南北朝时，一位印度法师把一部名为《百喻经》的书带到中国，并将它译成汉语。《百喻经》是大乘佛教宣讲佛法的经书。全书借释迦牟尼之口，讲了98个故事，绝大部分都是寓言。其中有一则题为《三重楼寓》，寓言的大意是：一位富翁看见别人有一栋漂亮的三层楼房，庄严华丽，宽敞舒适。便产生了一个念头：“我的钱财不比他少，为什么不能造一栋这样的楼房呢？”于是找来一位木匠，问他能不能建造像某人家那样的高级楼房。木匠回答他说：“那房子本来就是我造的。”富人马上说：“现在你给我也造一座楼，与那座一模一样。”
于是，木匠便规划好地皮，打好基础，从地面起一块一块地往上砌砖。富翁见木匠在地上砌砖，很不理解。便问木匠：“你这是要造什么样的房子？”木匠回答说：“造三层楼呀！”富翁又说：“我不要下面的两层楼，你先给我造最上一层楼。”木匠说：“这是不可能的。哪有不造第一层楼就能造第二层楼的呢？不造第二层楼，怎么能造第三层呢？”听了木匠的解释，富翁还是不理解，仍然固执己见，楼房终于没有造成。
我国明代文人刘元卿所撰的《贤奕编》一书中也有一则寓言，其大意是：有一位土财主家资十分富有，却世代不识字。有一年，他请了一位先生来教儿子念书。先生开始教学生认字。先生写一横教学生说，这是一字，写二横说这是二字，写三横说这是三字。富翁的儿子高兴起来，回家报告父亲说，我已经学会读书写字了，不必再麻烦先生，也节省一些薪俸。富翁大喜，便辞退了先生。
第二天，富翁要请一位姓万的亲戚来吃饭，叫儿子写一张请帖，儿子写了很久还没有写好。父亲感到奇怪，便到书房看个究竟。儿子正忙得满头大汗，埋怨说，天下这么多姓，为什么偏要姓万？我从早晨写到现在，还只画了500多横呢？
这两则寓言并没有什么联系，它们各自讽刺的对象也是十分明显的。把它们放在一起，许多人大概也不会产生更多的联想。不过，仁者见仁，智者见智，对数学家来说，把这两则寓言放在一起，就会联想到数学中一个重要的原理——数学归纳法。数学归纳法是数学中最重要最有用的方法之一，许多与自然数有关的数学定理，都是依靠数学归纳法来证明的。
什么是数学归纳法呢？让我们谈一个粗浅的比喻：过去行军打仗，指挥部每天都要发布一个“口令”，作为本军内部联系的暗号。现在有一支成单行前进的很长很长的部队，指挥员把“口令”传给走在队伍最前面的第一个人，并且规定了每一个听到了“口令”的人，都必须把“口令”准确无误地传达给紧跟在他后面的一个人。于是，“口令”将会从第一个人传给第二个，第二个人传给第三个，如此继续下去，不管这支队伍有多长，兵员有多少，最终每一个人都可得到口令。
数学归纳法与此类似，它是用于证明与自然数有关的命题的。
假定有一个与自然数n有关的命题P（n），现在要证明P（n）对所有的自然数n都成立。如果能证明：（Ⅰ）P（n）在n=1时成立（这一步称为“奠基”）；（Ⅱ）如果P（n）对某一自然数k已成立，在这个前提下，一定可以推出P（n）对下一个自然数k＋1也成立（这一步叫做“归纳”）。
有了这两步，就可以断定P（n）对所有的自然数都成立。
因为根据（Ⅰ），我们证明了P（n）对于n=1是成立的。于是根据（Ⅱ），在P（n）对n=1成立这一前提下，可以推出P（n）对n=2成立；再根据P（n）对n=2成立的条件，又可推出P（n）对n=3成立；以P（n）对n=3成立为前提，又可推出P（n）对n=4也成立。如此继续下去，就可推出P（n）对所有的自然数n都成立。
现在我们看一个可用数学归纳法来解的趣题。1963年，北京市中学数学竞赛有这样一道试题：有2n（n为正整数）个小球，随意把它分成若干堆，在其中任意取两堆，若甲堆的球数不大于乙堆的球数，则把甲堆的球合并到乙堆中去。这样称为一次操作。证明：在有限次操作以后，一定可以把所有的球都合并到一堆。
我们用数学归纳法来证明这个题目。
当n=1时，只有两个球。若原来只分成了一堆，则结论已经成立。若开始分成了两堆，每堆都是1个，把其中一堆的球合并到另一堆，就成为一堆了，命题的结论也成立。
假定n=k，即有2k个球时，不管把它们分成若干堆，都可以通过有限次操作使合并成一堆。
考虑n=k＋1的情形。将2k＋1个球任意分成若干堆后，有些堆里可能有偶数个球；有些堆里可能有奇数个球。有奇数个球的堆一定有偶数堆，否则的话，所有各堆球数的总和将是一个奇数，与总球数为2k＋1的条件矛盾。把有奇数个球的堆两两配对各进行一次操作，两堆就合并成一堆而有偶数个球。
这时球分成了若干堆，每堆都是偶数个球，我们设想，这些球是可以两个、两个黏合在一起的，把黏合起来的两个球当成一个球，就可以看成是把2k个球分成了若干堆，根据归纳假定可以用有限次操作（显然，题目中规定的操作方法，对由两个球黏合起来的一个双球，操作的结果是一样的）把它们合并为一堆。这就证明了，当n=k＋1时，命题的结论也成立。
根据归纳原理，命题的结论对所有的正整数n都成立。
在使用归纳法时，“奠基”和“归纳”两步都是必要的，缺一不可。否则就有可能发生错误。
上面谈到的两则寓言就是典型的例子。对于那位富翁来说，如果他能听木匠的计划一层一层地建上去，是可以建好高楼的。他的悲剧在于不肯“奠基”。至于那位少爷，他倒是做了“奠基”，即一字的写法确是一横。但他没有任何根据，就断言任何一个数字，都是由一些横组成的，并且都是比它前面的数字再多加一横。他的悲剧在于没有“归纳”。一个没有“奠基”，一个没有“归纳”，都以失败告终，留下了发人深省的笑柄。
我国著名数学家华罗庚教授在50年代曾亲自为中学生写过一本叫做《数学归纳法》的小册子，其中介绍了一个有趣的“猜帽问题”。
有一位老师，想辨别一下他的三个得意门生中哪一个更聪明一些。他事先准备好5顶完全一样的帽子，其中3顶是白色的，2顶是黑色的。试验时，他让学生先看了看这些帽子，然后要大家闭上眼睛，给每个学生戴上一顶白帽子，并且把两顶黑帽子藏起来，再让3人睁开眼睛，判断自己头上戴的是什么颜色的帽子。三个绝顶聪明的学生相互看了看，踌躇了一会儿，忽然都异口同声地说：“我戴的是白帽子！”
你能够说出他们都能猜对的道理吗？
因为黑帽子只有2顶，3人戴的帽子，不外乎下面三种情况之一：（A）白，黑，黑；（B）白，白，黑；（C）白，白，白。
对于情况（A），戴白帽子的学生马上知道自己戴的是白帽子；对于情况（B），两个戴白帽子的学生都会想到，如果我戴的是黑帽，对方一定能马上判断出自己戴的是白帽。现在，既然对方没有立即说出他戴的是白帽，可见我戴的必是白帽。对于（A）、（B）两种情况，都不可能三人都需要踌躇一会，现在既然三人都踌躇了一会，那就只能是情况（C），即每个人都能在踌躇了一会之后判断自己戴的都是白帽子。
对这个问题来说，至此已算解决。但是并不尽如人意：第一，它尚未完全揭露这一问题的本质；第二，上述解法难于推广到一般。因此，数学家建议采取一种“以退求进”的策略。先考虑“两个学生，两顶白帽和一顶黑帽”的问题。这个问题谁都会解。因为黑帽只有一顶，如果我戴的是黑帽，对方马上就能断定自己戴的是白帽。现在既然双方都踌躇了一会，可见两人戴的都是白帽。
在“两个学生，两顶白帽和一顶黑帽”的基础上，对于“三个学生，三顶白帽和两顶黑帽”的问题就不难解决了。因为如果我戴的是黑帽，对其余两人来说，就变成了“两个学生，两顶白帽和一顶黑帽”的问题。他们两人马上能说出自己戴的是白帽。由于三人都踌躇了一会，可见每个人戴的都是白帽。
利用数学归纳原理，可以把这个问题推广到一般的情形：“n＋1个学生，n＋1顶白帽和n顶黑帽”。对黑帽的顶数n使用数学归纳法。
当n=1时，即“两个学生，两顶白帽和一顶黑帽”的情形，根据前面的分析，都能判断出自己戴的是白帽。
假定当n=k时，即“k＋1个学生，k＋1顶白帽和k项黑帽”时，各人都能判断自己戴的白帽。
则当n=k＋1时，只要有一个人戴的是黑帽，就变为n=k的情形，各人都能判断出自己戴的是白帽。既然大家都要踌躇一会儿，可见k＋1个人戴的都是白帽。这就完成了归纳法的证明。
