例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐。从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶。从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶。问岛高和岛离杆的距离各是多少？
四、刘徽的学术思想
刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的。概括起来，他的学术思想有如下特点。
1富于批判精神。刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见。他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种据守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失。”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》。
2注意寻求数学内部的联系。刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想。例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现。
3注意把数学的逻辑性和直观性结合起来。刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用。他认为只有这样才能使数学既简又明。实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义。他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密。例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的。另一方面，刘徽也很注意数学的直观。他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)。有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法。总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂。
(四)南北朝数学
一、祖冲之父子的数学工作
1祖冲之父子生平
祖冲之，河北人，后迁居江南，生活于南朝的宋、齐之间。父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官。祖冲之自幼好学，尤喜历、算。青年时曾任南徐州(今镇江)从事史，后来回建康(今南京)任公府参军。他的行政事务虽多，仍利用工余时间进行大量科学研究。他对前代历法进行仔细的分析比较，对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久，在此基础上于大明六年(462年)完成《大明历》，书中首次应用了岁差理论，是当时中国最先进的历法。但他把该历呈送朝廷后，由于保守势力的阻挠，未能及时推行。大明八年(464年)后，祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令，刘宋末年再度被调回建康，任谒者仆射(一种司礼节的官)。齐灭宋后又在齐为官，晚年升到长水校尉，享受四品俸禄。曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等，远近驰名。数学方面，他曾给《九章算术》作注，并与其子祖日恒共同完成数学史上的名著——《缀术》(已佚)。
祖日恒曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职。他多次向朝廷建议修改历法，采用他父亲的《大明历》，经太史令实测天象、考验新旧历法后，政府终于在天监九年(510年)采用了《大明历》。天监十三年(514年)，祖日恒奉命在淮河上指挥修筑浮山堰，因被洪水冲毁而获罪入狱。他出狱后不久，在南朝边境被北魏军队俘获，软禁于元延明家，在那里遇到北魏天文学家信都芳，两人常在一起讨论天文和数学。梁普通七年(526年)，祖日恒南还。他除了和父亲共同完成《缀术》外，还自著《天文录》、《权衡记》等，已失传。
2祖冲之的圆周率
继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力。据《隋书》记载，他已算得31415926＜π＜31415927。
祖率和密率，都是当时世界上的最好结果。祖率已精确到七位小数，保持世界纪录近千年。至于密率，堪称数学史上的奇迹。它的特点是准确的。
祖冲之是怎样求圆周率的？这个问题至今还是个谜。因为他的数学著作《缀术》已失传，《隋书》中则只有结论而无求法。据一些史料推测，他可能继承了刘徽的割圆术，祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π，这种思想可能也受到刘徽的影响。
3祖日恒原理与球体积公式
刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标。祖冲之父子在这条路上继续前进，终于完成了刘徽的未竟之业。祖冲之与戴法兴辩论时曾说：“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也。”可见他对球体积问题进行过深入研究。至于他是否解决了这一问题，不见记载。但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看，祖日恒确实解决了这一问题。他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的。
祖日恒在研究球体积时继承了刘徽的思想，抓住关键性的牟合方盖的体积计算。但他吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分。
根据祖原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而这便是正确的球体积公式。自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决。在祖冲之前，阿基米德曾用平衡法求得球体积公式，两人的工作是各具特色、殊途同归的。
二、《孙子算经》
《孙子算经》三卷，作者名字不详，约成书于公元400年前后。该书是古代一部普及性的数学著作，也是现存古算书中最早的详细介绍筹算法并有算草的书。卷上用诗歌形式介绍了算筹摆法：“凡算之法，先识其位。一从(纵)十横，百立千僵；千十相望，万百相当。满六以上，五在上方；六不积算，五不单张。”然后具体介绍筹算乘除法的步骤。卷中则举例说明如何用算筹进行分数运算和开平方。这些记载，都是研究古代筹算的极好材料。
《孙子算经》卷下第26题为数学史上有名的“物不知数”问题：“今有物，不知其数。三、三数之剩二，五、五数之剩三，七、七数之剩二。问物几何？答曰二十三。”此题相当于现在的同余式组，设N为所求之数，则有N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，书中给出解法如下：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之得二百三十三。以二百一十减之，即得。”若以现代符号表示，则为：
N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105=23这便得到原题的解。式中70由2×(5×7)得来，21由3×7得来，15由3×5得来，而105由3×5×7(即三模连乘积)得来。接着，书中又给出更一般的解法：“凡三、三数之剩一则置七十，五、五数之剩一则置二十一，七、七数之剩一则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”这相当于解同余式组。
N≡r1(mod3)≡r2(mod5)≡r3(mod7)
其解为：
N＝70r1＋21r2+15r3-105P
式中P要选择这样的正整数，它使N成为小于105的正数。
这一定理的明确表述是德国数学家高斯于1801年首次给出的，他当时并不知道《孙子算经》中的“物不知数”问题。后来，西方数学史家发现该问题的解法符合高斯的定理，遂称之为“中国剩余定理”。而在中国国内，一般叫“孙子定理”。
三、《张丘建算经》
《张丘建算经》成书于5世纪，比《孙子算经》稍晚。作者张丘建，河北清河人。该书共三卷92题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。
