自1882年后，伽利略在比萨大学又学习了3年，他对医学仍无一点兴趣。除了寥寥无几的医学专科课程外，亚里士多德著作仍然是主要的教科书，教授们在课堂上仍是老调重弹，将其“原汁原味”地传授给学生，充斥着保守的味道，缺乏活力，毫无新鲜感。
在当时的历史阶段，除了医学之外，科学上的多数重大进展都发生在大学之外，如哥白尼和第谷·布拉赫的新天文学、塔塔利亚和斯特文的数学方程、吉多波德的力学等都是很好的例证，这些科学史上的重要成果很少被纳入大学的教学中。据说在16世纪的欧洲，在大学里对讲授哥白尼理论感兴趣的教授仅两三个人，而在意大利却无一人！
这的确是科学的贫乏时期，科学成为亚里士多德哲学的一个分支。
伽利略越来越想摆脱这令人难以忍受的知识枷锁。
他时常“扰乱”课堂，怀疑教授所讲述的知识，一时间，伽利略成为比萨大学医科“课堂”上最不受欢迎的人。
渐渐地，伽利略开始逃课了。起初是一天逃一两节课，后来他的胆子大了起来，往往逃课三四天，甚至一周！教授对他的逃课行为似乎无动于衷，大概是认为反正这个红头发的“叛逆”思想严重的学生，在课堂上也不会认真听讲，反而处处与教授们“作对”，他不来上课，倒会使课堂“安静”得多。
伽利略“逃课”，不是去玩耍，而是利用这个时间思考一些问题，做一些有价值的小实验。此时，他已开始意识到数学知识在其实验中的重要。他深为自己数学知识的贫乏而忧虑不安。由于缺乏数学知识，伽利略在实验中常常陷于困境，他渴望结识一位著名的数学家，与他一起探寻数学的奥秘。
机会终于来了。那是1583年的一天，伽利略从一个朋友嘴中得知宫廷数学家里奇将来比萨大学做数学讲演的消息，他高兴极了，因为他早就听说过里奇是个很有名气的数学家。里奇是专门为斐迪南德大公的儿子讲授数学的宫廷教授，学问很高。伽利略早早地来到了里奇演讲的地点，恭敬地等候着。
里奇精神抖擞地走上了讲坛，他讲授的内容是欧几里德的几何学理论中的几个问题。伽利略在台下听得津津有味，十分佩服。因为伽利略对欧几里德的《几何原理》理论并不陌生，他在小时候就曾接触过，当然，那都是很肤浅的常识性知识。
演讲结束后，伽利略就“缠住”了里奇，不停地问。从他的问话中，里奇惊讶发现红发大眼睛的伽利略具有很高的数学天赋。当他得知伽利略在幼年时就开始学习欧几里德的几何理论后，这位威望很高的宫廷教师不由得握住了伽利略的手，连声说：“真不简单，真不简单啊！”
后来，里奇又到比萨大学做了几次数学理论的演讲。伽利略每次必到，听完演讲后，他都要向里奇提出许多疑问，同时也阐述自己对一些数学问题的理解和认识。
伽利略提出要跟他学习数学。
望着伽利略企盼的目光，里奇深受感动，他欣然地同意了。此后，伽利略就跟着里奇钻研起数学来。
里奇渊博的数学知识将伽利略带入了神奇的数学王国。伽利略如同一个久被封闭在屋子里不透气的人，忽然一下子呼吸到外面的新鲜空气，心情是那么的舒畅，精神是那么的振奋。伽利略就像一只辛勤的蜜蜂，不停地采撷科学的花粉，渴望酿出智慧和真理的芳蜜。
在学习过程中，伽利略和里奇坦诚相处，共同探讨一些学术问题，很快两人就成为忘年至交密友。
远在佛罗伦萨的文森西奥听说伽利略痴迷数学，忽视医科专业课的学习，心中十分生气和焦急，当伽利略回到佛罗伦萨度假的时候，他就恼怒地质问儿子为什么不专心学医。
“爸爸，您别生气了。现在我向您请教一个问题好吗？”伽利略向父亲请求说。
“好，你说吧。”
伽利略问道：“爸爸，是什么原因促成你与我母亲结婚的呢？”
文森西奥被儿子的提问难住了，感到奇怪，暗想，伽利略这个能言善辩的孩子又要耍什么把戏呢？
“那是因为我看上她了。”
“那您有没有想过娶别的女人呢？”
“没有。那时你的爷爷、奶奶逼我娶一位富有姑娘，可我却只追求你母亲，她年轻时是一位娇艳动人的姑娘，我真是太爱她了。”文森西奥仿佛又回到了当年的浪漫时光，脸上浮现出一副很陶醉的神情。
“的确如此。您不曾娶过别的女人，只是因为您爱恋我的母亲。可是，爸爸，我现在也遇到一个难题！和您当年的心情一样。”
“是什么问题呢？”
“爸爸，我现在也面临着类似您的处境，除了科学之外，我不会选择其他的职业，包括做医生。我对科学的爱就像对一个美丽姑娘的倾慕和爱恋。”
“伽利略，你又犯傻了，这和恋爱能有什么关系呢？”
“其实大有关系，我和别的同龄人在追求上是不同的。我只同科学做伴。爸爸，您有才干却没有力量，而我则兼而有之。既然如此，我为什么不努力实现自己的愿望呢？将来成为一位知识渊博的教授。”
文森西奥这时才弄明白伽利略的真正心愿，他不由得皱起眉头，强忍住心中的怒气，开导儿子说：“伽利略，我真不理解，你已在大学里学习了三年，怎么越学越不懂事呢？我早就说过，科学尤其是数学在这个时代被人们视为无用之物，受到冷落；而神学只是灵魂上的学说，没有实惠；而医学则既被人们重视获取实惠。由于咱们家境贫寒，你只有学医才能摆脱经济负担。可你却鬼迷心窍，欲放弃医学专业，你真是太让我失望了！从现在起，你要迷途知返，学完医科课程，圆满毕业，将来成为一代名医！”
伽利略的倔脾气上来了，固执地说：“爸爸，您为什么非要强迫我违心地学习我不喜欢的专业呢？我追求科学的决心已下，您就是用十匹马拉我，也拉不回我。”
“啊，上帝！”文森西奥跺足捶胸地呼喊起来，“您为什么赐给我这么个傻儿子。我为他操尽了心，为他创造了我自己从未享有过的机会去接受最好的教育，而没有让他帮我照看家里的铺子。而现在，他却想放弃医学，一心想去钻研科学。这孩子太令我失望了。我的一片苦心白费了！”
伽利略看到父亲极度失望的样子，心里也感到很愧疚，他一把握住父亲的手，不停地摇动着，万分恳切地说：“爸爸，请您理解我的人生选择吧。当然，您把我从宗教神学的误区解救出来，令我感激不尽；现在，我请求您允许我进入科学的大门，我的志向是将来要成为一名科学家，用自己的智慧和双手为人类社会的进步作出贡献。”
“你的话虽然有道理，但在目前社会形势下，你若选择了追求科学的路，那将是一条危险的路，路途坎坷遥远，我年岁大了，已经力不从心了，你若成为医生，可以帮助维持咱们这个家呀！”文森西奥说这些话时眼泪汪汪的。
见此情景，伽利略明白再劝父亲无益，于是就沉默了。
伽利略返回比萨大学后，遵从父意硬着头皮去听他感到乏味无比的医学课程，然而课程中许多亚里士多德的观点并未使他产生好感。
于是伽利略时常在课堂上反驳老师们讲授的亚里士多德式的观点，使那些“学问渊博”的医科教授被他们的这位“叛逆”弟子的反抗，弄得狼狈不堪。
在课余时间里，伽利略钻研数学，并在自己的实验中加以应用。里奇每次从佛罗伦萨来到比萨城，都要给伽利略的数学学习做一番指导，从而使伽利略的数学水平提高得很快。
比萨大学的医学教授们越来越对伽利略的“不务正业”行为不满，他们将文森西奥“请”到了学校，“严厉批评”了他儿子的“叛逆”行径，并声称已告知校长，要勒令伽利略退学。
文森西奥近阶段生意萧条，不但赔了本，而且他的健康状况也不如从前了。当他听说伽利略在大学里不用心学习医学，反而“招惹是非”，这一下子使他希望儿子做医生的梦想彻底破灭了。他立即决定让伽利略退学，他不愿再把自己的血汗钱用于不听话的儿子身上。
伽利略悲伤起来，这对他来说，无疑是致命的打击。
1585年，伽利略被迫离开了生活学习了4年的比萨大学，返回了佛罗伦萨。
对于退学，伽利略的心情是矛盾的。在比萨大学，虽有令他讨厌的医学课，但他可以“偷懒”去做一些自己喜欢的小实验。而回家后呢？一切就不同了，父亲会对自己严加管束，绝对不允许自己再异想天开了。难道自己这辈子就注定成为一个毛织品销售店的老板吗？
不！绝不！倔强的伽利略在心里呐喊着。纵然被父亲逐出家门，也要钻研科学，学好数学，做出一番超越前人的成就。
值得欣慰的是，父亲在伽利略回到家后，并没有太为难他，文森西奥只是要求儿子先帮助照看铺子，其他什么也没说。
伽利略又成为他父亲店铺里的“小老板”，白天接待顾客。晚上在昏暗的油灯下研读他钟爱的数学，他沉湎在数字和图形的美妙的梦境中。
过了一段时间，文森西奥发现，每天的营业额总比实际销出货品的钱款少。他心里明白，一定是伽利略在卖货时心不在焉，少收了顾客的钱。“唉，这个败家子！”文森西奥气哼哼骂道。他现在离不开伽利略的帮助。如今，伽利略的母亲裘丽娅也被生活所迫，变得唠唠叨叨了，失去往日的温柔和贤惠，伽利略的两个妹妹佛琴和丽薇也已长大了，作为父亲的文森西奥从现在起不得不为她们准备嫁妆（当时，意大利的妇女要么选择当修女，要么嫁人，留在父母身边做老处女是家族的耻辱）；伽利略弟弟的音乐天赋很高，需要为他准备一大笔钱去接受音乐训练。家庭的这种状况，文森西奥没有伽利略的帮助又怎么能行呢？
文森西奥原来对大儿子伽利略寄予的厚望是成为著名的医生，如今儿子回来只是在店里帮助卖货，而且有时还常帮“倒忙”，唉，一想到这些，文森西奥不由得长吁短叹。
宫廷数学家几乎每个星期都要来伽利略家，他像对待自己的儿子一样关心伽利略，热心鼓励这个年轻人自学数学。
里奇辅导他，借给他书看，并真诚地对他说：“伽利略，你有天才。要有耐心和韧劲儿，你将来会被人们真正认识。总有一天，你会干一番大的事业。”
里奇的频频来访，使他跟伽利略的父亲成为朋友。文森西奥很佩服里奇的数学天才，更羡慕他能在宫廷中为数学赢得声誉。里奇则敬仰文森西奥的博学，尤其是在音乐方面。
见文森西奥时常埋怨伽利略不争气、没出息，里奇就劝他说：“你千万要理解伽利略，他需要时间来思考问题。他是个很有才华的年轻人，我敢肯定，伽利略将会给你们家族带来荣誉和声望，佛罗伦萨会为他而骄傲！”
文森西奥听后却感到不以为然。他难以相信，这个诺言能成为现实。当他看到伽利略不知为什么又“玩”起了秤砣、盘子和铁块时，愈加感到伽利略不会有什么大的出息了。
里奇在辅导伽利略时，曾一再嘱咐他一定要精读阿基米德和欧几里德的著作，要向阿基米德学习，重视实验，伽利略牢记在心，实际上也做到了这一点。
伽利略对古代数学家阿基米德十分崇拜，他很小的时候就听过父亲讲的阿基米德称王冠的故事：一天，国王找来阿基米德，让他推断新做的王冠是纯金的，还是掺杂着其他金属。阿基米德回到家，一连几天，苦思冥想，仍找不出答案。他沮丧地去浴池洗澡。他凝神观看着浴池，而后进入浴池。他惊奇地发现，池水原来不满，当他一进入浴池，水已满至池边。阿基米德大喊大叫着：“找到了，找到了！”他跳出浴池，离开这儿，跑回了家。街上行人都惊讶地看见阿基米德光着全身跑过大街。阿基米德首先准确地称出了王冠的重量，尔后又称出与王冠同样重量的金子和银子，因为金子比银子重，银子的体积就比金子的大。按照阿基米德自己的发现，装了满满一大盆水，水至盆边。他将金子放入盆中，将溢出的水称了重量；尔后他又把银子放入满盆水中，又称了溢出水的重量，因为银子的体积较大，排出的水较多。阿基米德据此推想，如果王冠是纯金的，那么王冠放入满盆水中，溢出的水应该同放金子时溢出的水是一样多的。他把王冠放入水中，他发现，王冠使盆子里溢出的水比放金子时候要多，所以阿基米德断定：王冠不是纯金的。
伽利略很想亲自做一下这类实验。他实验的目的是称一称浸入水中的物体的重量。在实验中，伽利略观察到，把一个物体放到水中，它就排开跟其同样体积的水；物体没入水中，它的重量要比在空气中的重量轻。奇怪的是，物体减轻的重量正好与其排开的水的重量相等。
在实验中，伽利略发明了一个简易测出金属比重的方法。假如不能肯定某一件东西是什么金属制成的，就可以截取一小块，先在空气中称出它的重量，尔后再放入水中称它的重量，得出减轻的重量，也即为它排开了多少水的重量。这些知晓后，再折算到一磅重的体积，查表，就可以知道它是由什么材料制成的。伽利略想根据这些，做出一种可以测量各种混合金属的“比重秤”。他成功了！他发明的“比重秤”便于携带，便于运用，又很准确。
“比重秤”问世，惊动了很多人，他们对伽利略的“新玩意儿”很感兴趣，将带来的金属请伽利略检验，看它们纯不纯。一时间，人们络绎不绝，毛织店的生意变得有了许多生机。
生意兴隆了，文森西奥的心情好转了。可这时，伽利略却又提出了令他父亲为难的问题：“我要到外地去访问一些名流和学者。”儿子的要求让父亲感到纳闷，就问：“现在的生意很好，正需要你帮忙，为什么要出走访问呢？”
伽利略反问道：“爸爸，您难道让我永远呆在店铺里吗？”
文森西奥不觉一愣，顿时语塞。
伽利略接着说：“我的老师里奇曾鼓励我，到外面去，把自己的思想和实验成果解释给别人听；要和一些科学家交换思想观点，增长见识，同时也让外界了解自己。如果我始终在毛织品经营店帮您赚几个小钱，那么您供我读大学所花费的心血和财力不是全浪费了吗？”
文森西奥觉得儿子的话有道理，也就不反对了，但仅给了伽利略很少的一点钱。
伽利略带着他不久前写的一篇论述比重秤的论文匆匆辞别家人，兴高采烈地出发了。他确信外面的世界一定很精彩。
他这是第一次出远门。以前他总是在比萨到佛罗伦萨之间往返。他准备去访问帕图亚、波伦亚、锡耶纳、甚至罗马等地的一些大学和知名的科学家。一路上，伽利略时而步行，时而求搭方便车，心情很是愉快。在旅途中，他也领略到了美丽多姿的意大利风光和淳厚的风俗人情。
伽利略从一个城市到另一个城市。由于里奇的推荐，伽利略在各地受到了科学家、数学家们的热情接待，一些崇尚科学的贵族爵士也对伽利略表示了好感。人们已知道他发明的测脉计和比重秤，并对他的论文给予很高的评价。与这些学者、名士的接触和交往，向伽利略展示了一个全新的世界。他谈论着自己的发明和阐述自己的观点，虚心地听取别人的意见，经常彻夜讨论一些有价值的学术问题。
伽利略的坦诚和极富天才的科学头脑，使他结交了许多真正懂科学的朋友，其中有彼萨罗的盖特保图侯爵和锡耶纳的势力望族比哥罗米尼家族，他们很佩服伽利略的学识和才干，后来向伽利略始终伸出了热情相助的手。
在罗马，伽利略去拜访著名的数学家克莱维斯神父（是罗马学院的教授），两人一起研究数学难题，并倾心相谈，很快成为至交，从中伽利略得到了许多有价值的东西。
几个月的异地访问，很快过去了，1587年10月，伽利略返回了佛罗伦萨。
父亲看见伽利略的皮肤晒得油黑，身体也强健了许多，更令人高兴的是伽利略的头脑反应更加敏锐，言谈举止似乎更加成熟了。
看到儿子的变化，文森西奥感到欣慰。他很惭愧地想：儿子的选择没有错，伽利略正用自己的行动来冲击旧观念，宣传科学观念，逐渐闯出一条新路，证明科学的正确性。
儿子的开拓精神，也鼓舞了父亲，文森西奥又拿起笔来，重新开始已荒废多年的音乐的研究。他对乐器的弦做了长度和张力方面的实验，发现了一个数学定律，否定了传统音乐理论的基本假设。文森西奥也反对“权威”音乐理论，如他在《古代音乐和现代音韵对话》一书中指出：“在我看来，他们仅仅是依靠权威的力量来证明什么，而不是引用任何论据来支持自己的证明，这简直荒唐可笑，与此相反，我希望允许自由提问和作答，而不需要任何对权威的阿谀逢迎，那才是真正追求真理。”
父亲的思想变化对伽利略的触动和影响很大，父亲对音乐改革的一些实验，使伽利略深受启发，变得越发勤奋了。
伽利略的才学尤其是数学才能渐渐得到佛罗伦萨的大多数上层人物的赏识。
1587年底，伽利略在实验中发现了一种巧妙而实用的测量某些固体重心的方法。他认为，每个物体都有重量，但物体的重量中心并不一定在该物体的中间部分。物体上重下轻容易倒，说明物体重心高；物体下重上轻不易倒，说明物体重心低。据此实验结果，伽利略写了《论重心》的论文，顿时引起广泛的反响，使他声誉大增。
伽利略在这几年间，曾在佛罗伦萨和锡耶纳做过私人教师，讲授数学。从中他感到教师对知识正确传授的重要性，心里萌发了想入大学教学的念头。而这对于一个20余岁的年轻人是很难的。进大学做教授必须要由斐迪南德大公批准。
里奇得知伽利略的想法后，便积极活动，他将伽利略的这篇论文《论重心》送给斐迪南德大公看。大公很欣赏，称伽利略“很有才华”，只是还要等待一段时间，各大学暂无教授空额。
不料，一等就是两年！里奇因病去世，伽利略伤心极了。
盖图宝特侯爵闻讯后，竭尽全力地帮助伽利略，劝说大公。恰巧，比萨大学需要一位数学教授，大公同意伽利略去担任这个职位。
伽利略终于实现了自己的梦想，并由此开始孕育了另一个梦。
