◆分析数学的新时代
微积分的发明开创了分析数学的新时代，特别是在物理学和天体力学的应用方面取得了惊人的成果。17、18世纪的数学史几乎成了分析数学的历史。分析数学在这一时期不仅在理论上有了新的进展，而且涌现了一大批杰出的数学家，主要有伯努利兄弟、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶等人。
18世纪末、19世纪初，微积分学基本上被人们所掌握，同时数学家们又在进一步发展的基础上建立了许多分支，开拓了它在力学、物理学和工程技术方面的应用。初期微积分的许多基本概念由于种种原因而未获得严格表述，如18世纪的“函数”概念，以后的“实数”、“连续性”、“变量”等概念都需要进一步澄清，加上数学符号杂乱，使之更加混乱。直到19世纪上半叶，法国数学家柯西系统地发展了极限理论，才使分析数学在极限基础上得到统一。
◆实数理论的建立
柯西的极限理论需要建立在实数理论基础上，因而实数理论问题就成了有待进一步解决的重要问题。一批德国数学家如戴德金、韦尔斯特拉斯和康托尔等，为此作出了重要贡献。他们把实数表达为有理数的无穷集合，而有理数又与自然数有着密切的关系，因此实数理论就完全可以在自然数理论和无穷集合论的基础上建立起来。
上述分析理论的基础工作既是古典分析的一个全面总结，又是由古典分析走向现代分析的一个转折点，并开创了现代数学的新历史。康托尔创立的集合论，广泛渗透到现代数学的各个领域，这是现代数学的一个重要特点。在分析理论的基础工作中，严格的实数理论建立了，从而数轴的性质也得到了确切的表述。随着分析数学和生产实践的需要，间断函数成了人们的研究课题，黎曼研究了积分概念可以推广到怎样的间断函数上的问题，尔后他把可积函数类推广到范围更广阔的“有限函数”类。这些工作终于导致“实变函数”的诞生。实变函数是古典分析的推广，它可以处理较古典分析更为广泛的一类函数类型；而且古典分析中的许多基本概念，如积分曲线的长度等，也只有在“容度”、“测度”等概念的基础上才能得到更严格的表述和深刻的理解。
复变函数可以看作古典分析从实数域到复数域的推广，它使分析学的内容更加充实和完善。19世纪，柯西、黎曼和韦尔斯特拉斯为复变函数做了奠基性的工作。它被称为抽象数学中最和谐的理论之一。复变函数在形成和发展过程中，一方面使我们有可能去阐明那些推动分析、物理学部门发展的一系列特殊函数的性质，另一方面它在微分方程、积分方程、几何学、一般线性算子理论等数学部门中，以及流体力学、电动力学、传热理论和弹性力学中口益发挥重大作用。例如，俄国契可夫斯基(1847～1921)利用复变函数工具，解决了重要的机翼结构问题。
◆函数逼近论的发展
为了解决科学研究和工程技术中的实际计算问题，寻求复杂函数近似解决方法，函数逼近论日益发展起来。1885年，韦尔斯特拉斯证明了任何连续函数都可以表示为一致收敛的多项式的和。从此，人们就可以按照给定的精确度通过多项式来逼近它。此后，俄国数学家车比雪夫(1821～1891)又创立了函数的最佳逼近论，成为函数构造理论研究的开端。
◆偏数分方程的出现
18世纪，由于解决物理、工程方面的有关问题而导致常微分方程的兴起。在处理弦振动等复杂物理现象中，偏微分方程出现了。19世纪，由于偏微分方程在物理学中的应用，以及对发展函数论的变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等的促进作用而成为数学的中心。随着天体运动、机械工作、电振动系统等稳定性问题的研究，1881年由法国数学家彭加勒(1854～1912)开创的微分方程定性理论发展起来了。第二年，俄国李雅普诺大建立了其稳定性理论。
