一个小小的拓扑学问题，解决起来也是干脆利落。不过君信突然反应过来很多的理论和推理在这个时代都还没有流传出来。自己在解决问题的时候又习惯性的将一些推论的过程给省略过去了，也不知道这一大批的教授能不能看得懂。所以君信对这些并不是太过在意，他在意的是在这次的考试中最后两道附加题给他带来的一些思考。
数学自诞生以来，便迅速发展成为人类文明进步的重要的工具，无论是战争中的庙算，还是在文治上的税收、人口等均离不开数学的发展。
从西方的数学发展历史看来，古代的三大数学家欧几里得、阿基米德和丢番图等建立了古代数学的经典理论，奠定了理论数学的基础，将数学从生活中的具象化中提取出来形成了最初的系统的数学理论。
自近现代以来，艾沙克牛顿和德国的莱布尼兹两人分别各自的建立了微积分，从科学的发展来说，前者的理论对物理学的影响更大，而后者的理论对数学的影响更加的巨大。且不论两人之后的英国和德国两个国家为了微积分的发明的大打出手，两人建立了微积分确实是将数学的发展推向前进。数学的发展开始进入了一个高速前行的时期，并开始与其他的学科相互交缠，相互推进。
之后的数学家们，如高斯、欧拉、哈代、拉格朗日、希尔伯特、格罗滕迪克等等各自引领着各自的时代，推动着数学的进步。并在各自研究的领域取得令人难以想象的成就，就如高斯一生的成果，便是以他的名字命名的定理和公式就有上百个之多。
但是就算是这些的数学大家，依旧也有不能够解决或者没有解决的问题，这些问题随着时间的变化，或是在研究的过程中取得某一方面的突破，或是在研究了几百年之后还是一筹莫展，一直困扰着数学界。
其中最为著名的便是1900年8月世界数学家代表大会上，德国著名的数学家戴维·希尔伯特提出的著名的希尔伯特的23个问题。
希尔伯特的23个问题分为四大板块，第一到第六题是关于数学基础的问题，第七到第12道题是关于数论的问题，第十三到第十八是关于代数和几何的问题，第十九到第二十三是关于数学分析的问题。截止到21世纪初，希尔伯特的23个问题仍有一些未被解决。成为数学家们急于解决的问题。
希尔伯特的23个问题在数学史上产生的巨大影响，一直持续到了一百多年后，任然没有消除，这与希尔伯特在数学上的巨大成就固然有着关系，但这些问题本来就是数学领域里面的难题，通过解决这些问题从而获得的思路和想法才是这些难题才是推动数学发展的最重要的价值。
举个简单的例子来说，费马大定理的证明，便是说明著名的数学猜想在推动数学进步的最好的例子。法国人费马死后，他在一本《算术》书上所写的注记并没有随之湮没。其长子意识到那些草草的字迹也许有其价值，就用五年时间整理，然后印出一个特殊的《算术》版本，载有他父亲所做的边注，那里面包含了一系列的定理。
在靠近问题8的页边处，费马写着这么几句话：
“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。”
这个喜欢恶作剧的天才，又在后面写下一个附加的评注：
“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”
费马写下这几行字大约是在1637年，这些被侥幸发现的蛛丝马迹成了其后所有数学家的不幸。一个高中生就可以理解的定理，成了数学界最大的悬案，从此将那些世界上最聪明的头脑整整折磨了358年。一代又一代的数学天才前赴后继，向这一猜想发起挑战。
费马大定理与数学的历史有着千丝万缕的联系，触及到了20世纪数论中所有重要的问题。证明过程涉及了19世纪的法国天才数学家伽罗瓦为了寻找五次方程的解而发展出的群论，20世纪的RB数学家谷山和志村提出了谷山-志村猜想，分析椭圆方程的岩泽理论和科利瓦金-弗莱切理论。最重要的是它联系了数学中几个各自毫无关系的领域，发展出了全新的数学技术。
而这些理论在费马大定理上的证明运用，有再次的说明了数学猜想对于数学发展的巨大推动作用。故而，每一次出现的数学猜想的证明，无论对错，都会在数学界引起巨大的轰动，他可以使得不同领域的数学家们放下手头上的重要的工作，然后在一个共同的场所交流着自己的思想，从而进一步的促进数学的发展。同时，这也是数学的研究在业内是保密性最低的科学研究的一个重要原因。
试卷上的最后两个问题，一个出自于数论，在数论的领域，没有什么比得上费马大定理的传奇性要高，尽管在中国哥达巴赫猜想要更加的广为人知一点。而同样，在拓扑学领域，却也没有什么比得上庞加莱猜想更加的吸引人了。
庞加莱猜想是法国著名的数学家庞加莱在1904年提出的一个关于流形的猜想，即“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
这是一个在拓扑学中具有基础意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。在2000年甚至被美国的克雷研究所设立为千禧年的七大世纪数学难题之一。与P对NP完全问题、霍奇猜想、黎曼假设、杨－米尔斯存在性和质量缺口、纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想同时并立为千年数学难题，也是人类急需解决的数学难题。
作为普林斯顿研究所的高级研究员的君信，自然是对安德鲁·怀尔斯的证明过程了如指掌，而且由于先前学习的物理学的基础，所以对庞加莱猜想的证明也是了如指掌。这也是他的拓扑学学习的那么好的原因，全都是为了看得懂佩雷尔曼的对庞加莱猜想的证明而进行大量的学习的结果。
想到这里，君信便找到了一个偏僻的地方，坐了下来之后，开始了自己的推理证明过程。而首先下笔的便是1922年英国数学家莫德尔提出的一个著名的猜想，这是证明费马大定理的重要的一个猜想推论。
