试用、扩充、移植、推广，一期期XY语言培训班之后，回报的是祖国各地生产第一线同志们一封封热情洋溢的感谢信。“这个语言解决了我厂生产关键，我们不再依靠进口，节省了大量外汇。”“工艺的精度问题解决了，全厂职工向你们致敬”。
洪加威他们的科研成果，经过9年多的开发、推广工作，今天已成为我国模具行业的关键技术，创造着巨大的物质财富，有着深远的社会效益。有人算过一笔账，一套模具本身价值在千元以上，每套模具又要生产出千千万万个零件，每套模具产生的直接经济效益以1万元计，9年来其经济效益也在100亿元以上。这项成果终于在1985年获国家级科学技术进步二等奖。
XY语言的研制成功，并没有使洪加威停步不前。他，又在思考着更新的研究课题。十一届三中全会召开以后，党制定了一系列关于大力发展科技、实行对外开放的政策，像春风吹遍了祖国大地，也吹暖了洪加威那颗曾一度饱受苦闷和失望的心。少年时代立志成为优秀科学家的梦想又在向他招手，他鼓起勇气，决心攀登计算机理论的世界高峰。
四、走向世界
1978年初，美籍华裔著名科学家王浩教授来华访问，经丁石孙介绍，王浩了解了洪加威的工作能力，回国后他把这些情况及洪加威早年在《中国科学》上发表的两篇论文介绍给国际计算机理论界的权威——多伦多大学的柯克教授。第二年10月，洪加威受柯克邀请，以客座教授的身份去多伦多和美国研究和讲学。正是这次北美之行，洪加威以他那机智幽默的性格和极出色的工作，给北美许多科学家以及整个计算理论界留下了难以忘怀的印象。
在十二届计算理论会议上，洪加威作为第一个中国代表以“三个中国人的故事”深入浅出地介绍了他出访后的第一篇成果《关于决定性空间完全性问题》。在这之前，理论界的许多学者找到了时间的完全性问题，非决定性空间的完全性问题，但一直没有找到决定性空间完全性问题。报告一结束，洪加威和他的故事立即成为会议间学者们的话题。几十位著名科学家争先前来道贺。“这真是三天会议期间最好的报告。”“听你的报告真是一种享受。”
不认识他的人都在问：“这个报告人是谁？你认识吗？太好了！”
大会闭幕这一天，洪加威一下子接到了美国许多大学的邀请。
斯坦福、麻省、康乃尔邀他去演讲。
伯克利、罗彻斯特邀他去教学。
卡内基一梅隆大学邀他去研究。
于是，会场上纷纷传说：“三个中国人的算法”已经被10个大学请去工作了。
但是，最让洪加威高兴的，却是会议主席米勒告诉他的话：“ACM过去跟中国的联系太少，以后一定要特别加强。”
洪加威在ACM会议上宣读的第一篇论文，虽然赢得国际学者的普遍好评，但他真正的重大成果还在后面。在多伦多做研究时期，使他有机会了解计算理论界的最新动向和一系列重大课题。纵观这一领域几十年来的风云变幻，一个重大的突破性课题在他胸中逐渐酝酿成熟。
1980年10月13日，在美国纽约州西诺求斯市，第二十一届计算机科学基础会议隆重召开。这是国际上理论计算机科学中最重要的会议之一，具有最长的历史和最高的水平。这天到会的代表，包括许多第一流的著名计算机科学家，卡尔普、罗宾，还有柯克教授，他们都带来了最重要的成果。
10月15日，洪加威带着自信的微笑走上这庄严的国际讲台。600多人济济一堂，聚精会神地听着这篇具有开创性的学术报告《计算的相似性与对偶性原理》。
“自从图灵论题提出以来，我们知道，不同的计算模型是等价的。但我最近得出，任何合理模型所使用的并行时间、序列时间和存储空间在本质上都是一样多的，即具有所谓的相似性。”洪加威用流利的英语做了开场白。轰鸣般的掌声中洪加威结束了讲演。多少计算机科学家用敬慕的眼光看着他，他把现代计算机科学的基础——图灵论题，从本质上向前推进了一步。“真是太漂亮了，一个惊人的报告！”著名学者鲍罗廷感慨地说道。下届大会主席罗森伯向洪加威表示祝贺时说：“你的报告不仅在成果上是杰出的，在报告艺术上也是超群的。”加州大学卡尔普教授在给洪加威的一封信中写道：“听你杰出的报告是一种巨大的享受，你的研究是计算机复杂性理论中迄今所得的最杰出的成就。”
为了说明洪加威这篇论文究竟有什么重大意义，我们还要从图灵论题谈起。
千百年来，数学家们都确信这样一个事实，凡是正确的数学命题，就一定能找到证明的方法。然而，德国数学家哥德尔在1931年发表了一篇爆炸性的论文，它证明了有些正确的数学命题是不可以被证明的。这个结论把一个重要的数学难题摆在了人们的面前：怎样判断一类数学问题是机械可解的，或者说能通过有限的固定步骤得到解决？正当许多大数学家一筹莫展之时，英国一位24岁的数学家图灵异想天开地搬出了一种“理想计算机”，并且说，凡我这台计算机能算出的，就是可计算的，凡我这台计算机算不出的，就是不可计算的。这就是赫赫有名的“图灵机”。那么是不是一切判断能否计算问题非要在图灵机上定义，用别的计算模型就不能定义呢？接着，图灵提出了这样一个论题：只要在一个模型下可以计算，那么在别的“合理”的模型下也可以计算，你能算的我也能算，你不能算的我也无可奈何。这便是日后被称为计算机科学基石的图灵论题。
然而，图灵只考虑任何数学问题在理论上是否可计算，却没有研究实际当中能否计算的问题。换句话说，即使现代最快的计算机，也仍得考虑时间的因素。举个例子来说，写出26个英文字母的全部排列，即使一架机器每秒能写一亿个排列，也需要好几亿年才能完成。由此可见，计算问题光考虑能否计算还不行，还得讲点“效率”，这便是当今计算理论界最热门的复杂性问题。
洪加威刚刚跨入这个领域时，正值理论界群星荟萃，百家争鸣的年月。许多有名望的学者都在不同侧面、具体问题上探索着复杂性理论。他没有把精力耗费在别人的成果上做些添枝加叶的工作，而是以高屋建瓴之势，洞察到了复杂性理论关键问题的所在。他把图灵论题推进了一大步，提出了这个轰动理论界的相似性原理。这个原理指出：不但各合理模型能否计算的问题是一样的，而且计算模型所用到的三种资源：并行时间，串行时间及存储空间在本质上一样多。它表明，不仅计算的可能性是客观实在，而且计算的复杂性也是一种客观实在。
“会当凌绝顶，一览众山小”。作为一个出色的科学家，不仅需要有滴水穿石般积累起来的扎实功底，更需要具有那种能透过具体问题，观其大略、扭转乾坤的气魄。相似性原理不仅统一了所有的计算模型，而且统一了所有的计算类型。因而它已成为现代复杂性理论中的重要的基础工作之一。
加拿大多伦多大学计算机科学系主任鲍罗廷写给我国有关负责人的信中说：“洪加威的论文是质量很高的研究篇章。我认识到，这些论文对我的思路和我的同事柯克教授和拉道夫教授的思路都产生了影响。洪加威已成为对我们系做出巨大贡献的人。”
五、新的想法
19世纪，印度哲学家辨喜说过：“最伟大的东西是世界上最简单的东西，它和你自己存在一样简单。”这句话告诉了人们这样一个道理：不要忽视你身旁那些看来习以为常的小事，因为这里面往往会有宝藏。
《中国科学》1986年第三期刊登了《能用举例子的办法来证明几何定理吗？》等两篇文章，这是洪加威回国后的又一项重要成果。这篇题材别开生面的论文不仅对计算机证明平面几何定理的研究工作跨进了一大步，而且对多年来数学界的一个传统观念提出了新的看法。
要了解这项新工作，还得从有关归纳推理问题讲起。打这样一个比方，假如你第一次吃苹果，发现苹果是甜的，你再吃第二个、第三个。当你吃了一定数量的苹果之后，你会得出一个结论：“苹果吃起来有甜味”，虽然你并没有吃掉世界上所有的苹果。这种归纳式的推理本是人们常用的，是一种非常合乎逻辑的推理形式。然而，这种从特殊的事例概括出一般性知识的思想方法在数学上却站不住脚。
两千多年前，古希腊数学家欧几里得写了一本划时代的伟大著作《几何原本》。他在书中总结了古希腊的数学成果，用公理法建立起演绎的数学体系。这部书里，欧几里得仅从5条公理、5个公设及一些原始定义出发，演绎出几百条命题和定理，从而征服了人类的心灵。这种演绎的推理方法至今仍统治着数学界。
“凡人总要死的，张三是人，因此张三是会死的。”这是一个典型的演绎推理，它的前提和结论之间的联系是必然的。在数学中，从欧几里得以来，只有经过这种把一般性知识应用到特殊场合的推理才能在证明的过程中使用。如果谁在数学里从几个特殊的例子概括出一般性的结论，那么这种结论只能被称为猜想，不能叫做定理。因为它还尚待严格证明。像著名的哥德巴赫猜想至今也还未最后被证明出来。
在中学的课堂上，数学老师总是这样告诫学生：“数学是一门最严格的科学，它的每条定理，都是由前面正确的结论经演绎推理而得到的，在数学里，决不允许靠举几个例子来证明问题。”如果哪个学生“胆敢”靠举几个正确的例子来证明一道几何命题，那他一定要“吃”零分，因为这是数学上的大忌。
然而，从学生时代起就喜欢“异想天开”的洪加威对数学里这个司空见惯的观点却发生了疑问。一天，他和著名数学家吴文俊教授一起闲谈，讲到了这样一个平面几何问题：“我们在纸上随便画一个三角形，再连上它三边上的高，如果画得仔细就会发现三高交于一点。不妨多试几次，但每次的结果都是如此。于是你肯定会认为，这要不是一条定理才怪呢！因为这是一个多么直观又简单的推理过程啊！如果能按一定的方式找出几个特例来证实这个平面几何定理成立，那么不就能借助计算机来证明平面几何问题了吗？”
“想法是好，但怎么把这个问题严格化呢？”吴文俊教授问道。是啊！有大胆的设想，还需要有解决问题的手段才行。计算机复杂性理论的研究工作刚告一段落，洪加威立刻又把全部精力投入这一数学的新领域。
数学，以它精密而无懈可击的论证方式赢得了科学女皇的美名。它一向被人们描述为是一门抽象的、演绎的科学，纯理智的精英。然而另一方面，在数学的萌芽和发展阶段中归纳推理也立下过“汗马功劳”。有人研究过，原始人通常总用一只手拿一件物品，正是经过无数次的反复和归纳，最终才从“多”的概念中分出数字“一”的概念。数学史上的伟大革命——微积分的诞生也与归纳推理密切相关。牛顿等人从前人解决的大量变量问题中归纳出有价值的想法，归结出微分和反微分两个问题，完成了科学史上的一大勋业。抚今追昔，洪加威在想：“归纳和演绎两种推理，它们像一对孪生兄弟，都是人类认识自然的基本方法。可是它们为什么这样水火不容呢？归纳和演绎两者关系的问题，一定有些很深奥的东西在里面。但究竟如何突破呢？”他继续往下想着。
“归纳推理的好处是简单易行，但却不严密可靠，而演绎推理是严密可靠的，但却不简单易行。能不能用演绎推理的方法来证明某种归纳推理的严密可靠性呢？”
事实上，归纳推理作为科学研究方法几乎和演绎推理有同样悠久的历史。早在两千多年前，亚里士多德就把归纳演绎方法作为认识自然的统一方法一并提出。而古老的数学分支——平面几何，恰恰是归纳推理和演绎推理历史上分道扬镳的地方，洪加威希望在此找到一个突破口。
经过严密的论证，洪加威在理论上终于证实了他的想法。在中国数学会五十周年年会上，他的《能用计算一个实例的办法证明几何定理吗？》一文，引起了数学界同行们的极大兴趣和关注。根据这一方法，对于一个平面几何的命题只要按一个简单的公式给出一个数值特例，然后对该特例进行验算。
如果这个命题对该特例在一定误差范围内正确则命题一般地精确地成立，否则不成立。于是可以用近似计算代替传统的三段式的推理。这项工作的意义和价值，将有待今后数学界、计算机科学界以及哲学界的学者们去评判。唯物辩证法是宇宙间一切事物的根本大法，在数学这门严密的学科中也毫不例外。洪加威以他出色的思想方法再次证实了恩格斯早年的一句名言：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然互相联系着的。不应牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方去，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充。”
洪加威是新中国培养起来的新一代科学家，他个人成长历程中的起落兴衰与我们整个国家民族的命运是紧密相联的。他时刻都没有忘记，在最困难的时期，有多少老师、同学曾给他以鼓励和支持，又有多少热心的好同志、好领导冒帮助过他。在他的每一份成绩里，都蕴含着祖国人民对他的殷切希望。当有的外国科学家劝他留在国外时，他这样写道：“你们知道我的水平，但是不知道我的心。我生为中国人，死为中国鬼，为了祖国的荣誉，我愿奋斗终生！”
洪加威始终保持一颗年轻人的心，他以旺盛的精力开拓、探索人类思维奥秘的新领域。但他把更大的希望寄予下一代青年同志。他常这样讲：“我是一个乐观派，对科学的未来和人类的前途我充满信心。因为在历史的长河中，人类现在还不过是一个婴儿。它将在信息时代中改造自己，达到出神入化的地步，变成一个比现代人类高千万倍的新人类。”
一位早期数学家说得好：“不是心灵中的诗人，就不可能成为数学家。”是的，洪加威多么像一个满怀豪情的诗人。他笔下的一行行符号、公式、公理，不就是美妙的诗篇吗？这是一首首赞颂科学、颂扬真理、憧憬着人类美好明天的诗！
