拉伯语“拆开”的译文。由此在欧洲语言中产生了不同的表示法：法语——nombre rompu，表示“拉断的数”；中世纪俄语——ломаное、число，意为“破碎的数”；英文为fraction，德语为Bruch，等等。
花拉子模把分数分为“能读的”和“不能读的”，这明显地表现出拉伯语中有单词与之对应，它们的词根来源于相应的整数。其他分数称为“不能读的”，用两个以上的复合词来表示。分数的表示方法是分子在上，分母在下，如果是带分数，则整数部分又在分数部分之上，列成古代中国用算筹表示分数的方法完全一致。一些科学史家推测，这种分数的表示法是由中国经印度传入阿拉伯国家的。
分数进行运算时，首先要化为单分子分数，然后再通分进行各种运算。这个例子表明，阿拉伯数学家无疑掌握了把一般分数化为单分子分数的方法。
花拉子模的算术书传到欧洲后，对西欧数学的发展产生了显著的影响。出现了一批直接受其影响的算术著作，这些著作又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪。在欧洲中世纪，花拉子模的名字已成为新算术的代名词。
艾布瓦法是10世纪著名的数学家和天文学家，公元940年生于霍拉桑的布山，998年卒于巴格达。他曾翻译并注释了丢番图的著作，并著有三角学、算术、几何学和实用天文学等方面的著作。他的《算术应用书》的全称为《抄写员、生意人及应用算术的其他人员必读之书》，写于961——976年间。书中记叙了各种各样的实用算术问题：商业交易、征税、度量衡、不同品种口粮的交换、钱币对换、部队口粮和薪金的分配、房屋和堤坝修建中的计算等。
《算术应用书》的第二章，详细地讲解了分数运算。艾布瓦法把分数看作两个数的比。指出，两个数相比较的度量称为比，它具有三种形式：小比大、大比小、相等的数之比。他特别把小比大的形式称为分数。他的这种观念实际上是沿用了欧几里得关于分数的提法。《几何原本》第七卷定义三指出，一个较小的数与一个较大的数相比，等于“一份”西定义分数为“视某整数为一整体的量”，也是如出一辙。
艾布瓦法讲述了分数的一般运算法则及其化简之后，以相当大的篇幅来讨论用分数单位表示一般分数的方法。还给出近似表示法和最佳表示法。
艾布瓦法所给出的这种表示法在阿拉伯的广大领土上被应用于各种实际问题。
在阿拉伯数学中还出现了用假位法非代数地求解某些代数问题的记载。假位法有单设法和双设法之分。所谓单设法，即假设一数为所求数，根据问题的条件求得一个结果，称为假结果。因为假结果与真结果之比等于假设数与所求数之比，故可依比例式求出所要求的数。这种单设法在艾布卡米尔的《代数书》中出现过。
所谓双设法，即中国古代的一种比较著名的算法——盈不足术。在花拉子模的算术著作中就出现过这类用算术方法解一次方程的问题。他首先给出未知数的一个假定值，然后再给定另一个假定值，并为每一个值算出误差，再根据所得的答案和算出的误差，得出求知数的真值。
15世纪上半叶，乌兹别克政治家和学者兀鲁伯在撒马尔罕建立了著名的天文台。在这个天文台工作的卡西，是由兀鲁伯请来的一位伊朗数学家。他写出了大量的数学和天文学著作，其中最重要的是《算术之钥》和《圆周论》。
卡西的重要贡献之一是引进了十进制分数。在他的写于1426年的《圆周论》中，第一次出现十进制分数。在这部著作里，他把圆周长和直径的比不仅用六十进制分数表示，而且用十进制分数表示，同时说明了十进制分数如何进行乘法和除法运算。
卡西在《算术之钥》里，详细地叙述了十进制分数的理论，并指出把六十进制分数化为十进制分数的方法。他的著作比较通俗，很易于理解。他自己写道，用十进制分数表示圆的周长与直径之比，目的是为了使“不懂得天文学家用六十进制分数计算的人能够掌握十进制分数。”卡西在引进十进制分数之后，十分注意用四舍五入的方法简化计算，略去计算中没有意义的数位。
在《算术之钥》里有任意自然数幂的二次展开式。卡西为了把数开任意次方而运用这种分解。在这部著作中，还出现了计算任意次根的近似公式。他的前辈只有计算平方根的近似公式。
在《算术之钥》里，卡西还给出了许多不同类型的有趣题目。例如：
1我们想求出这样的数，把它加倍，再加上1，把和乘以3再加上2，然后乘4，再加3，得到95。
卡西对这个题目作了三种解法：代数解法，即用花拉子模“还原与对消”的方法解方程；其次是逆推法。最后用双设法求解。
