阿罗理想选举的第一步是，投票者不能受到特定的外力压迫、挟制，并有着正常智力和理性。毫无疑问，对投票者的这些要求一点都不过分。坦白地说，如果一个投票者连这些基本要求都无法满足，那么他要么根本就不是投票而是去捣乱的，要么精神病院会是更适合他的场所。
阿罗理想选举的第二步是，将选举视为一种规则，它能够将个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，同时满足“阿罗定理”的要求。
所谓“阿罗定理”也就是：
（1）所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。也就是说：每个投票者都可以依据自己的意愿独立的投出自己的选票。
（2）对任意一对备选方案A或B，如果对于任何投票人来说都是A优于B，根据选举规则就应该确定A方案被选中。而且只有所有投票人都认为A与B方案等价时，根据选举规则所得到的最后结果才能取等号。这其实也就是说：全体选民的一致愿望必须得到尊重。
但是一旦出现A与B方案等价的情况就意味着可能投票出现了问题。比如两个方案A、B受两个投票人C、D的选择。对于C来说，A方案固然更好，但B方案也没什么重大损失；但是对于D来说，却是A方案是生存B方案就是死亡，那么让C和D各自一人一票当然就绝非是公正平等的。在几乎所有的私企之中，我们都能见到类似的状况。
（3）对任意一对备选方案A、B，如果在某次投票的结果中有A优于B，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中x的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括A优于B。这也就是说：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度，相对于其他候选人来说没有排序的降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。
这是对选举公正性的一个基本保证。比如，当一位家庭主妇来决定午餐应该买物美价廉的好猪肉还是质次价高的陈猪肉来吃时，我们很清楚：她对好猪肉和注水肉的“喜爱程度”应该不可能发生什么变化，然而这一次她却买了陈猪肉。这一定说明在主妇对猪肉的这次“选举”中有什么不良因素的介入。当然，如果原因其实是市场上已经百分之百都是陈猪肉，那也就意味着“选举”已经不复存在，主妇已经被陈猪肉给“专制”了。那不在我们的讨论范围之内。
（4）如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。
这也就是说：现在，那个买猪肉的主妇要为自己家的午餐主食作出选择，有三位“候选人”分别是一元钱一斤的好面粉、一元钱一斤的霉面粉和一元钱一斤的生石灰。主妇的选择排序不说也罢，一清二楚。然而现在的情况却是：在生石灰先生出局之后，主妇居然选择了霉面粉！这一定意味着有这次“选举”之外的因素强力介入。
比如主妇的单位领导是这家霉面粉厂家老板的姐夫之类，所以为了照顾小舅子就强制要求属下员工必须每月购买200斤“指定产品”的霉面粉，不然就不发工资，还给“穿小鞋”、“揪小辫子”。阿罗定理3和4的结合也就意味着：候选人的选举成绩，只取决于选民对他们作出的独立和不受干预的评价。
（5）不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案A，B，只要该投票人在选举中确定A优于B，选举规则就确定A优于B。这也就是说：任何投票者都不能够凭借个人的意愿，就可以决定选举的最后结果。
这五条法则无疑是一次公平合理的选举的最基本的要求。
然而，阿罗发现：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规则。也即“阿罗不可能定理”。
这其实也就是说：即便在选民都有着明确、不受外部干预和已知的偏好，以及不存在种种现实政治中负面因素的绝对理想状况下，也同样不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
人们所追求和期待的那种符合阿罗定理五条要求的最起码的公平合理的选举居然是不可能存在的。这无疑是对票选制度的一记最根本的打击。更通俗的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规则。或者这也可以说是：随着候选人和选民的增加，“形式的民主”必将越来越远离“实质的民主”。
西方哲学大师苏格拉底之死，是对阿罗不可能定理一个绝佳的证明。口若悬河的大哲学家苏格拉底，是一个在西方文化中不亚于孔圣人的天才人物。苏格拉底因言出名，也因言获罪。
据史书记载，获罪的苏格拉底面对着公民大会的判决。此次公民大会也经历了初审和复审，初审中五百个公民进行了投票，结果是280票对220票判处苏格拉底有罪。复审是决定苏氏是否该判死刑，复审之前，苏氏有为自己脱罪的辩护权利，希腊民众不仅没有被苏格拉底的口才所征服，反而被激怒，结果是以360：140票判处苏格拉底死罪。
这就是希腊的民主。这种民主，被认为比现代西方民主更为先进的民主形式。但是，这种先进的民主，仍然从肉体上，把一个对人类社会作出巨大贡献的巨人碾作了尘土。
“人是不可靠的”这句话，在这里又有了新的注解。不仅处于权力巅峰上的当权者有可能是不可靠的，监督群体的“人”，同样也可能是不可靠的。因此，不断改进整个监督机制，使得一切不可靠因素处于制约与平衡的系统之中，一种权力的恶性扩展和群体的疯狂行为，才可能被抑制，在整个社会处于最弱势的个人的自由，才可能不被吞没。
6.亚拉巴马悖论
1882年，得克萨斯州议员诺加·米尔斯对数学进行了谴责：“我认为数学是一门神圣科学，它是接近神灵的唯一科学，所说的都是正确的。我所受到的教育一直是数学展示了真理，也知道在天文学、哲学和几何学及所有其他学科中，总有些问题需要推测，而数学如同《启示录》的声音一样，它开口时总是说：‘上帝是这样说的。’但是这里有个新的数学体系表明，真理就是谬误。”
米尔斯所说的问题是众议院一直面临的问题：每个州应该分配多少个代表？国会代表用比例分配的数学听起来像是采用简单的、人们拥护的一人一票的方法。但是，像直接选举方案一样，间接代表制却受到数学上悖论的严重困扰。
直接选举的悖论是策略运筹学性质的，它牵涉到选举人合谋选举他们自己的候选人。国会代表分配的问题只是每个州分配到的代表人数而不是怎样选代表的问题。按比例分配属于应用数学领域，叫做社会选择理论。
美国宪法第一条第二款规定：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。问题是，人是最基本的单位，在比例上可以出现0.5这样的数字，但你无法让0.5个人做众议员。
假定你要在只有两个州的国家成立一个众议院：A州有人口11万，B州有人口23万。每个州按其人口选派代表，最小的众议院会是怎样的呢？最小的众议院会有34个成员，如果成员少一些，则其中一个州（或两个州）会出现一个分数代表。换句话说，当众议院的人数少于34人，A州和B州的代表人数就没有整数。
像美国这样有50个州的大国，这些州的人口数量相互之间又不是整倍数，问题就明显地复杂了。在一个特定规模的众议院里，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总席位数得出的。既然这个理想数字可能是个分数，并且不允许代表出现四分之一这样的数目，那就需要有个更好的分配代表的方法了。
许多美国开国元勋，包括亚力山大·汉密尔顿、托马斯·杰弗逊和丹尼尔·韦伯斯特，曾提出他们各自的解决方法。这些方法各有玄机，但大概思路是相同的：第一步，用某个基数（如以10000人为基数，以全国人口数除以议员席位得出的比例数或最小州的总人口数）除各州人口数，得出一个“理想代表数”，当然，这些数字绝大多数都是带小数点的；第二步，先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果某州理想的代表人数为3.62，它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数。如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表进众议院。例如在一个26席位的众议院，A、B、C、D和E开始时分别获得以下代表数：9、7、5、5、3和1，但只占26个席位中的25个，因而它可增加一个代表，共4个代表。
这种方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果D州的理想代表数为3.319，总有3个或4个代表，永远不会有2或5个代表。
可是，这个方法违背另一个更难理解的公平准则。在我们5个州的例子里，设想众议院的规模由26个席位增加到27个。在27个席位数的众议院，A、B、C、D和E各州分别获得9、8、6、3和1个代表数。奇怪的是，即使众议院的规模增加了，D州却少了一个代表。为什么众议院人数增加了，D州的代表人数反而较少了？答案是按照27席计算的结果，这个州“理想代表”的小数位比别的州小了。
这个奇怪的现象被称为亚拉巴马悖论（因为这种悖论是从一次牵涉到亚拉巴马州的计算中发觉的）。
1881年，人口调查局的一位官员根据1880年人口统计，在调查历届众议院从275个席位到350个席位规模的按比例分配情况中，找出了亚拉巴马悖论。他写信告诉一位议员：“我进行这些计算的时候，我遇到所谓的‘亚拉巴马悖论’问题，我发现在议员总数是299人时，亚拉巴马州分配到8个议员席位；但总数是300时，它只获得7个席位。”
其后20年，亚拉巴马悖论的缺陷只是在理论中存在，所以还没引起太多关注，直到1901年众议院席位以1900年的人口统计为基础重新按比例分配时，亚拉巴马悖论成为了一个实际问题，引起了激烈的辩论。
这一年议会通过了一项议案，确定众议院规模为357个席位，按照人口比例计算，科罗拉多州获两个席位。可是科罗拉多州议员约翰·贝尔注意到，在拥有350至400个席位的众议院，他的州都会获得3个议员席位，唯独在357这个数字上，他的州只有2个席位。于是他严辞谴责了这个“由数学家推出的并称之为悖论的暴行”。与科罗拉多州同样受到亚拉巴马悖论损害的还有缅因州，一位缅因州议员说：“这就像是数学和科学联合起来，把缅因州当球耍……当数学抓住缅因州的时候，愿上帝保佑它！”
在以后几十年中，杰出的数学家们向众议院提供了复杂的公式，回避亚拉巴马悖论，他们的公式对大多数政客来说，是莫名其妙的。直到1982年，两位数学家提出了一项数学论证：既能满足定额又能避免亚拉巴马悖论的按比例分配法是不存在的。
