其次，“几何与代数”课程中的很多概念和理论都与线性方程组有关，在教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来一一引出。因此，在教学过程中采用研究性教学法，自编教材“线性代数与解析几何”（修订版），其中前4章为基础篇，后4章为实用篇。如何在56学时内，力争做到科学性与通俗性相结合，由浅入深，化抽象、枯燥的理论为易于接受的思想就成了教好、学好“几何与代数”的关键。为了改革现有落后、陈旧的教学方法和模式，纠正学生“数学有用不会用”的想法，笔者通过多年的教学实践和经验，试从以下几个方面进行总结，以起到抛砖引玉的作用。
二、激发学生的学习兴趣，强调本课程的重要性
兴趣是最好的老师。教师在第一堂课中，不宜直接讲授本课程的内容，而应着重向学生介绍“几何与代数”这门课程的重要性及有趣的应用，通过实际事例使学生对这门课程有一个直观的了解，同时，也激发学生分析问题、解决问题的兴趣，并通过逐渐加深问题的困难程度刺激学生的求知欲。例如，从中学所学过的解二元一次方程组到将要解决的多元线性方程组，从CT 成像、B 超原理到用矩阵知识破译密码及经济模型中求解投入产出问题，从谱分析理论的实际应用到用线性理论解决工程应用问题，从圆锥曲线图形到多元函数图像的描述等。以此来激发学生对“几何与代数”的学习热情，提高学生学习的兴趣。
三、几何与代数的紧密结合
用代数方法解决几何问题是解析几何课程的基本特征。因此，我们完全可以将空间解析几何与线性代数的教学内容结合起来。它们之间最自然的结合点是空间直角坐标系下向量的几何表达形式（有向线段）与其代数表达形式（向量的坐标）的一一对应关系。在讲授三维空间向量代数时，可以有意识地把其中仿射几何中的向量的运算规则按向量空间的8条公理的形式表述，同时也可以让学生自行证明8条公理的必要性，并且利用力学思想讨论有关向量问题、空间几何问题，接着介绍n 维向量的定义及其性质，进而引入n 维向量空间的定义。因为有中学立体几何的思想基础，教师很容易帮助学生完成由具体到抽象的思维过程，特别是三维空间上的线、面关系问题，将这些内容放在“几何与代数”课程内容之首，就会使后面的关于向量的线性相关性及线性组合内容的叙述更方便，课程知识体系和内容的衔接会更严谨、更完善，学生也更容易接受。
四、采用类比方法，帮助学生掌握知识
类比法是分析问题常用且重要的一种方法。使用类比法既可以提高教师课堂教学效果，也便于学生对代数知识的理解和掌握，同时也能够活跃课堂气氛，使教学过程更加生动。例如，在讲授矩阵运算时，可以将多项式的乘法与矩阵的乘法作类比，共同点是都满足结合律、分配律，不同点是矩阵乘法不满足交换律、消去律等。并对不同之处特别加以说明、举例。同时特别指出矩阵乘法中的单位矩阵类似数的乘法中的单位1的作用，由此利用数的“倒数”引入矩阵的“倒数”——逆矩阵。这样，通过与熟知的数的运算比较，加深学生对抽象的运算与概念的认识与理解。
五、突出课程重点，解决课程难点
大学生都具有一定的自学能力，对于教科书所陈述的一般内容及数学推导过程能粗略地看懂或理解。通常，教材是以论证、推导、举例应用等形式编写的，比较注重理论的严密。
学生对隐藏在字面背后的深刻意义未必能够领会，教师必须在这方面加以指点。“几何与代数”研究的主要内容是通过行列式、矩阵、向量、线性相关性、线性变换求解线性方程组。
而这些内容中，向量组的线性相关性问题又是这一课程的重点和难点。而部分教材或教师错把行列式当重点，没有及早地讲述矩阵的初等行变换。众所周知，求逆矩阵、解线性方程组、求逆矩阵、求矩阵的秩、求向量组的秩、求极大线性无关组等，既可用行列式法也可用初等行变换法求解。但行列式法运算量大，计算步骤复杂；而矩阵的初等行变换法步骤单一、运算量小、容易掌握，故应及早、重点讲述矩阵的初等行变换法。实际上，本课程的所有内容都与线性相关性有联系。另外，不同的章节有不同的理论和应用，比如关于行列式这一章，实际要阐述矩阵内在属性，主要解决3方面问题：行列式的定义、行列式的性质、行列式的应用。3方面相辅相成，而对于n 阶行列式的计算主要可以由4个字来概括：进、退、聚、散。利用行列式的性质累次将每一行的k 倍加到下一行，此为“进”；每一行的k倍加到前一行，此为“退”。诸行的倍数加到同一行，此为“聚”；某一行的倍数加到其他诸行，此为“散”，通常经过上述变换后，可以将行列式化简为“鸡爪型”行列式，再消去其中的某一分支，即可得到三角形行列式了。
我们在相关理论的教学过程中，一方面，将有关的习题分类，和学生一起对不同的题型归纳出几种解题方法，并要求学生掌握解题方法和技巧；另一方面，把线性相关性定理、命题联系起来，可以发现这些命题之间存在着必然的联系。对其逐一剖析总结，不断演绎，就能够使这些定理、命题之间建立起“关系”，达到融会贯通的效果。
六、学习数学思想，注重实际应用
传统的教育方式一般是重基础轻应用、重理论推导轻计算方法，学生普遍认为几何与代数比微积分理论还要难理解，常常对理论或方法不知所用。针对这种情况，我们可以对“几何与代数”这门课程的每一章，都从3个角度进行阐述。
第一，基本概念、基本理论和基本计算方法。在课堂上，尽量避免冗长的教学推导和论证，只要说清楚论证的来龙去脉，把重点放在恰到好处地围绕着推导结果所反映的结论和规律展开讨论。这样的讨论既要有严格的依据，又不要过于啰唆，只要能使学生“开窍”就行，同时布置相应的笔算作业。
线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定，而与未知变量的记号无关。因此，研究方程组的求解问题，只需研究由方程组中的每个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可，称这样的数表为矩阵。如方程组对应于矩阵，反之，给定矩阵B，可唯一地得到一个线性方程组，即方程组与矩阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问题。矩阵的概念虽然引出了，但到底如何利用矩阵来研究线性方程组，这又是我们要解决的问题，为此要对矩阵进行研究。这样自然而然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去，而且他们是带着问题去学习，这样可以改变以前是教师向他们一味灌输到他们主动学习，达到提高学习效率的目的。同时，带着问题去学习的学习过程，其实是在学习前人如何创造性地解决问题的过程，从而可提高他们解决问题的能力。
第二，上机实验，加深理解。利用Mathematica、Matlab 等数学软件，求解本章的习题和课外作业，再比较这两种方式做习题的异同，通过解线性代数中计算问题的对比，容易得到，对于过于繁杂的计算，利用计算机要比用笔算快得多。这样可以进一步提高学生们分析问题的能力及借鉴和使用现有工具的能力，同时也提高了学生数学建模能力。
第三，数学建模案例教学。教师也可以在章节结束时针对行列式计算方法、求逆阵的方法、解矩阵方程的方法、判别向量组线性相关性和求解极大无关组的方法等提出相应的实际应用题，并以解线性方程组为核心，将实际问题与整个线性代数理论体系联系起来，对每个案例进行“分析问题-建立数学模型-计算机求解”，并在课后布置12道题让学生自己模仿完成。例如，在线性方程组的内容后，教师可以讲授“财务管理问题”、“经济数学投入产出问题”的数学建模案例，然后又布置学生在课外去求解“交通流量问题”。这样真正使学生做到学数学、用数学、做数学，把学到的数学知识用来解决生活实践中遇到的实际问题。
七、开发多媒体课件，加强计算机辅助教学
“几何与代数”作为理工类、经济管理类各专业的一门主要的数学课，不管是已经学过还是正在学习的人，均对其繁重的计算感到苦恼，对向量的线性相关性感到难以理解。即使教过这门课程的教师亦觉得板书任务太多。例如，化一道三元二次型为标准型恐怕就要花半节课时间，课堂上大部分时间都用在板书。如何使学生学得更轻松，如何使教师从繁重的板书任务之中解放出来，是许多从事“几何与代数”教学的老师一直探讨的问题。随着计算机性能的日益完善，以及许多成熟的软件包的高速发展，为教学提供了有效的工具，创造了发现数学新问题的机会，也提供了用计算机模拟、研究实际应用问题，快速求解应用中的数学问题的机会，它并不要求学生有太多的计算机预备知识，即使大学一年级新生也可以在课程学习中使用软件包。而且不少软件包具有高性能的交互式的界面，使用起来十分方便，也可以避免编制专门的教学软件时从低层次开始的重复劳动。另外，计算机强大的动画演示功能将要板书的教学内容输入计算机再投影出来，计算机相关技术的发展为数学的教学提供了更好的也更便利的条件。因此，开发有数学软件、数学模型嵌入的“几何与代数”多媒体课件是十分有意义而迫切的。
以上是笔者在教学中，收集或积累的一些教学方法和教学手段，也是教学改革的尝试，但在“几何与代数”课程教学改革方面的探索的时间还不长，不少改革内容有待于完善，一些改革设想还有待于实践，希望能和更多的同行共同磋商，以期提高“几何与代数”课程的教学质量。
参考文献
［1］居余马.线性代数.北京：清华大学出版社，1997.
［2］宋海洲.“线性代数”内容重排及课件建设.高等理科教育，2003（4）：61－65.
［3］邓美兰.“线性代数”教学法探讨.大学数学，2003，19（4）：32－33.
［4］冯国臣.线性代数与解析几何.北京：清华大学出版社，2007.
大学数学教学改革的几个想法和建议
王秋媛
（北京交通大学理学院，100044）
摘要：本文根据作者参加的教改实践的体会及多年教学经验，并借鉴国外的教学模式、考核模式、提出对教材、教学内容、教学方法、教学手段改革的一些思考，希望引起领导、教师的广泛探讨。
关键词：大学数学教学改革 因材施教 以人为本 教学方法
大学数学的教学改革已进行多年的探索和实践，笔者曾参与了有关“微积分”和“线性代数”课程的内容和教学方法的改革实践，通过当年的改革实践和近年的教学对大学数学教学改革有一些体会和想法，写出来仅供参考。
一、改革实践
2001年在运输学院运输专业进行了有关教学内容和方法的改革试点，具体改革方案为：在大学一年级上学期同时开设“高等数学”与“线性代数”两门课，把原“高等数学”中的空间解析几何与向量代数部分放到“线性代数”中去，并在课程中贯穿数学实验、数学建模的思想，如介绍一些基本的建模问题，同时介绍一些与高等数学相关的计算方法知识，如数值积分、曲线拟合、牛顿迭代法、解线性方程组的迭代法、函数逼近的拉格朗日（Lagrange）插值和牛顿（Newton）插值法等。加强学生应用能力的培养，给学生40学时/人的上机时间，学习使用数学软件Mathematica，用以做导数、积分的计算，帮助理解泰勒公式等。每周“高等数学”与“线性代数”共10学时。实践表明，这种改革使学生更早、更多地接触“数学如何解决实际问题”，提高了学生学习数学的兴趣，学生对这种改革是欢迎的。同时由于较早地用数学软件，了解数学建模，使个别有潜力学生在大学一年级就参加数学建模竞赛并获得了全国一等奖。不足在于，课程相互融合的切入点及深度还需进一步探讨研究，数学软件的使用还受到版权、设备等条件的限制。
2002年我们参与了全校“高等数学”的分级教学改革，分级原则是入学后全校统一考试，按成绩分A、B、C 3级，其中C 级是由全校学生中考试成绩最差的学生组成的，其中包括留学生、西藏等少数民族学生。虽然讲课时按三级教学，但教学要求、教学大纲、考试试卷是同样的。这样做只能在上课的过程中根据学生的理解、接受程度来调整教学进度与教学深度，在一定意义上讲是因材施教。2003年至今的分级教学改革与2002年略有不同，分级教学是把学生按学院分3块，每块又分A、B、C 进行的，但本质上与2002年的是一样的，即都是教学分级，考试不分级。
